隨機變量及其分布的重點題型及解題策略

陳敏 張啟兆

隨機變量及其分布是高考考查的重點內(nèi)容之一，現(xiàn)將隨機變量及其分布的重點題型及解題策略總結(jié)如下。

1.超幾何分布與二項分布

例1 某土特產(chǎn)超市為預(yù)估2023年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況，對2022年元旦期間90位游客的購買情況進行統(tǒng)計，得到人數(shù)分布表，如表1所示。

為吸引游客，該超幣推出一種優(yōu)惠方案，購買金額不少于600元可抽獎3次，每次中獎概率為p（每次抽獎互不影響，且p的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于600元的頻率），中獎1次減50元，中獎2次減100元，中獎3次減150元。若游客甲計劃購買800元的土特產(chǎn)，請列出實際付款數(shù)X（元）的分布列。

解析：“游客購買土特產(chǎn)”可視為獨立重復(fù)試驗，于是聯(lián)想到二項分布的概率模型?！叭粲慰图子媱澷徺I800元的土特產(chǎn)”，則中獎次數(shù)可能為3次、2次、1次、O次，故實際付款數(shù)X的可能取值為650，700，750，800。

模型識別：二項分布的三個特征：①任意兩個試驗相互獨立，不互相影響;②每次試驗成功的概率是相同的;③每次試驗只有兩種結(jié)果。

易錯提醒：由于游客購買土特產(chǎn)的事件相互獨立，可以利用二項分布解決，二項分布模型的建立是易錯點。

例2 隨著2022年北京冬奧會的舉辦，冰雪運動在全國各地蓬勃開展。某地為深入了解學(xué)生參與“自由式滑雪”“單板滑雪”兩項運動的情況，在該地隨機抽取了10所學(xué)校進行調(diào)研，得到數(shù)據(jù)圖，如圖1。

（l）從這10所學(xué)校中隨機選取1所學(xué)校，求這所學(xué)?！白杂墒交钡膮⑴c人數(shù)超過40人的概率。

（2）規(guī)定“單板滑雪”的參與人數(shù)超過45人的學(xué)校作為“基地學(xué)?！?。

①現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機選取3所，記X為其中的“基地學(xué)校”的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

②為提高學(xué)生“單板滑雪”水平，某“基地學(xué)?！贬槍Α皢伟寤钡?個基本動作進行集訓(xùn)并考核。若4個基本動作中至少有3個動作達到“優(yōu)秀”，則考核為“優(yōu)秀”。已知某同學(xué)參訓(xùn)前，4個基本動作中每個動作達到“優(yōu)秀”的概率均為0.2，參訓(xùn)后該同學(xué)考核為“優(yōu)秀”，能否認為該同學(xué)在參訓(xùn)后“單板滑雪”水平發(fā)生了變化？并說明理由。

解析：（l）設(shè)事件A為“從10所學(xué)校中選出1所學(xué)校，且該?！杂墒交膮⑴c人數(shù)超過40人”。

“自由式滑雪”的參與人數(shù)超過40人的

學(xué)校共4所，所以P（A）=4/10=2/5。

（2）①X的所有可能取值為0，1，2，3，“單板滑雪”的參與人數(shù)在45人以上的學(xué)校共4所。

可以認為該同學(xué)在參訓(xùn)后“單板滑雪”水平發(fā)生了變化，理由如下：

P（B）值較小，即該同學(xué)考核為“優(yōu)秀”為小概率事件，一旦發(fā)生了，就有理由認為該同學(xué)在參訓(xùn)后“單板滑雪”水平發(fā)生了變化。

點評：（1）超幾何分布是一種重要的分布模型，要深入理解概念：從包含M件次品的N件產(chǎn)品中選取n件，設(shè)取到的次品數(shù)為X，則X服從超幾何分布：

（2）超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù);

（3）超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型。

模型識別：超幾何分布的特征是：①考查對象分兩類;②已知各類對象的個數(shù);③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù)X的概率分布。

