張廣為，王子雨，李詠琪

（北京建筑大學(xué)，北京 102627）

500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（Five－h(huán)undredmeter Aperture Spherical radio Telescope，F(xiàn)AST） 是我國(guó)國(guó)家“十一五”重大科技基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)項(xiàng)目。主動(dòng)反射面作為FAST 的創(chuàng)新點(diǎn)，其特點(diǎn)是通過控制基準(zhǔn)球面上主索節(jié)點(diǎn)的伸縮，在觀測(cè)方向形成300 m口徑瞬時(shí)拋物面。隨著所觀測(cè)天體位置的變化而將反射面實(shí)時(shí)調(diào)整至理想拋物面的位置，使得觀測(cè)天體發(fā)出的平行電磁波經(jīng)過主動(dòng)反射面反射后匯聚到饋源艙平面上，即實(shí)現(xiàn)了對(duì)觀測(cè)天體的實(shí)時(shí)跟蹤及接收[1]。因此，通過數(shù)學(xué)模型進(jìn)行理想拋物面形狀的設(shè)計(jì)是使FAST 能夠獲得最佳接收效果的必要保證。

關(guān)于FAST 拋物面的變形策略，前人的研究比較少。李明輝等[2]考慮節(jié)點(diǎn)總位移量、拋物面邊緣與球面是否平滑過渡等原則，設(shè)計(jì)出3 種變形策略，但未綜合考量每種理想拋物面的反射效率。

在前人研究的基礎(chǔ)上，本文首先建立了饋源艙的接收比模型，衡量了不同拋物面的接收效果。隨后，建立了雙目標(biāo)優(yōu)化模型，以“最佳的接收效比”和“主索節(jié)點(diǎn)總位移量最小”為優(yōu)化目標(biāo)，得到了理想拋物面方程；進(jìn)而考慮了隨著天體的位移，理想拋物面方程的變化情況，量化分析了理想拋物面的形狀。

1 問題分析

在2021 高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題A題“‘FAST’主動(dòng)反射面的形狀調(diào)節(jié)”[3]中，提出了下面的問題：在反射面板調(diào)節(jié)約束下，確定一個(gè)理想拋物面，然后通過調(diào)節(jié)主索節(jié)點(diǎn)的徑向伸縮量，將反射面調(diào)節(jié)為理想拋物面。通過建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)理想拋物面形狀進(jìn)行量化分析。為了便于分析，本文簡(jiǎn)化了物理模型，忽略了自重和風(fēng)載荷引起的反射面形狀變化，同時(shí)忽略了其中一個(gè)主索節(jié)點(diǎn)長(zhǎng)度變化對(duì)周圍主索節(jié)點(diǎn)變化精度的影響[2]。

2 饋源艙的接收比模型

依據(jù)旋轉(zhuǎn)拋物面在旋轉(zhuǎn)過程中的對(duì)稱性，建立模型時(shí)將三維旋轉(zhuǎn)拋物面簡(jiǎn)化到二維拋物線[2]；并且基于黎曼積分的思想，將線段離散化，以一個(gè)極小值為步長(zhǎng)在線段上取點(diǎn)，將線段設(shè)想為一系列離散點(diǎn)的組合。通過分析線段上所有離散點(diǎn)的反射情況來判斷一條線段的反射效果。

2.1 拋物線上任意點(diǎn)T 的反射過程分析

依據(jù)模型假設(shè)，電磁波信號(hào)可認(rèn)為是直線傳播，且對(duì)于無窮遠(yuǎn)的觀測(cè)天體所發(fā)射的電磁波信號(hào)可近似為許多束平行光線[4-5]。依據(jù)上述對(duì)模型的簡(jiǎn)化，對(duì)于任一個(gè)以z 軸為對(duì)稱軸同時(shí)焦點(diǎn)在z 軸上的拋物面，其方程為

式中：P 為焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離；C 為待求常數(shù)。

對(duì)于其上的一點(diǎn)T0（x0，y0，z0），其所在點(diǎn)的切平面法向量Γ＝（2x0，2y0，－2P），對(duì)應(yīng)的入射電磁波l1方程為

法線l2方程為

依據(jù)光的反射定律[2]，可知反射電磁波l3與入射電磁波l1在其所處平面上關(guān)于法線l2對(duì)稱。在三維空間里，若入射電磁波l1關(guān)于法線l2對(duì)稱，則反射電磁波l3[6]可表示為

