相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模

王永鐸,杜曉微

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院,甘肅 蘭州 730050)

在本文中,R都是有單位元的結(jié)合環(huán),所有的模都是右R-模.N?M表示N是M的子集,N≤M表示N是M的子模,N?M表示N是M的完全不變子模,N≤⊕M表示N是M的直和項(xiàng),EndR(M)表示模M的自同態(tài)環(huán),HomR(M,N)表示M到N的同態(tài)集,E(M)、Rad(M)、Soc(M)和τ(M)分別表示右R-模M的內(nèi)射包、根、基座和預(yù)根.I、Rad(R)和τ(R)分別表示環(huán)R的理想、根和預(yù)根.

投射模是模論和同調(diào)代數(shù)中的三大重要模類之一,關(guān)于投射模的研究是同調(diào)代數(shù)最基本也是最核心的內(nèi)容.隨著同調(diào)代數(shù)的發(fā)展,國(guó)內(nèi)外很多數(shù)學(xué)家開始從事投射模的推廣工作,他們從不同的角度對(duì)投射模進(jìn)行了推廣,得到了很多重要的概念[1-5],豐富了投射模的理論體系.2012年有學(xué)者提出了τ-N-投射模和τ-投射模的概念[1].設(shè)M和N是右R-模.稱M是τ-N-投射模,若對(duì)任意滿同態(tài)f:N→L和任意同態(tài)h:M→L,其中L是N/τ(N)的像(等價(jià)于τ(N)?kerf),存在同態(tài)g:M→N使得h=fg.稱M是τ-投射模,若M是τ-RR-投射的.2013年,Amin等[2]提出了Rad-N-投射模和Rad-投射模的概念,并用它們刻畫了半完備環(huán)、完備環(huán)等重要的環(huán)類.以上研究對(duì)經(jīng)典的投射模做了很好的推廣,對(duì)豐富投射模理論做出了貢獻(xiàn).受文獻(xiàn)[1-7]的啟發(fā),為了統(tǒng)一上述概念,本文很自然地考慮將上述概念中的τ(N),Rad(N)換為N的任意完全不變子模去研究,進(jìn)而引入相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模和相對(duì)于理想I的R-投射模的概念.設(shè)M,N是右R-模,F?N.稱M是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模,若對(duì)任意滿同態(tài)f:N→L和任意同態(tài)h:M→L,其中L是N/F的像(等價(jià)于F?kerf),存在同態(tài)g:M→N使得h=fg.顯然,當(dāng)F=0時(shí),相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模是N-投射模；當(dāng)F=τ(N)時(shí),相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模是τ-N-投射模；當(dāng)F=Rad(N)時(shí),相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模是Rad-N-投射模；當(dāng)F=N時(shí),任意右R-模都是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模.本文研究了相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模和相對(duì)于理想I的R-投射模的一些基本性質(zhì),統(tǒng)一了N-投射模,τ-N-投射模和Rad-N-投射模的一系列結(jié)論.

定義1設(shè)M,N是右R-模,F?N.稱M是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模,若對(duì)任意滿同態(tài)f:N→L和任意同態(tài)h:M→L,其中L是N/F的像(等價(jià)于F?kerf),存在同態(tài)g:M→N使得h=fg.

注1設(shè)M,N是右R-模,F?N.當(dāng)F=0時(shí),相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模是N-投射模；當(dāng)F=τ(N)時(shí),相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模是τ-N-投射模；當(dāng)F=Rad(N)時(shí),相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模是Rad-N-投射模；當(dāng)F=N時(shí),任意右R-模都是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模.

命題1設(shè)M,N是右R-模,F?N.則下列條件等價(jià)：

1)M是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模；

2) 如果f:N→L是滿同態(tài),其中L是N/F的像,那么f*:HomR(M,N)→HomR(M,L)是滿同態(tài),其中f*(α)=fα,α∈HomR(M,N)；

3) 每個(gè)同態(tài)β:M→N/K,其中F?K≤N,都可通過(guò)自然滿同態(tài)v:N→N/K分解.