易錯提醒：概率問題的求解關(guān)鍵是辨別它的概率模型，只要模型找對，問題便迎刃而解。常見的概率分布模型有：兩點分布、超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布。

2.離散型隨機變量的均值、方差與正態(tài)分布的結(jié)合

例3 2020年8月教育部發(fā)布《關(guān)于深化體教融合，促進青少年健康發(fā)展的意見》，某校積極響應(yīng)國家號召，組織全校學(xué)生加強實心球項目訓(xùn)練，規(guī)定該校男生投擲實心球6.9米達標(biāo)，女生投擲實心球6.2米達標(biāo)，并擬定投擲實心球的考試方案時每生可以投擲3次，一旦達標(biāo)無需再投。從該校任選5名學(xué)生進行測試，如果有2人不達標(biāo)的概率超過0.1，則該校學(xué)生還需加強實心球項目訓(xùn)練。已知該校男生投擲實心球的距離ξ1服從正態(tài)分布N（6.9，0.25），女生投擲實心球的距離ξ2服從正態(tài)分布N（6.2，0.16）（ξ1，ξ2的單位：米）。

（1）請你通過計算，判斷該校學(xué)生是否還需加強實心球項目訓(xùn)練。

（2）為提高學(xué)生考試達標(biāo)率，該校決定加強訓(xùn)練，經(jīng)過一段時間訓(xùn)練后，該校女生投擲實心球的距離ξ2服從正態(tài)分布N （6. 516，0. 16），且P（x≤6.832）一0.785。此時，請判斷該校女生投擲實心球的考試達標(biāo)率能否達到99%，并說明理由。（取3√10的值為2. 15）

分析：（l）根據(jù)獨立重復(fù)試驗概率計算公式進行計算，從而作出判斷。

（2）通過計算達標(biāo)率來進行說明。

點評：求解與正態(tài)分布有關(guān)的問題時，要迅速畫出正態(tài)曲線（草圖），并將對稱軸、最高點等已知條件反映到圖形上來，根據(jù)對稱性以獲取更多的條件，再給出相應(yīng)的代數(shù)解釋，一般即可求解。通過識圖與用圖來解題，其基本解題程序：數(shù)（正態(tài)分布）一形（正態(tài)曲線）+形（對稱性）一數(shù)（對獲取對形的認識作出代數(shù)解釋）。

3.均值與方差在決策問題中的應(yīng)用

例4某財經(jīng)雜志發(fā)起一項調(diào)查，旨在預(yù)測某國經(jīng)濟前景，隨機訪問了100位業(yè)內(nèi)人士，根據(jù)被訪問者的問卷得分（滿分10分）將經(jīng)濟前景預(yù)期劃分為三個等級（悲觀、尚可、樂觀）。分級標(biāo)準(zhǔn)及這100位被訪問者得分頻數(shù)分布情況如表4。

假設(shè)被訪問的每個人獨立完成問卷（互不影響），根據(jù)經(jīng)驗，這100位人士的意見即可代表業(yè)內(nèi)人士意見，且他們預(yù)測各等級的頻率可估計未來經(jīng)濟各等級發(fā)生的可能性。

（1）該雜志記者又隨機訪問了兩名業(yè)內(nèi)人士，試估計至少有一人預(yù)測該國經(jīng)濟前景為“樂觀”的概率。

（2）某人有一筆資金，現(xiàn)有兩個備選的投資意向：物聯(lián)網(wǎng)項目或人工智能項目，兩種投資項目的年回報率都與該國經(jīng)濟前景等級有關(guān)，根據(jù)經(jīng)驗，大致關(guān)系如下表5，正數(shù)表示贏利，負數(shù)表示虧損。

根據(jù)以上信息，請分別計算這兩種投資項目的年回報率的期望與方差，并用統(tǒng)計學(xué)知識給出投資建議。

解析：（l）由題意可知100名被采訪者中，預(yù)測該國經(jīng)濟前景為“樂觀”的人數(shù)為9+7+4=20（人），概率為0.2。