式中：X＝2x0；Y＝2y0；Z＝－2P。

拋物線上任意點(diǎn)的反射過程見圖1。由圖1 可知，已知饋源艙平面可簡(jiǎn)化為在z＝－160．2 的平面上半徑為1 m 的圓[3]，如果要判斷反射電磁波l3能否反射到饋源艙平面上（即饋源艙平面是否可以接收到反射電磁波l3），就需要在求得反射電磁波l3與饋源艙平面z＝－160．2 的交點(diǎn)T1（x1，y1，－160．2）后，比較x21＋y21與1 的大小。若x21＋y21≤1，則饋源艙平面可以接收到反射電磁波l3；若，則饋源艙平面接收不到反射電磁波l3。

圖1 拋物線上任意點(diǎn)的反射過程

2.2 計(jì)算接收比

在2．1 節(jié)中分析了理想拋物面上一個(gè)離散點(diǎn)的反射情況，由于旋轉(zhuǎn)拋物面的對(duì)稱性，因此考慮取當(dāng)y＝0 時(shí)的二維理想拋物線，通過取極小的步長(zhǎng)將理想拋物線離散為許多點(diǎn)，就可以定義理想拋物線的接收比η 為

式中：N為成功反射到饋源艙的離散點(diǎn)總數(shù)；L′為取的離散步長(zhǎng)，可取0．001；L為理想拋物線總長(zhǎng)。

3 建立雙目標(biāo)優(yōu)化模型確定理想拋物面方程

FAST 反射面實(shí)現(xiàn)對(duì)觀測(cè)天體的跟蹤過程中，為避免局部主索的松弛或因過度拉緊使應(yīng)力超過設(shè)計(jì)值，主索節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位移量應(yīng)在合理范圍內(nèi)越小越好[1]，同時(shí)又要保證變形后的拋物面形狀有著良好的接收效率。

因此，本文以“主索節(jié)點(diǎn)總位移量最小”和“最佳接收比”兩個(gè)因素建立優(yōu)化目標(biāo)。同時(shí)考慮單個(gè)主索節(jié)點(diǎn)位移受束縛、節(jié)點(diǎn)間位移變化的互相影響等作為約束條件，建立雙目標(biāo)優(yōu)化模型。

3.1 雙目標(biāo)優(yōu)化模型

由實(shí)際情況可知[3]，主索節(jié)點(diǎn)位移量有以下3 類約束條件。

1） 滿足焦點(diǎn)P 以及對(duì)稱軸SO 的約束，且過拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)。其中，焦點(diǎn)位置為（0，－160．2），對(duì)稱軸SO 為x＝0，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，－（R＋h））。由此可得約束條件方程組為

式中：坐標(biāo)系為xOz；P 為焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離；C 為待求常數(shù)；F 為焦距；h 為拋物面頂點(diǎn)和基準(zhǔn)球面頂點(diǎn)的距離；R為基準(zhǔn)球面半徑；焦徑比F/R已知。拋物線方程可整理為

式（7）中僅h 未知，故旋轉(zhuǎn)拋物線方程僅與拋物面頂點(diǎn)和基準(zhǔn)球面頂點(diǎn)的相對(duì)位置h 有關(guān)。第102頁圖2 為理想拋物面的調(diào)節(jié)示意圖。

圖2 理想拋物面的調(diào)節(jié)示意圖

2） 由于促動(dòng)器頂端伸縮幅度限制與拋物面的位置關(guān)系不直接[3]，描述較為復(fù)雜，可以用以下約束條件近似代替：拋物面與基準(zhǔn)球面同一徑向上兩點(diǎn)之間的距離應(yīng)小于0．6 m，即主索節(jié)點(diǎn)頂點(diǎn)伸縮幅度≤0．6 m，其表達(dá)式為

式中：Oi（xi，zi）與Oi′（xi′，zi′）分別為第i 個(gè)主索節(jié)點(diǎn)變換前與變換后的坐標(biāo)。

3） 主索節(jié)點(diǎn)調(diào)節(jié)后，相鄰節(jié)點(diǎn)間的距離會(huì)發(fā)生微小變化，變化幅度≤0．007%，已知一個(gè)主索節(jié)點(diǎn)的最大位移量為0．6 m，其對(duì)周圍主索節(jié)點(diǎn)的影響僅在微米級(jí)別，即0．6 m×106×0．007%＝42 μm，故可忽略不計(jì)。

