正畸弓絲與托槽間摩擦力建模及試驗(yàn)研究

姜金剛, 吳殿昊, 王 磊, 張永德, 劉 怡, 姚 亮

(1.哈爾濱理工大學(xué) 先進(jìn)制造智能化技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 黑龍江 哈爾濱 150080;2.北京大學(xué) 口腔醫(yī)學(xué)院 北京 100081)

根據(jù)世界衛(wèi)生組織的研究，錯(cuò)頜畸形是口腔三大疾病之一.全球兒童和青少年錯(cuò)頜畸形患病率為56%，主要是由牙位不正確引起的[1-2]，它的發(fā)生將影響咀嚼和發(fā)音，容易引發(fā)齲齒、牙周炎和呼吸道疾病等[3].最有效和成熟的治療方法是正畸矯治，如圖1所示，金屬托槽預(yù)先粘貼于牙齒表面，托槽相對(duì)于牙齒是固定的，利用結(jié)扎絲將托槽與弓絲捆扎，正畸矯治是通過正畸弓絲形變產(chǎn)生有效矯治力帶動(dòng)托槽及牙齒產(chǎn)生生理性移動(dòng)[4-5]，但結(jié)扎絲不能完全保證二者的相對(duì)固定，托槽將沿著弓絲形變的方向產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)或滑動(dòng)趨勢(shì)，進(jìn)而在接觸面產(chǎn)生正畸摩擦力[6-8].研究顯示臨床上50%～60%的正畸力要用來克服正畸過程中產(chǎn)生的摩擦力，矯治力必須克服摩擦力，并且不損傷牙齒和周圍組織的健康，進(jìn)而獲得牙齒與周圍組織的力學(xué)平衡，才能使牙齒產(chǎn)生生理性的移動(dòng)[8-9].因此，了解正畸治療過程中產(chǎn)生的摩擦力的強(qiáng)度是促進(jìn)牙齒最佳生物運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵[10].

Fig.1 Orthodontic treatment technology圖1 正畸矯治技術(shù)

近年來，輕力矯治和數(shù)字化正畸的理念越來越受到正畸醫(yī)生的關(guān)注[11-12]，大量學(xué)者對(duì)正畸摩擦力展開研究.Razali和Gómez-Gómez等[13-15]采用有限元法探究了正畸摩擦力在正畸過程中的影響.Tiziano Baccetti等[16]通過試驗(yàn)表明，低摩擦系統(tǒng)有助于釋放較大的正畸力，保證正畸過程中牙齒移動(dòng)效率.許多研究學(xué)者利用特定測(cè)量裝置及測(cè)量方法，通過試驗(yàn)分別測(cè)得不同干濕條件、不同正畸弓絲-托槽組合及不同結(jié)扎程度等情況下弓絲與托槽間的正畸摩擦力，致力于探究正畸摩擦力的主要影響因素及變化規(guī)律，并尋求使得正畸摩擦力最小的弓絲-托槽組合及接觸方式[17-24].但這種方式大都需要多組且大量重復(fù)試驗(yàn)，對(duì)比分析后才能得到最佳的組合方案，且在不同的環(huán)境中所得到的數(shù)據(jù)具有差異性，不能為正畸醫(yī)師提供統(tǒng)一化的標(biāo)準(zhǔn)方法，很難確切地控制摩擦力大小.因此亟需建立正畸摩擦力的預(yù)測(cè)模型，通過計(jì)算來精準(zhǔn)預(yù)測(cè)正畸摩擦力.周珊等[25]根據(jù)摩擦力測(cè)量試驗(yàn)結(jié)果推算出正畸摩擦力預(yù)測(cè)公式，正畸摩擦力預(yù)測(cè)公式能夠粗略推測(cè)出正畸矯治力需要克服的正畸摩擦力大小，但未能考慮正畸弓絲與托槽間的幾何關(guān)系、力學(xué)關(guān)系及物理參數(shù)對(duì)預(yù)測(cè)模型的影響；Yukio Kojima等[26]建立了牙齒正畸滑動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)弓絲與托槽間的力學(xué)關(guān)系，以分力疊加的方式量化正畸摩擦力，但一般弓絲與托槽之間存在微小的接觸角，即牙齒在矯正滑動(dòng)時(shí)引起的傾斜槽溝與參與矯正的弓絲之間接觸而形成角度，該研究未能考慮接觸角度對(duì)摩擦力的影響.

