“串聯(lián)”“并聯(lián)”法在初中數(shù)學(xué)相似三角形試題命制中的應(yīng)用

一道數(shù)學(xué)試題之所以能夠同時考查多個知識，是因為所考查的數(shù)學(xué)知識之間存在著內(nèi)在邏輯聯(lián)系，這種內(nèi)在邏輯聯(lián)系為數(shù)學(xué)試題的命制提供了多樣的可能.由于數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系類似于物理學(xué)中的“串聯(lián)”“并聯(lián)”電路，故本文將基于這種理解，提出“串聯(lián)”“并聯(lián)”命題方法，并借助一道相似三角形試題的命制過程闡釋這種命題方法.

1 數(shù)學(xué)知識的“串聯(lián)”與“并聯(lián)”

數(shù)學(xué)知識包括定理、公式、法則、定義、公理等，這些可以統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)命題[1]，人教版初中七年級下冊教材指出命題由題設(shè)與結(jié)論兩個部分組成，通過題設(shè)與結(jié)論的組合，銜接形成具備邏輯性的判斷語句，因此數(shù)學(xué)知識可以表述為包含題設(shè)與結(jié)論的語句.當數(shù)學(xué)試題考查單一知識點或多個知識點時，實際上就是考查題設(shè)與結(jié)論的邏輯聯(lián)系，而這種邏輯聯(lián)系從其銜接結(jié)構(gòu)來看，類似于物理電路組成方式中的“串聯(lián)”“并聯(lián)”，

在電路中，串聯(lián)只有一條路徑，所有的電子元件首尾依次連接.當數(shù)學(xué)知識發(fā)生“串聯(lián)”時，所有的題設(shè)與結(jié)論首尾相連，構(gòu)成一條邏輯推導(dǎo)思路.單一知識由單個題設(shè)推導(dǎo)出結(jié)論，形成“串聯(lián)”;當一個數(shù)學(xué)知識的結(jié)論可以作為另外一個數(shù)學(xué)知識的題設(shè)時，那么這兩個知識就形成了“串聯(lián)”;當題設(shè)推導(dǎo)出結(jié)論，結(jié)論又作為新的題設(shè)推導(dǎo)出結(jié)論，如此反復(fù)，從而實現(xiàn)多個數(shù)學(xué)知識的“串聯(lián)”.

在電路中，并聯(lián)電路有多條路徑，最后匯總到一條主路徑，當數(shù)學(xué)知識發(fā)生“并聯(lián)”時，多個題設(shè)或結(jié)論組合作為題設(shè)，推導(dǎo)出結(jié)論.單一知識由多個題設(shè)共同推導(dǎo)出結(jié)論，形成“并聯(lián)”;多個知識的結(jié)論共同作為新的題設(shè)推導(dǎo)出結(jié)論，形成“并聯(lián)”.

數(shù)學(xué)試題在命制過程中，“串聯(lián)”與“并聯(lián)”方法可同時使用，二者并不矛盾，因為兩種方法本質(zhì)上均是基于題設(shè)與結(jié)論的邏輯聯(lián)系.

2 數(shù)學(xué)試題命制基本流程

2.1 選擇知識內(nèi)容

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱為課標）指出，初中數(shù)學(xué)內(nèi)容分為數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何，統(tǒng)計與概率，綜合與實踐四個部分.

2.2 確定考核目標及知識點數(shù)量

根據(jù)初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試的相關(guān)要求，結(jié)合試題考核難度要求，并依托數(shù)學(xué)知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，即數(shù)學(xué)知識點題設(shè)與結(jié)論之間的聯(lián)系，確定可參與考核的知識點及數(shù)量.

2.3 單一知識點的“聯(lián)前”整理

在對多個知識點進行“串聯(lián)”或“并聯(lián)”之前，先對每一個知識點的側(cè)重程度、顯隱性、正逆向、表征方式進行處理.

（1）明確知識點側(cè)重點

根據(jù)課標中課程內(nèi)容的水平要求，確定主考知識點、次考知識點;

（2）明確知識點顯隱性

根據(jù)課標中課程內(nèi)容的水平要求，確定知識點題設(shè)或結(jié)論的顯隱性程度.在隱性程度的提升方面，為使得試題所給定條件抽象化、形式化，解題需多步驟進行[2]，可對題設(shè)或結(jié)論采取隱藏，調(diào)換、等價轉(zhuǎn)化表述、多次“串聯(lián)”或“并聯(lián)”銜接生成、添加實際背景等方法.