證明1)?2) 設(shè)M是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模且f:N→L是滿同態(tài),其中L是N/F的像.因?yàn)镸是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模,所以對(duì)任意同態(tài)g∈HomR(M,L)都存在同態(tài)α∈HomR(M,N)使得f*(α)=fα=g,故f*是滿同態(tài).

2)?1)?3) 顯然.

圖1 交換圖Fig.1 Commutative diagram

命題2設(shè)M,N是右R-模,F?N.則以下幾條成立.

1) 若M=⊕i∈IMi,則M是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)Mi(i∈I)是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模.

2) 若A,B是右R-模且A?B,A是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模當(dāng)且僅當(dāng)B是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模.

3) 設(shè)K/F?N/F.若M是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模,則M是相對(duì)于模N/F的完全不變子模K/F的N/F-投射模.

證明1) “?”考慮圖2.

圖2 交換圖Fig.2 Commutative diagram

其中μj是標(biāo)準(zhǔn)嵌入,πj是自然投影,F?kerη.因?yàn)镸是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模,所以存在λ:M→N使得ηλ=fπj.因?yàn)棣铅甩蘪=fπjμj=f,取g∶=λμj,所以ηg=f.故Mj(j∈I)是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模.

“?”考慮圖3.

圖3 交換圖Fig.3 Commutative diagram

其中F?kerη.因?yàn)镸j是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模,所以存在同態(tài)λj:Mj→N使得ηλj=fμj.由直和的泛性質(zhì)可知存在唯一同態(tài)θ:Μ→N使得θμj=λj,故ηθμj=ηλj=fμj,由θ的唯一性可知ηθ=f.因此M是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模.

2) 考慮圖4.

圖4 交換圖Fig.4 Commutative diagram

其中F?kerη.因?yàn)锳是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模,所以存在λ:Α→Ν使得ηλ=fθ.因?yàn)棣铅甩?1=fθθ-1=f,取g∶=λθ-1:B→N,所以ηg=f.因此B是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模.反之同理.

3) 假設(shè)M是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模,K/F?N/F且K/F?H/F≤N/F.考慮圖5.

圖5 交換圖Fig.5 Commutative diagram

其中σ:N/F→L是自然滿同態(tài),其中L=((N/F)/(K/F))/((H/F)/(K/F)).因?yàn)棣鞘亲匀粷M同態(tài),所以F=kerη?kerση=H.因?yàn)镸是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模,所以存在同態(tài)λ:M→N使得σηλ=f,取g∶=ηλ,則σg=f,故M是相對(duì)于模N/F的完全不變子模K/F的N/F-投射模.

證明只需證n=2時(shí)結(jié)論成立.當(dāng)n=2時(shí),設(shè)f:N1⊕N2→(N1⊕N2)/K是自然滿同態(tài),其中F1⊕F2?K.考慮下列行列正合的交換圖6.

圖6 交換圖Fig.6 Commutative diagram

其中θ:N2→(N1⊕N2)/(N1+K),θ(n2)=n2+N1+K,n2∈N2,顯然θ是滿同態(tài).用Hom(M,-)作用圖6可得圖7.

圖7 交換圖Fig.7 Commutative diagram

其中g(shù)*α=gα,α∈Hom(M,N).因?yàn)镕1?N1∩K=kerg,F2?(N1+K)∩N2=kerθ且M是相對(duì)于模Ni的完全不變子模Fi的Ni-投射模(i=1,2),所以由命題1中2)可知g*,θ*是滿同態(tài).因?yàn)镠om函子保持可裂正合性,所以η*是滿同態(tài),從而f*是滿同態(tài).因此M是相對(duì)于模N1⊕N2的完全不變子模F1⊕F2的N1⊕N2-投射模.

最后,考慮圖8.