綜上所述，目前現(xiàn)有的正畸摩擦力預(yù)測(cè)模型未能全面考慮弓絲托槽間受力關(guān)系和弓絲托槽的物理參數(shù)等因素，缺乏標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)化表達(dá)機(jī)制，因此不能保證模型預(yù)測(cè)的精確度和通用性.針對(duì)以上問題，依據(jù)正畸弓絲與托槽間的幾何關(guān)系及力學(xué)關(guān)系，考慮正畸弓絲-托槽間接觸特點(diǎn)及多物理參數(shù)，提出一種基于分力疊加法的正畸摩擦力預(yù)測(cè)模型建立方法，根據(jù)弓絲在托槽內(nèi)的滑動(dòng)機(jī)制，搭建基于六維力傳感器的正畸摩擦力測(cè)量系統(tǒng)，進(jìn)行不同弓絲-托槽組合和不同接觸角度下的摩擦力測(cè)量及分析，以證明所建立的正畸摩擦力預(yù)測(cè)模型的有效性.

1 正畸摩擦力分析及預(yù)測(cè)模型建立

1.1 正畸摩擦力影響因素及力學(xué)基礎(chǔ)

正畸矯治器由托槽和弓絲組成，托槽粘貼于待矯治的牙齒上，正畸醫(yī)師根據(jù)臨床矯治需求將弓絲彎制成特定形狀，用以產(chǎn)生矯治畸形牙齒所需要的正畸矯治力，然后將彎制好的弓絲放入托槽內(nèi)并用結(jié)扎絲進(jìn)行固定，以便對(duì)弓絲位置及姿態(tài)進(jìn)行限定[5,8].弓絲需要通過托槽才能將矯治力作用于牙齒本身，弓絲與托槽必然會(huì)接觸，當(dāng)弓絲與托槽間發(fā)生相對(duì)位移或者有相對(duì)位移的趨勢(shì)時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生正畸摩擦力，其大小與弓絲運(yùn)動(dòng)方向相反，在正畸矯治過程中，正畸力需要克服12%～60%的正畸摩擦力才能作用到牙齒上[8]，若摩擦力增大，矯治器的有效性將降低，治療時(shí)間延長(zhǎng).另外，摩擦阻力對(duì)作用于牙齒的力矩/力也產(chǎn)生影響，繼而影響牙齒的旋轉(zhuǎn)中心，出現(xiàn)牙齒無(wú)法移動(dòng)和牙根吸收等并發(fā)癥，臨床矯治的周期會(huì)被嚴(yán)重延長(zhǎng).

影響正畸摩擦力的因素分為兩大類：機(jī)械因素和生物因素[8,19].由于生物因素針對(duì)不同人群的個(gè)性化差異大，且生物參數(shù)很難定量評(píng)估，因此在本研究中致力于探究機(jī)械因素對(duì)正畸摩擦力的影響.如圖2所示，機(jī)械因素主要為弓絲材料、截面形狀和尺寸、托槽材料及寬度、槽溝寬度、弓絲與托槽的表面粗糙度、弓絲與托槽的接觸角度以及結(jié)扎方法和松緊度等.

Fig.2 Factors affecting orthodontic friction圖2 影響正畸摩擦力的因素

弓絲、托槽和結(jié)扎絲是影響正畸摩擦力的3個(gè)主要裝置，利用結(jié)扎絲將弓絲固定在托槽槽溝內(nèi)，在弓絲與托槽槽溝底面間產(chǎn)生垂直于托槽基底方向的壓力，當(dāng)弓絲形變時(shí)生成正畸力F，同時(shí)在弓絲與托槽間產(chǎn)生摩擦力Ff.通常，根據(jù)弓絲與托槽的相對(duì)接觸情況可知正畸摩擦力由三種接觸分力組成，作用原理如圖3所示.弓絲與托槽表面接觸摩擦力稱為經(jīng)典摩擦力Ff；由于牙齒傾斜或弓絲彎曲導(dǎo)致弓絲與托槽槽溝之間的傾斜達(dá)到一定的角度時(shí)，弓絲與托槽壁接觸而產(chǎn)生阻力稱為約束力FB；當(dāng)托槽與弓絲之間的成角增大使得弓絲發(fā)生永久變形時(shí)，弓絲與槽溝之間產(chǎn)生的阻力稱為刻痕阻力FS[27].

Fig.3 Force analysis between orthodontic archwire and bracket圖3 正畸弓絲與托槽間受力分析

1.2 正畸摩擦力預(yù)測(cè)模型建立

通過對(duì)正畸摩擦力原理分析可知，在正畸矯治過程中，依據(jù)正畸弓絲與托槽間接觸角大小，正畸摩擦力三種接觸分力可能階段性地存在或同時(shí)存在，因此提出基于分力疊加原理的計(jì)及接觸角 θc的正畸摩擦力預(yù)測(cè)模型建立方法，避免了傳統(tǒng)正畸弓絲與托槽間摩擦力預(yù)測(cè)模型中對(duì)于正畸弓絲與第i個(gè)托槽間的接觸角 θc的忽略而造成預(yù)測(cè)模型的精度損失.在摩擦力建模過程中先對(duì)接觸角 θc進(jìn)行分析，然后依次對(duì)約束力FB、經(jīng)典摩擦力Ff和刻痕阻力FS進(jìn)行建模，最終總摩擦力FR為三者之和.