（3）明確知識點正逆呈現(xiàn)方向

根據(jù)課標中課程內(nèi)容的水平要求，確定知識點正逆呈現(xiàn)方向，明確題設(shè)與結(jié)論.初中數(shù)學(xué)教材給出的知識點一般視為知識的正向呈現(xiàn)，如果調(diào)換題設(shè)與結(jié)論就視為該知識點的逆向呈現(xiàn)，比如人教版七年級下冊數(shù)學(xué)教材中先給出平行線的判定方法，可視為知識點的正向呈現(xiàn)，如果將其題設(shè)與結(jié)論調(diào)換，也就是平行線的性質(zhì)就可視為知識點的逆向呈現(xiàn)，一般而言，逆向呈現(xiàn)的知識點在難度上以及隱性程度上比正向呈現(xiàn)的知識點大，因此可通過調(diào)換題設(shè)與結(jié)論來提升知識點的隱性程度.

（4）選擇知識點表征方式

數(shù)學(xué)試題可通過文字、符號、圖象三種語言來表征.

（i）文字表征

數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公理、定理、判定方法、命題等通常以文字形式呈現(xiàn)，在試題命制中，可將知識點的題設(shè)或結(jié)論使用文字進行表述.

（ii）符號表征 常見于數(shù)學(xué)公式、性質(zhì)、定義等，在試題命制過程中，可將題設(shè)或結(jié)論借助符號來表示.

（iii）圖象表征

數(shù)學(xué)知識點以表格、圖象、幾何圖形、平面直角坐標、統(tǒng)計圖等方式呈現(xiàn)，常見于函數(shù)模塊、幾何模塊、統(tǒng)計與概率模塊等;在試題命制過程中，可將題設(shè)或結(jié)論以圖表形式來表達.

（iv）對數(shù)學(xué)知識點進行“串聯(lián)”“并聯(lián)”銜接

根據(jù)知識點題設(shè)與結(jié)論之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，確定數(shù)學(xué)知識點的出場次序，明確知識點“串聯(lián)”或“并聯(lián)”銜接結(jié)構(gòu).

3 試題生成范例

3.1選擇知識內(nèi)容 考查的知識內(nèi)容為數(shù)與代數(shù)中的二次函數(shù)、圖形與幾何中的等邊三角形和相似三角形;

明確知識點側(cè)重點：主考知識點為相似三角形、二次函數(shù)，次考知識點為等邊三角形.

3.2建構(gòu)等邊三角形

（1）等邊三角形隱性呈現(xiàn)

（i）使用幾何畫板繪制等邊三角形ACED，隱藏ED，在CD上任意取點F，在等邊三角形內(nèi)部構(gòu)造ACEF.

（ ii）設(shè)置幾何圖形的變換.如圖1，將△CEF繞著點C旋轉(zhuǎn)60°，產(chǎn)生△CDA，構(gòu)造“手拉手”模型.

此時發(fā)現(xiàn)，若連接AF，則始終能保證△CFA是等邊三角形，CE∥AF.

以上兩個步驟實現(xiàn)等邊△CED和△CFA的隱藏.

（2）多個知識點“并聯(lián)”一結(jié)論到題設(shè)逆向推導(dǎo)

為推導(dǎo)△CFA是等邊三角形，先借助等邊三角形的判定方法之一“有一個內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形”找出該判定方法中的題設(shè)與結(jié)論如下：

題設(shè) 如果一個三角形的一個內(nèi)角是60度，并且這是個等腰三角形;

結(jié)論 那么這個三角形是等邊三角形.

從結(jié)論到題設(shè)的逆向推導(dǎo)使用符號語言表示如下：△CFA是等邊三角形<=>CF= CA且△CFA內(nèi)有角為60°.

將題設(shè)中的等腰三角形作為結(jié)論1，將內(nèi)角為60°作為結(jié)論2，逆向推導(dǎo)繼續(xù)尋求其題設(shè).

結(jié)論1 CF= CA.

逆向推導(dǎo)，尋得題設(shè)至少五種方案：

①△CEF由△CDA旋轉(zhuǎn)而來;

②△CEF≌△CDA;

③∠CFA= ∠CAF;

④讓點C落在線段FA的垂直平分線上;

⑤令線段CF，CA的長度數(shù)值相等.

結(jié)論2 ACFA內(nèi)有角為60°.

逆向推導(dǎo)，尋得題設(shè)至少四種方案：

①給定C，F(xiàn)，D，A等點的坐標，使得能通過三角函數(shù)值求得角度;

②借助△CFA三邊相等來求角度;

③構(gòu)造與△CFA相似或全等的某個等邊三角形;

④令CA∥x軸并結(jié)合“手拉手”模型.