圖8 交換圖Fig.8 Commutative diagram

圖9 交換圖Fig.9 Commutative diagram

因?yàn)镕i?Ni,M是相對(duì)于模Ni的完全不變子模Fi的Ni-投射模(i∈J)且⊕i∈JFi?⊕i∈JNi,所以M是相對(duì)于模⊕i∈JNi的完全不變子模⊕i∈JFi的⊕i∈JNi-投射模.故存在同態(tài)λ:M→⊕i∈JNi?⊕i∈INi使得hλ=gλ=η.因此M是相對(duì)于模⊕i∈INi的完全不變子模⊕i∈IFi的⊕i∈INi-投射模.

定理1設(shè)N是右R-模,F?N.則下列條件等價(jià)：

1) 每個(gè)右R-模是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模；

2)N的每個(gè)同態(tài)像是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模；

3)N=F⊕A,其中A是半單模；

4)N=F+Soc(N).

證明1)?2) 顯然.

2)?3) 因?yàn)镹/F是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模,所以自然滿同態(tài)f:N→N/F可裂,從而F≤⊕N.即存在A≤N使得N=F⊕A.設(shè)K/F?N/F且K/F?H/F≤N/F.因?yàn)镹/H是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模,所以由命題2中3)可知N/H是相對(duì)于模N/F的完全不變子模K/F的N/F-投射模.故N/H是N/F-投射模,從而自然滿同態(tài)g:N/F→(N/F)/(H/F)可裂,H/F≤⊕N/F.因此N/F是半單模.因?yàn)镹/F?A,所以A是半單模.

3)?1) 考慮圖10.

圖10 交換圖Fig.10 Commutative diagram

其中F?kerσ,π:Ν→Ν/kerσ是自然滿同態(tài).因?yàn)棣?π是滿同態(tài)且kerπ=kerσ,所以由同態(tài)分解定理可知存在同構(gòu)θ:N/kerσ→K使得σ=θπ.因?yàn)镕?kerσ,所以可定義滿同態(tài)g:N/F→N/kerσ,g(n+F)=n+kerσ使得π=gη,其中η:Ν→Ν/F是自然滿同態(tài).由N/F是半單?？芍獫M同態(tài)g可裂,即存在同態(tài)g′:N/kerσ→N/F使得gg′=1N/ker σ.由假設(shè)可知F≤⊕N,故自然滿同態(tài)η可裂,即存在同態(tài)η′:N/F→N使得ηη′=1N/F.因此θπη′g′θ-1f=θgηη′g′θ-1f=f.取α∶=η′g′θ-1f,θπα=σα=f,進(jìn)而M是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模.

3)?4) 因?yàn)镹=F⊕A,其中A是半單模,所以N=F⊕Soc(A),從而N=N+Soc(N)=F⊕Soc(A)+Soc(N)=F+Soc(N).因此N=F+Soc(N).

4)?3) 假設(shè)N=F+Soc(N).當(dāng)F∩Soc(N)=0時(shí),結(jié)論顯然成立.當(dāng)F∩Soc(N)=B≠0時(shí),B≤⊕Soc(N),故N=F+Soc(N)=F+(A⊕B)=F+A,其中A是N的半單子模.由(F∩A)∩Soc(A)?(F∩Soc(N))∩Soc(A)=B∩A=0可知F∩A=0.因此N=F⊕A,其中A是半單模.

推論3[9]設(shè)N是右R-模.則下列條件等價(jià)：

1) 每個(gè)右R-模是N-投射模；

2)N的每個(gè)同態(tài)像是N-投射模；

3)N是半單模.

證明在定理1中取F=0即可.

引理1[12]設(shè)M是右R-模,N≤M.則下列兩條等價(jià)：

1)N?δM.

2) 若A≤M,M=A+N,則M=A⊕B,其中B是N的投射半單子模.