如圖4所示，以上牙列為例，首先考慮當(dāng)弓絲與托槽槽溝上下壁兩側(cè)同時(shí)接觸時(shí)，通過對(duì)弓絲及托槽參數(shù)分析及受力分析可以得到，正畸弓絲與第i個(gè)托槽間的接觸角為

Fig.4 Position relation between adjacent brackets and friction analysis between the archwire and brackets圖4 相鄰?fù)胁坶g位置關(guān)系及弓絲-托槽間摩擦力分析

式中i表示托槽的個(gè)數(shù)，每個(gè)托槽對(duì)應(yīng)所在牙列上的1顆牙齒(正常人牙列為14顆牙齒)，i=1、2、....14，bi為第i個(gè)托槽槽溝間隙寬度，Wi為第i個(gè)托槽作用在接觸段弓絲的寬度，D為弓絲橫截面直徑.

對(duì)于處于正畸移動(dòng)過程中的正畸弓絲與托槽之間的接觸作用，牙齒傾斜和正畸弓絲彎曲導(dǎo)致正畸弓絲與托槽槽溝之間形成傾斜角，則正畸弓絲與第i個(gè)托槽上下壁的兩邊同時(shí)接觸產(chǎn)生約束力，正畸弓絲與第i個(gè)托槽間約束力是由正畸弓絲與第i個(gè)托槽下壁直接接觸產(chǎn)生的正壓力和第i個(gè)托槽內(nèi)正畸弓絲彎曲變形產(chǎn)生的力矢量和相加求得：

式中 θi是 在約束力方向上與第i個(gè)托槽間的夾角，cosθi是平行于正畸弓絲表面的分量，μi是正畸弓絲與第i個(gè)托槽間的動(dòng)摩擦系數(shù)，并且

任意兩個(gè)相鄰?fù)胁坶g的正畸弓絲的撓曲線方程表達(dá)為

式中M(x)為任意兩個(gè)相鄰?fù)胁坶g的弓絲在點(diǎn)x處的彎矩，E為楊氏模量，I為面積慣性矩，對(duì)于圓絲D為圓絲直徑，對(duì)于方絲c2為矩形絲截面上平行于溝槽表面一邊的長(zhǎng)度，c1為矩形絲截面上垂直于溝槽表面一邊的長(zhǎng)度.

如圖5所示，A點(diǎn)為第i個(gè)托槽上壁右端與正畸弓絲的接觸點(diǎn)，即力矩分析過程中，A點(diǎn)所在托槽位置作為固定鉸支座，B點(diǎn)為第i+1個(gè)托槽左端邊線與正畸弓絲的交點(diǎn)，即B點(diǎn)所在托槽位置為滑移支座；C點(diǎn)為A點(diǎn)到弓絲中點(diǎn)間的任意一點(diǎn)，D點(diǎn)為弓絲中點(diǎn)到B點(diǎn)間的任意一點(diǎn).A點(diǎn)所在托槽上下兩接觸點(diǎn)將朝著接觸處弓絲的切線方向移動(dòng)，托槽中心將沿著弓絲的施力方向移動(dòng)，除此之外，中心還將產(chǎn)生逆時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)；同樣B點(diǎn)所在托槽中心及上下壁端點(diǎn)將朝著弓絲的施力方向移動(dòng).第i個(gè)托槽與第i+1個(gè)托槽之間正畸弓絲的長(zhǎng)度為Si，即AB間的弓絲段長(zhǎng)度，i=14表示圖4中上牙列最后1個(gè)托槽，根據(jù)臨床經(jīng)驗(yàn)，此托槽主要起到固定弓絲末端和頜內(nèi)及頜間牽引作用，其受力情況不定，因此暫不對(duì)該托槽進(jìn)行摩擦力的研究，為保證定義的完整性，特殊地，S14=0.兩托槽間水平間距近似為是第i個(gè)牙齒的托槽底邊中點(diǎn)到第i+1個(gè)相鄰牙齒的托槽底邊中點(diǎn)的距離.

