王 鵬, 孫志禮, 吳 楠, 駱海濤

(1. 東北大學 機械工程與自動化學院, 遼寧 沈陽 110819; 2. 曼尼托巴大學 工程系, 加拿大 溫尼伯 R3T2N2; 3. 中國科學院 沈陽自動化研究所, 遼寧 沈陽 110016)

大多數(shù)具有滑動表面的機械系統(tǒng),如制動系統(tǒng)、離合器、位置控制系統(tǒng)等,都會發(fā)生摩擦誘發(fā)振動.近年來,摩擦作用下的結構振動特性,包括動靜摩擦的轉換[1-2]、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析[3]、摩擦下的能量采集[4-6]和主動振動控制[7]受到了研究者的關注.

執(zhí)行器是近年來在工程上廣泛應用的一種機構,根據(jù)驅動原理,精密執(zhí)行器的類型包括電致伸縮、磁致伸縮、人工肌肉執(zhí)行器、形狀記憶合金、光致伸縮和機械力化學執(zhí)行器[8].執(zhí)行器有以下幾個優(yōu)點[9]:可以產(chǎn)生非常精細的位移,通常在納米范圍內(nèi);具有快速的頻率響應,能夠以非常高的頻率工作;具有較大的剛度;壓電驅動在接合時消耗的功率非常小.基于以上優(yōu)點,執(zhí)行器的主要應用之一是和壓電材料一起用作主動振動控制.其中摩擦力作用下壓電執(zhí)行器的主動控制具有重要意義[7,10-11].振動特性分析是壓電應用的前提,摩擦工況下的靜態(tài)和振動控制都需要了解壓電摩擦誘發(fā)振動的響應,從而提供所需要的振動控制信號.摩擦力是一種實時變化的動態(tài)力,所以很難得到摩擦力作用下的結構振動響應的解析解.據(jù)作者所知,還沒有對摩擦力作用下的壓電執(zhí)行器的振動特性和參數(shù)分析的研究.

鑒于以上分析,本文采用迭代法計算和分析壓電執(zhí)行器在摩擦力作用下的振動特性.研究了參數(shù)變化對摩擦力和振動特性的影響.引入彈性雙線性和三線性,研究參數(shù)變化對于摩擦力作用下的雙線性壓電執(zhí)行器[12-15]的振動特性和摩擦力的影響并比較了單線性、雙線性和三線性[16]壓電執(zhí)行器的摩擦力和振動特性.

1 數(shù)學建模

摩擦力作用下的壓電執(zhí)行器模型如圖1所示.左右兩邊的柔性鉸鏈剛度為kq(左右相等)并和中間的壓電堆相連,kq=E/lA,E為柔性鉸鏈的彈性模量,l為圖中柔性鉸鏈的長度,A為柔性鉸鏈的橫截面積.柔性鉸鏈和3方向的角度為α(α′),kp3為壓電堆的3方向剛度.壓電堆和下面的壓電堆底座相連,壓電堆底座可以沿著1方向自由滑動.壓電堆底座、壓電堆和柔性鉸鏈的等效質量為m.上面的剛性板和壓電堆接觸并以速度v向右(正方向)勻速運動,正壓力FN作用在板上.假設振動過程中壓電堆只有縱向變形,柔性鉸鏈的變形會造成壓電堆的橫向位移和縱向變形且橫向位移和α(α′)的變化很小.那么壓電執(zhí)行器的等效剛度為

圖1 摩擦力作用下的壓電執(zhí)行器模型Fig.1 Piezoelectric actuator model under friction force(a)—主視圖； (b)—俯視圖.

k=k1+k2.

(1)

式中:k1和k2為壓電堆左右兩邊柔性鉸鏈的等效剛度,k1=8kq(sinα)2(kp3)2/(2kp3+kq-kq(sinα)2)2,k2=8kq(sinα′)2(kp3)2/(2kp3+kq-kq(sinα′)2)2.