定理2設(shè)N是右R-模,F?N.若F是半單?；騀?δN,則下列條件等價(jià)：

1) 每個(gè)右R-模是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模；

2)N的每個(gè)同態(tài)像是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模；

3)N是半單模.

證明當(dāng)F是半單模時(shí),由定理1即證.下設(shè)F?δN.

3)?1)?2) 顯然.

2)?3) 由定理1可知N=F⊕A,其中A是半單模.因?yàn)镕?δN,所以由引理1可知N=B⊕A,其中B是F的投射半單子模,故N是半單模.

推論4[2]設(shè)N是有限生成右R-模.則下列條件等價(jià)：

1) 每個(gè)右R-模是Rad-N-投射模；

2)N的每個(gè)同態(tài)像是Rad-N-投射模；

3)N是半單模.

證明若N是有限生成右R-模,則

Rad(N)?δN

故由定理2即可證得.

推論5[1]設(shè)Ν是右R-模.則下列條件等價(jià)：

1) 每個(gè)右R-模是Soc-N-投射模；

2)N的每個(gè)同態(tài)像是Soc-N-投射模；

3)N是半單模.

證明因?yàn)镾oc(N)是N的半單子模,所以由定理2即可證得.

推論6設(shè)R是環(huán).則下列條件等價(jià)：

1)R是半單環(huán)；

2) 每個(gè)右R-模是RR-投射模；

3) 每個(gè)右R-模是Rad-投射模；

4) 每個(gè)右R-模是Soc-投射模.

定理3設(shè)R是環(huán),M是右R-模,F?E(M).則下列條件等價(jià)：

1) 相對(duì)于模E(M)的完全不變子模F的E(M)-投射模的子模是相對(duì)于模E(M)的完全不變子模F的E(M)-投射模；

2) 投射右R-模的子模是相對(duì)于模E(M)的完全不變子模F的E(M)-投射模；

3)R的右理想是相對(duì)于模E(M)的完全不變子模F的E(M)-投射模；

4)E(M)/F的商模是內(nèi)射模.

證明1)?2)?3) 顯然.

3)?4) 設(shè)I是R的右理想,K是E(M)/F的同態(tài)像.考慮圖11.

圖11 交換圖Fig.11 Commutative diagram

由假設(shè)可知I是相對(duì)于模E(M)的完全不變子模F的E(M)-投射模,故存在同態(tài)θ:I→E(M)使得ηθ=f.因?yàn)镋(M)是內(nèi)射模,所以存在同態(tài)λ:R→E(M)使得λi=θ,故ηλi=ηθ=f.設(shè)g∶=ηλ:R→Κ,則g是f的擴(kuò)張.故由Bear準(zhǔn)則可知K是內(nèi)射模.

4)?1) 設(shè)B是相對(duì)于模E(M)的完全不變子模F的E(M)-投射模,A≤B.考慮圖12.

圖12 交換圖Fig.12 Commutative diagram

其中K是E(M)/F的同態(tài)像.因?yàn)镵是內(nèi)射模,所以f可以擴(kuò)張到同態(tài)θ:B→K使得f=θi.因?yàn)锽是相對(duì)于模E(M)的完全不變子模F的E(M)-投射模,所以存在同態(tài)λ:B→E(M)使得ηλ=θ.由ηλi(x)=ηλ(x)=θ(x)=f(x),x∈A可知同態(tài)λi:A→E(M)是f的提升,故A是相對(duì)于模E(M)的完全不變子模F的E(M)-投射模.

推論7設(shè)M是右R-模.則下列條件等價(jià)：

1) E(M)-投射模的子模是E(M)-投射模；

2) 投射右R-模的子模是E(M)-投射模；

3)R的右理想E(M)-投射模；

4) E(M)的商模是內(nèi)射模.

證明在定理3中取F=0即可.

