巧用中線解周長與面積

王炳力

【摘要】三角形的中線把三角形某個頂點的對邊平均分成了兩份.這一幾何特征，在解答有關三角的面積與周長的問題有著不可替代的作用.

【關鍵詞】中線;平分;面積與周長

三角形的中線就是連接三角形的頂點與對邊中點的線段，是三角形中的主要線段之一，它的特征就是把三角形某個頂點的對邊平均分成了兩份.利用這一特征，我們可以解決某些有關三角的面積與周長的問題，下面舉例說明.

1利用三角形的中線解決周長問題

例1如圖1，AD為△ABC的中線，AB=13cm，AC=10cm.若△ACD的周長28cm，則△ABD的周長為________.

分析根據(jù)三角形的中線的概念得到BD=DC，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案.

解因為AD為△ABC的中線，

所以BD=DC，

因為△ACD的周長28cm，

所以AC+AD+CD=28（cm），

因為AC=10cm，

所以AD+CD=18（cm），

即AD+BD=18（cm），

因為AB=13cm，

所以△ABD的周長=AB+AD+BD=31（cm）.

注本題考查的是三角形的中線的概念，三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線.

例2如圖2，在△ABC中，AB=10cm，AC=6cm，D是BC的中點，E點在邊AB上.

（1）若△BDE的周長與四邊形ACDE的周長相等，求線段AE的長.

（2）若△ABC的周長被DE分成的兩部分的差是2，求線段AE的長.

分析（1）根據(jù)三角形和四邊形的周長相等列出等式，代入已知量即可得AE的長.

（2）需分兩種情況討論求解.

解（1）由圖可知△BDE的周長=BE+BD+DE，

四邊形ACDE的周長=AE+AC+DC+DE，又△BDE的周長與四邊形ACDE的周長相等，D為BC中點，

所以BD=DC，

BE+BD+DE=AE+AC+DC+DE，

即BE=AE+AC，

因為AB=10cm，AC=6cm，

所以10-AE=AE+6，

所以AE=2cm.

（2）由△ABC的周長被DE分成的兩部分的差是2，可得方程

BE=AE+AC+2，①

或BE=AE+AC-2.②

解①得AE=1cm，

解②得AE=3cm.

故AE長為1cm或3cm.

注本題考查了三角形中線性質，三角形周長的計算，關鍵是要學會分類討論的思想思考問題.

2利用三角形的中線解決面積問題

例3如圖3，BD是△ABC的中線，點E，F(xiàn)分別為BD，CE的中點，若△AEF的面積為3，則△ABC的面積是（）

（A）9.（B）10.

（C）11.（D）12.

分析根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形解答即可.

解因為F是CE的中點，△AEF的面積為3，

所以S_△ACE=2S_△AEF=6cm²，

因為E是BD的中點，

所以S_△ADE=S_△ABE，

S_△CDE=S△_BCE，

所以S_△ACE=S_△ADE+S_△CDE

=S_△ABE+S_△BCE

所以△ABC的面積=12.

故選（D）.

注本題考查了三角形的面積，主要利用了三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形，原理為等底等高的三角形的面積相等.

例4如圖4，點D，E分別是△ABC邊BC，AC上的點，BD=2CD，AE=CE，連接AD，BE交于點F，若△ABC的面積為18，則△BDF與△AEF的面積之差S_△BDF-S_△AEF等于（）

分析由△ABC的面積為18，根據(jù)三角形的面積公式和等積代換即可求得.

=18，

=18，

同理：因為BD=2CD，

BD+CD=BC，

即S_△BDF+S_△ABF=12，②

①-②得S_△BDF-S_△AEF

=（S_△BDF+S_△ABF）-（S_△AEF+S_△ABF）

=12-9=3，

故選（A）.

注本題主要考查三角形的面積及等積變換，解答此題的關鍵是等積代換.