Fig.5 Motion analysis of special points on brackets and relative position of adjacent brackets圖5 托槽上特殊點(diǎn)運(yùn)動(dòng)分析及相鄰?fù)胁巯鄬?duì)位置

如圖6所示，第i個(gè)托槽和第i+1個(gè)托槽之間的正畸弓絲中的里任意一點(diǎn)C的力矩平衡表達(dá)式為

式中：Ay是 點(diǎn)A處y方向的反作用力，MA是點(diǎn)A處的反作用力矩，M1(x)是第i個(gè)托槽和第i+1個(gè)托槽之間的正畸弓絲中的里任意一點(diǎn)C的力矩，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x.

Fig.6 Moment analysis of orthodontic archwire圖6 正畸弓絲力矩分析

對(duì)于第i個(gè)托槽和第i+1個(gè)托槽之間的正畸弓絲的其余部分，即部分的正畸弓絲，任意一點(diǎn)D的力矩的平衡表達(dá)式為

式中，M2(x)是第i個(gè)托槽和第i+1個(gè)托槽之間的正畸弓絲上的之間任意一點(diǎn)D處的力矩，Mθi為第i個(gè)托槽和第i+1個(gè)托槽之間的正畸弓絲發(fā)生偏轉(zhuǎn)時(shí)所產(chǎn)生力矩.

x處彎矩表示為

使用奇異函數(shù)，得到方程：

第i個(gè)托槽和第i+1個(gè)托槽之間的正畸弓絲的剛度EI是恒定的，將(7)代入方程(4)表示為

對(duì)x做兩次積分，得到轉(zhuǎn)角方程和撓度方程u(x)的關(guān)系，分別為

通過使用邊界條件 θ (x)|x=0=0，u(x)|x=0=0來確定方程(11)中的積分常數(shù)，計(jì)算得出C1=C2=0；通過使用θ(x)|x=Si=0，u(x)|x=Si=0邊界條件確定方程(11)中的第i個(gè)托槽和第i+1個(gè)托槽之間的正畸弓絲在x=0處的支反力Ay：

將(12)代入(8)，通過使用邊界條件 θ (x)|x=Si=0，u(x)|x=Si=0進(jìn)行求解得到：

因此，第i個(gè)托槽和第i+1個(gè)托槽之間的正畸弓絲的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程表達(dá)式為

由于第i個(gè)托槽和第i+1個(gè)托槽之間的正畸弓絲發(fā)生偏轉(zhuǎn)時(shí)所產(chǎn)生力矩Mθi是由第i個(gè)托槽內(nèi)正畸弓絲彎曲變形產(chǎn)生的力與Mθ的力矩臂L相乘所得，力矩臂L的長(zhǎng)度為并且在第i個(gè)托槽和第i+1個(gè)托槽之間的正畸弓絲的中點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角 θ (x)為角度 θi-的正切值，通過(14)可以求解第i個(gè)托槽內(nèi)正畸弓絲彎曲變形產(chǎn)生的力：

則

可以得到：

因此，正畸弓絲與第i個(gè)托槽下壁直接接觸產(chǎn)生的正壓力和第i個(gè)托槽內(nèi)正畸弓絲彎曲變形產(chǎn)生的力分別相加得到正畸弓絲與第i個(gè)托槽間約束力作用于托槽上的反力

將(19)代入(2)，可以得出正畸弓絲與第i個(gè)托槽間約束力的表達(dá)式為

首先，正畸弓絲通過結(jié)扎絲固定在第i個(gè)托槽槽溝內(nèi)，弓絲與托槽槽溝表面接觸，并且受到結(jié)扎絲施加的法向壓力作為已知量可利用結(jié)扎絲與弓絲間加力方式確定.此時(shí)會(huì)產(chǎn)生法向摩擦力，根據(jù)第一摩擦理論，可知：

其次，弓絲置于托槽內(nèi)時(shí)與托槽上下壁接觸，弓絲與第i個(gè)托槽下壁直接接觸產(chǎn)生的正壓力由滑動(dòng)摩擦力計(jì)算公式得出正畸弓絲與第i個(gè)托槽間滑動(dòng)摩擦力預(yù)測(cè)模型的表達(dá)式為：

第i個(gè)托槽間經(jīng)典摩擦力應(yīng)為法向摩擦力與滑動(dòng)摩擦力之和

當(dāng)托槽與弓絲之間形成的傾斜角增大使得弓絲發(fā)生永久變形時(shí)，弓絲與第i個(gè)槽溝之間產(chǎn)生的阻力稱為刻痕阻力刻痕阻力由與第i個(gè)托槽接觸的正畸弓絲彎曲變形產(chǎn)生的力求得：

根據(jù)式(24)和(18)可知弓絲與第i個(gè)槽溝之間產(chǎn)生的阻力稱為刻痕阻力的表達(dá)模型為

正畸弓絲同第i個(gè)托槽間的總摩擦力由正畸弓絲與第i個(gè)托槽間滑動(dòng)摩擦力、正畸弓絲與第i個(gè)托槽間約束力和正畸弓絲與第i個(gè)托槽間刻痕阻力疊 加而成，因此正畸弓絲與托槽間總摩擦力表示為