推論8設(shè)M是內(nèi)射右R-模,F?M.則下列條件等價(jià)：

1) 相對(duì)于模M的完全不變子模F的M-投射模的子模是相對(duì)于模M的完全不變子模F的M-投射模；

2) 投射右R-模的子模是相對(duì)于模M的完全不變子模F的M-投射模；

3)R的右理想是相對(duì)于模M的完全不變子模F的M-投射模；

4)M/F的商模是內(nèi)射模.

證明若M是內(nèi)射右R-模,則M=E(M),故由定理3即可證得.

推論9設(shè)R是環(huán),M是內(nèi)射右R-模.則下列條件等價(jià)：

1)R是右遺傳環(huán)；

2)M-投射模的子模是M-投射模；

3) 投射右R-模的子模是M-投射模；

4)R的右理想是M-投射模.

證明在推論8中取F=0即可證得.

命題4設(shè)M和N是右R-模,F?N.若N/F是半單模,則下列兩條等價(jià)：

1)M是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模.

2) 每個(gè)同態(tài)γ:M→N/F可以被提升到同態(tài)λ:M→N使得γ=ηλ,其中η:N→N/F是自然滿同態(tài).

證明1)?2) 顯然.

2)?1) 考慮圖13.

圖13 交換圖Fig.13 Commutative diagram

其中F?kerπ.因?yàn)棣?π是滿同態(tài)且F=kerη?kerπ,所以由同態(tài)分解定理可知存在滿同態(tài)φ:N/F→L使得π=φη.因?yàn)镹/F是半單模所以滿同態(tài)φ可裂,即存在同態(tài)g:L→N/F使得φg=1L.由假設(shè)可知存在同態(tài)λ:M→N使得ηλ=gf.因此πλ=φηλ=φgf=1Lf=f,故λ為所求同態(tài),即M是相對(duì)于模N的完全不變子模F的N-投射模.

命題5設(shè)N1,N2是右R-模,F1⊕F2?N1⊕N2,其中F1≤N1,F2≤N2.若N1⊕N2是相對(duì)于模N1⊕N2的完全不變子模F1⊕F2的N1⊕N2-投射模,則每個(gè)滿同態(tài)f:N1→N2可裂,其中F1?kerf.另外,若N1是投射模,則N2是投射模.

證明設(shè)f:N1→N2是滿同態(tài)且F1?kerf.考慮圖14.

圖14 交換圖Fig.14 Commutative diagram

定義2設(shè)M是右R-模,I?RR.稱M是相對(duì)于理想I的R-投射模,若M是相對(duì)于模RR的完全不變子模I的RR-投射模.

注2設(shè)R是環(huán),I?RR.當(dāng)I=0時(shí),相對(duì)于理想I的R-投射模是R-投射模；當(dāng)I=τ(R)時(shí),相對(duì)于理想I的R-投射模是τ-投射模；當(dāng)I=Rad(R)時(shí),相對(duì)于理想I的R-投射模是Rad-投射模；當(dāng)I=R時(shí),每個(gè)右R-模都是相對(duì)于理想I的R-投射模.

定理4設(shè)R是環(huán),I?RR.若I?δRR,則R是半單環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R/I是半單的且是相對(duì)于理想I的R-投射模.

證明“?”因?yàn)镽是半單環(huán),所以R/I是半單的且每個(gè)右R-模是投射的,故R/I是相對(duì)于理想I的R-投射模.

“?” 因?yàn)镽/I是相對(duì)于理想I的R-投射模,所以滿同態(tài)R→R/I可裂,從而I≤⊕R,即存在R的右理想T使得R=I⊕T,故R/I?T,進(jìn)而由R/I是半單的可知T是半單模.因?yàn)镮?δRR,所以由引理1可知R=Y⊕T,其中Y是I的半單投射右理想.因此R是半單環(huán).

命題7設(shè)R是環(huán),M是右R-模,I?RR.若I?δ(R)且M是相對(duì)于理想I的R-投射模,則下列條件等價(jià)：

1)M是生成子；

2)M生成每個(gè)單右R-模；

3) 對(duì)任意單右R-模S,Hom(M,S)≠0.

