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      共線同高三角形的性質(zhì)及推廣

      2022-07-06 04:38:26牟娜
      數(shù)理天地(初中版) 2022年19期
      關(guān)鍵詞:三邊共線同理

      牟娜

      【摘要】共線同高的三角形是指兩個(gè)三角形的兩條邊在同一條直線,且這兩條邊的高為同一條線段.根據(jù)三角形的面積公式,得共線同高的三角形的面積比等于底的比,反過(guò)來(lái),共線同高的三角形底的比等于三角形的面積比,這一性質(zhì)是解答共線同高三角形面積問(wèn)題的重要依據(jù).

      【關(guān)鍵詞】共線同高;面積比

      例如圖1,延長(zhǎng)△ABC的三邊分別至D,E,F(xiàn),使AB=2BD,BC=2CE,CA=2AF,則△DEF與△ABC的面積比為_(kāi)_______.

      解因?yàn)镾△BDF:S△ABF:S△ABC=1:2:4,設(shè)S△ABC=4,則

      S△ADF=S△BED=S△CEF=3,

      于是S△DEF=13,

      故S△DEF:S△ABC=13:4.

      變式1如圖1,延長(zhǎng)△ABC的三邊分別至D,E,F(xiàn),使,AB=nBD,BC=nCE,CA=nAF(n>0),則△DEF與△ABC的面積比為_(kāi)_______.

      解因?yàn)镾△BDF:S△ABF:S△ABC=1:n:n2,設(shè)S△ABC=n2,則

      S△ADF=S△BED=S△CEF=n+1,

      于是SDEF=n2+3n+3,

      所以△DEF與△ABC的面積之比為

      (n2+3n+3):n2.

      變式3如圖1,延長(zhǎng)△ABC的三邊分別至D,E,F(xiàn),使AB=mBD,BC=nCE,CA=tAF(m,n,t>0),則△DEF與△ABC的面積比為(mnt+mn+mt+nt+m+n+t):mnt.

      推廣如圖2,延長(zhǎng)凸四邊形ABCD的四邊分別至E,F(xiàn),G,H,使AB=nBE,BC=nCF,CD=nDG,DA=nAH(n>0),求四邊形EFGH與四邊形ABCD的面積比.

      解由變式1,得

      S△AEH:S△ABD=S△CFG:S△BCD=(n+1):n2.

      由等比定理,得

      (S△AEH+S△CFG):S四邊形ABCD=(n+1):n2

      同理可得(S△BEF+S△DGH):S四邊形ABCD=(n+1):n2,

      所以四邊形EFGH與四邊形ABCD的面積比為(n2+2n+2):n2.

      練習(xí)

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