考慮完上述約束條件，接下來以“主索節(jié)點(diǎn)總位移量最小”為優(yōu)化目標(biāo)建立函數(shù)。通過計(jì)算拋物面與球面間的面積來代替主索節(jié)點(diǎn)總位移量，運(yùn)用積分在300 m 口徑內(nèi)求得曲面面積的表達(dá)式為

3.2 模型求解

雙目標(biāo)優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)可匯總為

考慮到算法的精度，本文采用遍歷搜索算法求解。最優(yōu)參數(shù)的求解結(jié)果為h=0.39 m，η=0.663 3%；理想拋物面方程為x2+y2-560.76z-1.684 5×105=0。

4 觀測(cè)天體S 在不同方位時(shí)的變形策略

圖3 為坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換示意圖。在3.2 節(jié)中求解得到的理想拋物面方程是觀測(cè)天體S 在基準(zhǔn)球面正上方時(shí)的情況；當(dāng)觀測(cè)天體S 變換方位時(shí)，其與基準(zhǔn)球面球心O 的連線與x 軸的夾角為α，且與xOy平面的夾角為β，這就需要轉(zhuǎn)換到新的坐標(biāo)系，使觀測(cè)天體S 依舊位于基準(zhǔn)球面正上方，實(shí)現(xiàn)觀測(cè)天體S在運(yùn)動(dòng)時(shí)，基準(zhǔn)球面也能依據(jù)不同的理想拋物面形狀做出及時(shí)調(diào)整。

圖3 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換示意圖

4.1 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的旋轉(zhuǎn)矩陣

在描述空間的一點(diǎn)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化后所處的位置時(shí)，可以通過研究旋轉(zhuǎn)矩陣來實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換[7]，如觀測(cè)天體S 處于α=36.795°，β=78.169°的方位時(shí)。

首先，將坐標(biāo)系繞著z 軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，通過順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（2π-α），來修正x 軸的旋轉(zhuǎn)變化，并得到繞著z 軸變換的旋轉(zhuǎn)矩陣Rz（2π-α）為

接著，把坐標(biāo)系再繞著y 軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（π/2－β），得到旋轉(zhuǎn)矩陣Ry（π/2－β）為

整合式（11） 和式（12），就可以得到觀測(cè)天體S 變換到基準(zhǔn)球面正上方時(shí)的整體旋轉(zhuǎn)矩陣R 為

對(duì)于原先坐標(biāo)系上的任意一點(diǎn)（x，y，z）都可以轉(zhuǎn)換到觀測(cè)天體S 處于基準(zhǔn)球面正上方時(shí)的坐標(biāo)（x′，y′，z′）。轉(zhuǎn)換公式的具體應(yīng)用示例為

如式（14） 所示，（0，0，-300.39）是觀測(cè)天體S處于基準(zhǔn)球面正上方時(shí)，即3.2 節(jié)中α=0°，β=0°的方位時(shí)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，（49.318 4，36.888 2，-294.008 7）為觀測(cè)天體S 在α=36.795°，β=78.169°的方位時(shí)的頂點(diǎn)坐標(biāo)。

4.2 理想拋物面方程

經(jīng)過旋轉(zhuǎn)矩陣變換，可將原先所有主索節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y，z）都更新到觀測(cè)天體S 處于基準(zhǔn)球面正上方時(shí)的新坐標(biāo)（x′，y′，z′），繼續(xù)沿用3．2 節(jié)所求解得到的理想拋物面方程，即可通過主索節(jié)點(diǎn)的徑向調(diào)節(jié)，使基準(zhǔn)球面更加貼近理想拋物面，實(shí)現(xiàn)對(duì)觀測(cè)天體S 的動(dòng)態(tài)觀測(cè)。

5 結(jié)論

針對(duì)理想拋物面形狀的設(shè)計(jì)問題，本文以實(shí)際問題為引，通過“最佳的接收比”和“主索節(jié)點(diǎn)總位移量最小”兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)來建立數(shù)學(xué)模型，采用遍歷搜索算法求解，在保證算法的精度和速度的同時(shí)，求解出了理想拋物面在三維坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)方程，提供了有效的變形策略。進(jìn)一步，為求解觀測(cè)天體在不同方位時(shí)的形狀，通過旋轉(zhuǎn)矩陣求得當(dāng)觀測(cè)天體處于基準(zhǔn)球面正上方時(shí)，需要調(diào)節(jié)的新主索節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，可沿用本文所求解得到的理想拋物面方程，模型的推廣性較好，有助于FAST 實(shí)現(xiàn)對(duì)觀測(cè)天體的定向跟蹤。