在設(shè)置數(shù)學(xué)試題己知條件時，就可以從題設(shè)方案中進行選擇，比如選擇題設(shè)“△CEF由△CDA旋轉(zhuǎn)而來”和題設(shè)“令CA∥x軸”.

將上述（2）中知識點“串聯(lián)”“并聯(lián)”的銜接結(jié)構(gòu)用圖表達如下（如圖2所示）.

3.3銜接平面解析幾何

（1）多個知識點“串聯(lián)”

固定幾何圖形在二維平面內(nèi)的位置.

（i）借助幾何畫板，將“手拉手”模型與平面直角坐標系整合，整合后使得點E，D落在x軸上，且點E，D關(guān)于y軸對稱，讓點C落在y軸正半軸上，不要刻意將∠A弄成直角，否則會造成學(xué)生錯覺（如圖3所示）;

缺漏說明：此時“手拉手”模型的大小并未確定，因此可以借助固定該模型中的某些點的位置或線段長度來確定模型大小.

（ ii）“手拉手”模型中點坐標的位置可以借助二次函數(shù)來給定，比如設(shè)置開口向上的、以點G為頂點的二次函數(shù)圖象經(jīng)過點A（如圖4所示）;缺漏說明：借助幾何畫板發(fā)現(xiàn)，令二次函數(shù)圖象經(jīng)過點A不足以固定點A位置，因此需要添加條件，使得點A與二次函數(shù)具備兩種限定關(guān)系.

（2）多個知識點“并聯(lián)”

添加條件“令點A，F(xiàn)，G在同一直線上”，或添加一次函數(shù)，使得點A，F(xiàn)，G都在一次函數(shù)圖象上.

將上述3.3中知識點“串聯(lián)”“并聯(lián)”的銜接結(jié)構(gòu)用圖表達如下（如圖5所示）.

3.4 引入相似三角彤

（1）連接線段，找平面圖形中的固定三角形、固定大小和位置的三角形至少有三種：

①令拋物線圖象與x軸分別交于點I，J.過點G作GB⊥x軸于點B，此時連接JG，產(chǎn)生△JBG，形狀大小固定（如圖6所示）;

②連接點A，G，線段AG交x軸與點M，過點G作GB⊥x軸于點B，產(chǎn)生△BMG，形狀大小固定（如圖7所示）;

③連接線段EF交y軸于點K，產(chǎn)生ACKD，形狀大小固定（如圖8所示）;

（2）單一知識點“串聯(lián)”一設(shè)置與幾何圖形運動或變化屬性相關(guān)的問題

知識點正向呈現(xiàn)：給定動點位置，使得動三角形與固定三角形相似，現(xiàn)隱藏題設(shè)中的動點位置，將動點位置作為問題來設(shè)置.

針對①中的固定三角形，設(shè)置問題如下：如圖6，在拋物線上設(shè)置動點P，作PK⊥x軸，點K為垂足，問是否存在點P使得△JBG與△PIK相似;

針對②中的固定三角形，設(shè)置問題如下：如圖7，在x軸上設(shè)置動點P，問是否存在點P使得ABMG與APAM相似;

針對③中的固定三角形，設(shè)置問題如下：如圖8，在拋物線上設(shè)置動點P，連接線段FG交x軸于點N，問是否存在點P使得△PNG與△CKD相似，

以上三種問題設(shè)置均可，都是與初中幾何相似三角形有關(guān).

3.5預(yù)設(shè)問題

一般預(yù)設(shè)三個小問題，問題的設(shè)置要考究難度梯度，三個小問題難度逐漸增大，設(shè)置常規(guī)、計算量合理的二次函數(shù)，并逐一驗證計算三個小問題;

3.6將題設(shè)用文字、符號、圖象語言表征形成題干

如圖9，在平面直角坐標系中，拋物線y= √3/6（x+4）2—3√3經(jīng)過點A，點G為拋物線的頂點，點C在y軸的正半軸上，點D在x軸的正半軸上，ACAD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△CEF，點F落在線段CD上，點E落在x軸的負半軸上，CA∥x軸，點A，F(xiàn)，G在同一直線上.

3.7設(shè)置問題

（1）連接AF，求∠CFA;

（2）求點A的坐標;

（3）連接EF交y軸于點K，連接F交x軸于點N，連接皿，問拋物線上是否存在點P使得△PNG與△CKD相似.如果存在，請求出點P坐標，如果不存在，請說明理由.

參考文獻

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