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      函數(shù)背景中的面積問(wèn)題考查探究

      2022-07-06 09:15:43周兒
      數(shù)理天地(初中版) 2022年20期
      關(guān)鍵詞:面積函數(shù)

      周兒

      【摘要】函數(shù)背景中的面積問(wèn)題形式多樣,其考查重點(diǎn)涉及面積模型構(gòu)建、割補(bǔ)方法、等量轉(zhuǎn)化、方程思想等.本文結(jié)合具體試題深入探究面積問(wèn)題的構(gòu)建形式,考查方式,總結(jié)突破策略十分必要.

      【關(guān)鍵詞】函數(shù);面積;拆分法

      函數(shù)背景中的圖形面積問(wèn)題十分常見(jiàn),問(wèn)題設(shè)定即考查方式較為多樣.除了直接求圖形面積,還常見(jiàn)求面積關(guān)聯(lián)條件等.可從面積關(guān)系、面積最值等視角進(jìn)行考查,下面結(jié)合實(shí)例具體探究.

      考查方式一 直接求圖形面積

      直接求圖形面積,即基于函數(shù)交點(diǎn)構(gòu)建幾何圖形,設(shè)問(wèn)求圖形的面積,突破的核心是構(gòu)建面積模型,結(jié)合面積公式求解,解題時(shí)要善于運(yùn)用割補(bǔ)拆分法.

      例1 如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=ax+ba≠0的圖象與反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象交于P、Q兩點(diǎn).點(diǎn)P-4,3,點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-2.

      (1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式;

      (2)求△POQ的面積.

      解析 本題目以反比例函數(shù)與一次函數(shù)相交為背景,第(2)問(wèn)求三角形的面積,合理拆解圖形構(gòu)建面積模型即可.

      (1)簡(jiǎn)答,反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-12x;一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-12x+1.

      (2)設(shè)一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為M,如圖2, OM可將△POQ拆分為△POM和△QOM兩部分,則S△POQ=S△POM+S△QOM.點(diǎn)M為一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn),可求得M(0,1),則底邊OM=1.點(diǎn)P(-4,3),Q(6,-2),則點(diǎn)P和Q分別到底邊OM的距離為4和6,所以S△POQ=S△POM+S△QOM=12×1×4+12×1×6=5,即△POQ的面積為5.

      考查方式二 設(shè)定面積求關(guān)聯(lián)條件

      設(shè)定面積求關(guān)聯(lián)條件,即問(wèn)題中給定圖形面積,求與其相關(guān)的條件,如點(diǎn)坐標(biāo)、參數(shù)值,函數(shù)方程系數(shù)等.該類問(wèn)題是基于面積的逆向設(shè)問(wèn),解題核心是基于方程思想,圍繞圖形面積構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程.

      例2 如圖3,一次函數(shù)y=kx+2k≠0的圖象與反比例函數(shù)y=mx m≠0,x>0的圖象交于點(diǎn)A2,n,與y軸交于點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)C-4,0.

      (1)求k與m的值;

      (2)Pa,0為x軸上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△APB的面積為72時(shí),求a的值.

      解析 本題目同樣以反比例函數(shù)與一次函數(shù)相交為背景,第(2)問(wèn)中設(shè)定三角形面積求a的值,而a為三角形頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)值,故實(shí)則為已知圖形面積求頂點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題.

      (1)簡(jiǎn)答,k=12,m=6.

      (2)直接構(gòu)建△APB的面積模型較為困難,可采用割補(bǔ)法拆分轉(zhuǎn)化,建立與點(diǎn)P相關(guān)的面積關(guān)系,則S△CAP=S△ABP+S△CBP.

      點(diǎn)B位于y軸上,可得B(0,2),點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PC=a+4,由面積公式可知S△CBP=12PC·OB=12×a+4×2=a+4,S△CAP=12PC·yA=12×a+4×3=32a+4.

      由S△CAP=S△ABP+S△CBP,

      可得32a+4=72+a+4,

      可解得a=3或a=-11.

      考查方式三 設(shè)定面積關(guān)系求關(guān)聯(lián)條件

      設(shè)定面積關(guān)系求關(guān)聯(lián)條件,即問(wèn)題中給出兩圖形的面積關(guān)系,求與之相關(guān)的條件.其中的面積關(guān)系,可為等面積關(guān)系,面積之積關(guān)系,面積和差關(guān)系等,解析時(shí)需關(guān)注兩圖形的關(guān)聯(lián)特征,將其轉(zhuǎn)化為線段條件,進(jìn)而推導(dǎo)求解.

      例3 如圖4,二次函數(shù)y1=x2+mx+1的圖象與y軸相交于點(diǎn)A,與反比例函數(shù)y2=kx(x>0)的圖象相交于點(diǎn)B(3,1).

      (1)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;

      (2)當(dāng)y1隨x的增大而增大且y1

      (3)平行于x軸的直線l與函數(shù)y1的圖象相交于點(diǎn)C、D(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊),與函數(shù)y2的圖象相交于點(diǎn)E.若△ACE與△BDE的面積相等,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

      解析 本題目以反比例函數(shù)與拋物線相交為背景,第(3)問(wèn)設(shè)定△ACE與△BDE的面積相等,求頂點(diǎn)E的坐標(biāo),解析的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化面積關(guān)系條件,推導(dǎo)頂點(diǎn)坐標(biāo).

      (1)簡(jiǎn)答,二次函數(shù)的解析式為y1=x2-3x+1,反比例函數(shù)的解析式為y2=3xx>0.

      (2)根據(jù)圖象直接分析,可得當(dāng)y1隨x的增大而增大且y1

      (3)根據(jù)題意作圖,直線l平行于x軸,與二次函數(shù)的交點(diǎn)分別為C和D,與反比例函數(shù)的交點(diǎn)為E,連接AE和BE,如圖5.

      可推得點(diǎn)A(0,1),而點(diǎn)B(3,1),則點(diǎn)A和B的縱坐標(biāo)值相等,即點(diǎn)A和B到直線l的距離相等,所以△ACE的CE邊上的高與△BDE的DE邊上的高相等.

      已知△ACE與△BDE的面積相等,可推得CE=DE,即點(diǎn)E為二次函數(shù)對(duì)稱軸與反比例函數(shù)的交點(diǎn),當(dāng)x=32時(shí),y2=2,所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為E32,2.

      總之,上述充分呈現(xiàn)了函數(shù)背景中的面積問(wèn)題的構(gòu)建方式,涉及直接求面積、推導(dǎo)關(guān)聯(lián)條件、轉(zhuǎn)化面積關(guān)系等,其中的面積模型、割補(bǔ)方法、方程思想、轉(zhuǎn)化思想是探究學(xué)習(xí)的重點(diǎn).學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)立足圖形特征,結(jié)合面積公式探究總結(jié),生成類型問(wèn)題的解析策略.

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