即

2 正畸摩擦力測(cè)量試驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)材料

本研究中主要探究弓絲截面形狀尺寸及材料、托槽尺寸及槽溝寬度和弓絲與托槽間接觸角度為影響正畸摩擦力的主要因素，所以應(yīng)采用不同的托槽與弓絲組合和不同的接觸角度進(jìn)行測(cè)量.試驗(yàn)中使用的不銹鋼正畸弓絲由中國(guó)仁云醫(yī)療器械公司制造，澳絲正畸弓絲由美國(guó)A J Wilcock公司制造，結(jié)扎絲采用杭州奧索醫(yī)療器械有限公司生產(chǎn)的直徑為0.25 mm的不銹鋼結(jié)扎絲.為了探究不同弓絲與托槽組合對(duì)正畸摩擦力的影響，摩擦力測(cè)量試驗(yàn)采用包括兩種材料和兩種截面形狀的10組不同的弓絲與三種不同槽溝尺寸的托槽組合測(cè)量，弓絲代號(hào)分別為I-S1616、Ⅱ-S1622、Ⅲ-S1625、Ⅳ-S0014、Ⅴ-S0016、Ⅵ-S0018、Ⅶ-S0020、Ⅷ-A0016、Ⅸ-A0018和Ⅹ-A0020.托槽代號(hào)為：T35、T40和T45.上述的弓絲代號(hào)命名規(guī)則為S表示不銹鋼弓絲，A表示澳絲，后面四位數(shù)字為弓絲截面尺寸，代號(hào)00加弓絲直徑表示的是圓絲截面尺寸，例如S1622表示不銹鋼方絲，截面尺寸為0.406 4 mm×0.558 8 mm；A0016表示澳絲，截面直徑為0.558 8 mm[5-6].托槽代號(hào)規(guī)則如下：T表示傳統(tǒng)托槽，后面兩位數(shù)字表示托槽槽溝寬度，單位為英寸，例如：T35表示槽溝寬度為b=0.889 mm的國(guó)產(chǎn)傳統(tǒng)托槽.作用在接觸段弓絲的托槽寬度Wi對(duì)于不同牙齒的托槽略微差異，考慮到制造誤差，因此可通過游標(biāo)卡尺實(shí)測(cè).針對(duì)本研究中采用的國(guó)產(chǎn)不銹鋼弓絲和澳絲，同種材料已采用哈爾濱工業(yè)大學(xué)5569電子萬(wàn)能材料試驗(yàn)機(jī)[28]通過單軸拉伸試驗(yàn)獲得彈性模量E，國(guó)產(chǎn)不銹鋼弓絲：E=8.52×104MPa；澳絲弓絲：E=7.49×104MPa，與不銹鋼托槽間摩擦系數(shù)分別為0.15和0.12.對(duì)于圓絲對(duì)于方絲

2.2 測(cè)量系統(tǒng)搭建

通過分析正畸摩擦力的產(chǎn)生機(jī)理可知，由于弓絲與托槽之間相互接觸且弓絲不斷形變，在矯治過程中出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)現(xiàn)象或產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)，因此在二者之間會(huì)產(chǎn)生摩擦力.所以基于弓絲與托槽間的滑動(dòng)機(jī)制，采用有限滑動(dòng)法對(duì)正畸摩擦力進(jìn)行測(cè)量.如圖7所示，測(cè)量系統(tǒng)主要包括：正畸矯治器(弓絲、結(jié)扎絲及上牙列相鄰3個(gè)托槽)、萬(wàn)向夾持器、模擬牙列、牙列支撐平臺(tái)、電機(jī)控制器、弓絲拉動(dòng)滑臺(tái)、六維力傳感器、力采集器、游標(biāo)卡尺和電子角度測(cè)量?jī)x.試驗(yàn)中使用的傳感器為合肥旭寧科技公司生產(chǎn)的六維力傳感器，其量程為20 N，單通道最大采樣頻率為5 000 Hz，分辨率為0.01 N.模擬牙列以銅柱作為模擬牙齒，為了實(shí)現(xiàn)弓絲良好的拉動(dòng)順暢性且又能合理安置力傳感器，模擬牙齒安裝在模擬牙列槽溝曲率較小的端部位置，并通過100 g砝碼施加約為1 N的結(jié)扎壓力.力傳感器與活動(dòng)模擬牙齒固接，活動(dòng)模擬牙齒底端懸空，中間托槽粘接于活動(dòng)模擬牙齒上，相鄰兩側(cè)托槽粘接于固定模擬牙齒上且上下邊與模擬牙列安裝面平行，從而可以使得弓絲段的變形較小，易于測(cè)量所需的 θi值.每次試驗(yàn)前通過游標(biāo)卡尺測(cè)量，調(diào)整牙齒位置使得待測(cè)托槽