證明1)?2)?3) 顯然.

3)?1) 假設(shè)TR(M)≠R.故TR(M)?A,其中A是R的極大理想.因?yàn)镽/A是單模,所以由前提條件可知存在非零同態(tài)f:M→R/A.考慮圖15.

圖15 交換圖Fig.15 Commutative diagram

其中η:R→R/A是自然滿同態(tài).若R/A是奇異模,則η(I)?η(δ(R))?δ(R/A)=0,故I?kerη.由M是相對(duì)于理想I的R-投射?？芍嬖谕瑧B(tài)λ:M→R使得圖15可換.若R/A是投射模,則滿同態(tài)η可裂,存在同態(tài)λ:M→R使得圖15可換.故上述兩種情況都存在同態(tài)λ使得ηλ=f.由Imλ?TR(M)?A=kerη可知f=ηλ=0,矛盾.因此TR(M)=R,M是生成子.

定理5設(shè)R是環(huán),I?RR.若I?δ(R),則下列條件等價(jià)：

1)R是GV-環(huán)；

2) 每個(gè)右R-模的小子模是投射模；

3) 每個(gè)右R-模的小子模是相對(duì)于理想I的R-投射模；

4) 每個(gè)小右R-模是相對(duì)于理想I的R-投射模.

證明1)?2) 設(shè)M是右R-模,K?M.當(dāng)K=0時(shí),顯然成立.當(dāng)0≠x∈K時(shí),令A(yù)是xR的極大子模.若xR/A是奇異模,則由假設(shè)可知xR/A是內(nèi)射模,故xR/A≤⊕M/A.因?yàn)锳≤xR≤K?M,所以A≤xR?M,故xR/A?M/A,從而xR/A=0,矛盾.因此xR/A不是奇異模,而是投射模,故A≤⊕xR,從而xR和K是半單模.令K=⊕i∈IKi,其中Ki是K的單子模.若Ki是奇異模,則由假設(shè)可知Ki是內(nèi)射模,故Ki≤⊕M.因?yàn)镵i≤K?M,以Ki?M,故Ki=0,矛盾.因此Ki不是奇異模,而是投射模,故K是投射模.

2)?3)?4) 顯然.

4)?1) 設(shè)M是奇異單右R-模.若M?E(M),則由假設(shè)可知M是相對(duì)于理想I的R-投射模.考慮圖16.

圖16 交換圖Fig.16 Commutative diagram

對(duì)任意g:R→M的滿同態(tài)有g(shù)(I)?g(δ(R))?δ(M)=0可知I?kerg.因?yàn)镸是相對(duì)于理想I的R-投射模,所以存在同態(tài)h:M→R使得gh=id,故滿同態(tài)g可裂,從而M是投射模,矛盾.因此M不是E(M)的小子模,故存在E(M)的真子模K使得E(M)=K+M.因?yàn)镵∩M=0,所以M≤⊕E(M).因此M是內(nèi)射模.

推論10[2]設(shè)R是環(huán).則下列條件等價(jià)：

1)R是GV-環(huán)；

2) 每個(gè)右R-模的小子模是投射模；

3) 每個(gè)右R-模的小子模是Rad-投射模；

4) 每個(gè)小右R-模是Rad-投射模.

證明因?yàn)镽ad(R)?δ(R),所以由定理5即可證得.

圖17 交換圖Fig.17 Commutative diagram

命題9設(shè)R是環(huán),I?RR.若I?δ(R),則每個(gè)單相對(duì)于理想I的R-投射模是投射的.

證明設(shè)S是單相對(duì)于理想I的R-投射模.若S是奇異模,η:R→S是自然滿同態(tài),則η(I)?η(δ(R))?δ(S)=0,即I?kerη.因?yàn)镾是相對(duì)于理想I的R-投射模,所以滿同態(tài)η可裂,故S是投射模,矛盾.因此S不是奇異模而是投射模.