Fig.7 Orthodontic friction measuring device圖7 正畸摩擦力測(cè)量裝置

在進(jìn)行不同弓絲和托槽組合正畸摩擦力試驗(yàn)時(shí)，經(jīng)過多次測(cè)試觀察中間托槽底邊與水平線間傾斜角度為10°(以劃線方式預(yù)先標(biāo)記)，微調(diào)中間托槽位置可確保弓絲與托槽槽溝上下壁面同時(shí)接觸，然后驗(yàn)證公式(27)，測(cè)量十組弓絲與不同托槽組合情況下正畸摩擦力的數(shù)值.在進(jìn)行不同接觸角度下正畸摩擦力測(cè)量試驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)一采用T40托槽，粘貼時(shí)中間托槽與相鄰?fù)胁凵舷逻吰叫?，?jīng)過計(jì)算該托槽與試驗(yàn)所用弓絲的理論最大接觸角不超過9°，因此設(shè)定四組接觸角度值，即0°、3°、6°和9°，可以僅考慮弓絲與托槽槽溝單側(cè)壁面接觸，驗(yàn)證公式(28).通過改變兩側(cè)模擬牙齒上螺柱高度并微調(diào)萬(wàn)向夾持器，可以改變中間托槽與弓絲的接觸角，測(cè)量十組弓絲在該四組接觸角度情況下正畸摩擦力的數(shù)值.

在測(cè)量時(shí)將模擬牙列固定于牙列支撐平臺(tái)，根據(jù)試驗(yàn)要求可上下調(diào)節(jié)牙列支撐平臺(tái)，保證弓絲在抽絲端水平附近，用95%乙醇棉球?qū)ν胁酆凸z進(jìn)行脫脂處理，以消除各類附著物對(duì)試驗(yàn)結(jié)果造成的影響.由于所建立的正畸摩擦力預(yù)測(cè)模型未考慮生物因素，因此試驗(yàn)在干態(tài)環(huán)境室溫(24±2 ℃)下進(jìn)行.采用電子角度測(cè)量?jī)x確定或保證每次試驗(yàn)涉及到的角度值，將弓絲抽絲端用夾緊槍頭夾緊，啟動(dòng)電機(jī)驅(qū)動(dòng)滑臺(tái)使弓絲沿抽絲端延長(zhǎng)線方向平穩(wěn)拉動(dòng)，考慮到臨床正畸過程中牙齒移動(dòng)速度，為了更加真實(shí)模擬弓絲在托槽間滑動(dòng)情況，弓絲的拉動(dòng)速度應(yīng)盡量降低，根據(jù)試驗(yàn)研究[29]可知，正畸弓絲的滑動(dòng)速度處于5.0×10-7～1.0×10-1mm/s時(shí)，由于滑動(dòng)速度變化對(duì)正畸摩擦力影響程度較小，因此設(shè)置滑臺(tái)移動(dòng)速度為0.1 mm/s，并在有限的滑動(dòng)行程3 mm內(nèi)進(jìn)行測(cè)定，即可模擬正畸治療的條件[30].通過力采集器獲得Z軸力數(shù)據(jù)即為摩擦力數(shù)值.

2.3 結(jié)果及討論

利用正畸摩擦力測(cè)量裝置對(duì)正畸摩擦力進(jìn)行測(cè)量，為了保證所獲得的測(cè)試結(jié)果具有可靠性和通用性，對(duì)同種代號(hào)弓絲的測(cè)量試驗(yàn)取多組樣本，接觸角度的測(cè)量誤差在0.1°以內(nèi)認(rèn)為是有效樣本，每組試驗(yàn)使用同一根弓絲截取相同長(zhǎng)度的3段進(jìn)行3次重復(fù)試驗(yàn)，取數(shù)值穩(wěn)定狀態(tài)下力的最大值，對(duì)測(cè)得的3個(gè)正畸摩擦力取算數(shù)平均值作為該次試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的有效測(cè)量值.

2.3.1 不同弓絲和托槽組合試驗(yàn)

不同弓絲和托槽組合下正畸摩擦力的試驗(yàn)結(jié)果及理論結(jié)果如圖8所示.在測(cè)定不同托槽和弓絲組合摩擦力時(shí)，始終存在一定接觸角度，代號(hào)T35、T40和T45所代表的國(guó)內(nèi)傳統(tǒng)托槽槽溝寬度依次增大.圖8(a)、8(b)和8(c)中對(duì)正畸摩擦力試驗(yàn)值和預(yù)測(cè)模型計(jì)算所得理論值進(jìn)行了對(duì)比.代號(hào)Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的不銹鋼方絲，如圖8(a)所示，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比曲線可知，相同截面尺寸的方絲與托槽間的正畸摩擦力隨托槽槽溝寬度增大而減小，相同托槽配合的方絲與托槽間正畸摩擦力隨截面尺寸(截面積)的增大而增大，如圖8(d)所示，試驗(yàn)值與理論值的誤差率處于1.35%～7.35%以內(nèi)；代號(hào)Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ和Ⅶ的不銹鋼圓絲，代號(hào)Ⅷ、Ⅸ和Ⅹ的澳絲圓絲，如圖8(b)和圖8(c)所示，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比曲線可知，相同截面直徑的圓絲與托槽間的正畸摩擦力隨托槽槽溝寬度增大而減小，相同托槽配合的圓絲與托槽間正畸摩擦力隨截面直徑的增大而增大，如圖8(d)所示，對(duì)于不銹鋼圓絲，試驗(yàn)值與理論值的誤差率處于1.70%～9.75%以內(nèi)，對(duì)于澳絲圓絲，試驗(yàn)值與理論值的誤差率均處于2.10%～8.65%以內(nèi).

綜合分析代號(hào)Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ的不銹鋼圓絲和代號(hào)Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ的澳絲圓絲，如圖8(e)所示，在與相同托槽組合時(shí)，不銹鋼圓絲與托槽間的正畸摩擦力高于相同截面尺寸澳絲圓絲與托槽間的正畸摩擦力.對(duì)比分析代號(hào)Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ的不銹鋼圓絲和代號(hào)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的不銹鋼方絲，在受到托槽約束的情況下，截面積較小的圓絲所產(chǎn)生的摩擦力可以達(dá)到甚至超過截面積較大的方絲，考慮其原因?yàn)殡S著矩形弓絲長(zhǎng)邊長(zhǎng)度的增加而短邊不變，矩形弓絲與托槽槽溝接觸面積基本不變，且隨著截面積增大，約束力與托槽間底邊夾角變化幅度減小，導(dǎo)致正畸摩擦力的增加幅度較小.

結(jié)合以上三類弓絲試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，在與托槽槽溝雙側(cè)接觸的情況下，正畸摩擦力與托槽槽溝寬度成負(fù)相關(guān)，托槽槽溝寬度越小，θi越大，從而越大，根據(jù)式(27)可知正畸弓絲所受到的三種分力都增大，因此摩擦力就會(huì)越大；正畸摩擦力與弓絲截面尺寸成正相關(guān)，弓絲截面尺寸越大，即在式(27)中I值逐漸增加，約束力與刻痕阻力越大，因此摩擦力也會(huì)越大；但正畸摩擦力受托槽槽溝寬度的影響程度明顯高于弓絲截面尺寸的影響，即 θi變化幅度對(duì)結(jié)果的影響超過I變化的影響.另外，與方絲相比，圓絲的截面尺寸的變化引起的正畸摩擦力的變化較為敏感；與圓絲相比，托槽槽溝寬度的變化引起方絲與托槽間的正畸摩擦力變化較為敏感.

Fig.8 Experimental results of different orthodontic arch wire-bracket combination orthodontic friction force圖8 不同弓絲-托槽組合正畸摩擦力測(cè)量試驗(yàn)結(jié)果

2.3.2 不同接觸角度試驗(yàn)

不同接觸角度下正畸摩擦力的試驗(yàn)結(jié)果及理論結(jié)果如表1所示，在測(cè)定不同接觸角度情況下正畸摩擦力時(shí)，始終采用T40托槽與正畸弓絲組合，設(shè)置了四種接觸角度對(duì)十種弓絲分別進(jìn)行摩擦力測(cè)量，代號(hào)Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的不銹鋼方絲，根據(jù)表1中試驗(yàn)結(jié)果可知，相同截面尺寸的方絲與托槽間的正畸摩擦力隨接觸角度增大而增大，試驗(yàn)值與理論值的誤差率處于1.90%～8.30%之間；代號(hào)Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ和Ⅶ的不銹鋼圓絲，代號(hào)Ⅷ、Ⅸ和Ⅹ的澳絲圓絲，根據(jù)表1中試驗(yàn)結(jié)果可知，相同截面直徑的圓絲與托槽間的正畸摩擦力隨接觸角度增大而增大，對(duì)于不銹鋼圓絲，試驗(yàn)值與理論值的誤差率處于0.55%～8.55%范圍，對(duì)于澳絲圓絲，試驗(yàn)值與理論值的誤差率均處于0.70%～9.65%之間.對(duì)于以上兩種試驗(yàn)結(jié)果，理論模型與實(shí)際模型存在的誤差，可能是由結(jié)扎絲施力不均和弓絲拉動(dòng)過程中接觸角與所設(shè)定角度的微小改變?cè)斐傻?，但在?shí)際矯治中，牙齒移動(dòng)速度極低，以上問題將得以緩解，因此本文中誤差率的大小在臨床正畸中是允許的.

表1 不同接觸角度正畸摩擦力試驗(yàn)數(shù)值、理論數(shù)值及偏差率Table 1 Experimental values, theoretical values and deviation rate of orthodontic friction at different contact angles

綜合分析代號(hào)Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ的不銹鋼圓絲和代號(hào)Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ的澳絲圓絲的正畸摩擦力，在弓絲組合的托槽參數(shù)不變的情況下，對(duì)于同一接觸角度，不銹鋼圓絲與托槽間的正畸摩擦力高于相同截面尺寸澳絲圓絲與托槽間的正畸摩擦力.分析代號(hào)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的不銹鋼方絲和代號(hào)Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ的不銹鋼圓絲的正畸摩擦力，在接觸角為0°和3°時(shí)，矩形弓絲較圓形弓絲產(chǎn)生的摩擦力大，考慮其原因是矩形弓絲的有效轉(zhuǎn)矩更大，對(duì)托槽施加的有效壓力也大，但隨著接觸角的增加，不銹鋼圓絲比不銹鋼方絲摩擦力增加得更迅速，在逐漸趨近托槽約束的過程中，接觸角在6°和9°時(shí)，圓絲出現(xiàn)了比方絲更大的摩擦力.

結(jié)合以上三組試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，在弓絲組合的托槽參數(shù)不變的情況下，接觸角的增大將引起 θi的大幅度增大，因此正畸摩擦力與接觸角度成正相關(guān).另外，與方絲相比，圓絲的截面尺寸的變化對(duì)正畸摩擦力較為敏感.

綜上所述，在滿足正畸治療效果的前提下，為實(shí)現(xiàn)輕力矯治的效果，選用摩擦系數(shù)較小的矯治器材料，確保牢固的弓絲結(jié)扎及均勻的施力方式，并盡可能采用較細(xì)的正畸弓絲或槽溝尺寸較寬的托槽，將托槽與正畸弓絲間接觸角度調(diào)整至最小，更易于避免摩擦力的產(chǎn)生，另外，使用澳絲進(jìn)行矯治更能減小正畸摩擦力的影響進(jìn)而提高矯治效率.在托槽接觸約束較大或需要特殊弓絲形態(tài)的情況下，同種材料中可首先考慮方絲矯治.

3 結(jié)論

正畸摩擦力的有效控制是促進(jìn)牙齒最佳生物運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵，本文中針對(duì)影響正畸摩擦力的機(jī)械因素，根據(jù)弓絲與托槽的接觸情況將正畸摩擦力分為三種接觸分力，依據(jù)正畸弓絲與托槽間的幾何關(guān)系、力學(xué)關(guān)系及物理參數(shù)，提出一種基于分力疊加原理的計(jì)及接觸角度的正畸摩擦力預(yù)測(cè)模型建立方法，將弓絲與托槽間接觸角度作為正畸摩擦力預(yù)測(cè)模型的影響因素，避免了因考慮因素不全而導(dǎo)致的精度丟失問題，從而有效提高了正畸摩擦力數(shù)學(xué)模型的精確度.根據(jù)弓絲和托槽間滑動(dòng)機(jī)制提出了以有限滑動(dòng)法進(jìn)行正畸摩擦力測(cè)量，模擬弓絲在托槽間的相對(duì)位移搭建了正畸摩擦力測(cè)量系統(tǒng)，以影響正畸摩擦力大小的弓絲截面尺寸、槽溝寬度、弓絲與托槽接觸角為變量進(jìn)行摩擦力的試驗(yàn)測(cè)量，探究了正畸摩擦力隨著關(guān)鍵參數(shù)的變化規(guī)律，將測(cè)量得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)模型得出的理論數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，正畸摩擦力模型得出的理論數(shù)據(jù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差率處于0.55%～9.65%之間，將來可利用該模型建立正畸摩擦力預(yù)測(cè)系統(tǒng)，通過理論計(jì)算與仿真的方式對(duì)個(gè)性化正畸摩擦學(xué)行為進(jìn)行精確預(yù)測(cè)，從而輔助數(shù)字化正畸治療，達(dá)到輕力矯治的效果.未來將進(jìn)一步將生物因素考慮到正畸摩擦力預(yù)測(cè)模型中，盡可能模擬在口內(nèi)的真實(shí)環(huán)境進(jìn)行建模和試驗(yàn).