壓電執(zhí)行器在摩擦力作用下的振動方程為

(2)

式中:c為阻尼系數(shù),c=2mωξ,ξ是阻尼比,ω是固有頻率;f(t)為板作用在壓電堆上的摩擦力;x(t)為壓電堆在摩擦力作用下的振動響應.

本文采用迭代法來計算摩擦力作用下壓電堆的振動響應.迭代法的前提是假設時間為0 s時系統(tǒng)的初始狀態(tài)是已知的.迭代步長為Δt=tn+1-tn, 1≤n<∞,下標n表示迭代步數(shù).在時間t1=0 s時的初始條件為

(3)

式中x1(t1)是壓電堆的初始位移.

時間為t1-t2時,壓電堆和剛性板之間處于黏著狀態(tài),壓電堆隨著板一起向右勻速運動.壓電堆時間為t1-t2時的振動響應為

x1(t)=v·t,t1≤t≤t2.

(4)

作用在壓電堆上的黏著摩擦力為

f1(t)=x1(t)·k,t1≤t≤t2.

(5)

式中摩擦力和兩個柔性鉸鏈彈力合力的大小相等、方向相反.

時間為t2-t3時,如果柔性鉸鏈的彈力滿足|x1(t2)·k|≤FN·μS,μS是靜摩擦系數(shù).壓電堆和板之間仍然處于黏著狀態(tài),壓電堆的振動響應為

x2(t)=v·(t-t2)+x1(t2),t2≤t≤t3.

(6)

作用在壓電堆上的黏著摩擦力為

f2(t)=x2(t)·k,t2≤t≤t3.

(7)

如果柔性鉸鏈的彈力滿足|x1(t2)·k|>FN·μS,壓電堆和板之間為滑動狀態(tài),假設短時間內(nèi)壓電堆的速度沒有變化,作用在壓電堆上的滑動摩擦力為[17]

(8)

(9)

e-ξωt2(A2cosωdt2+B2sinωdt2)=x1(t2) ,

(10)

(11)

通過以上兩式可以得到A2和B2:

(12)

(13)

在時間為tn-tn+1時,壓電堆的振動響應和所受摩擦力計算如下:

xn(t)=v(t-tn)+xn-1(tn),tn≤t≤tn+1.

(14)

作用在壓電堆上的黏著摩擦力為

fn(t)=xn(t)·k,tn≤t≤tn+1.

(15)

tn≤t≤tn+1.

(16)

壓電堆的振動響應為

xn(t)=xfreen(t)+xforcen(t)=

e-ξωt[(Ancosωdt+Bnsinωdt)+

τ))dτ],tn≤t≤tn+1.

(17)

(18)

(19)

壓電堆和板之間為黏著時,如果|k·xn-1(tn)|≤FN·μS,壓電堆和板之間處于黏著狀態(tài).壓電堆的振動響應和所受黏著摩擦力可由式(14)和(15)計算.

如果|k·xn-1(tn)|>FN·μS,壓電堆和板之間處于滑動狀態(tài).作用在壓電堆上的滑動摩擦力為

(20)

壓電堆的振動響應為

xn(t)=xfreen(t)+xforcen(t)=

e-ξωt[(Ancosωdt+Bnsinωdt)+

τ))dτ],tn≤t≤tn+1.

(21)

式中An和Bn可以由式(18)和(19)求解.

多線性指的是菱形結構(柔性鉸鏈)的等效結構剛度在柔性鉸鏈的變形達到一定數(shù)值時發(fā)生改變.文中使用了多線性模型簡化和模擬這種剛度的連續(xù)變化,一次改變就是雙線性,發(fā)生兩次改變就是三線性,x′和x″是雙線性和三線性發(fā)生變化時對應的菱形結構的變形量.在本文中認為α在振動過程中只有在角度變化量達到一定范圍時才會發(fā)生變化，進而使等效剛度發(fā)生變化,范圍由柔性鉸鏈的材料屬性決定,本文只研究等效剛度多線性下的壓電執(zhí)行器的振動響應和參數(shù)分析,不討論具體的材料屬性.雙線性壓電執(zhí)行器是指當壓電堆的位移x(t)大于x′時等效剛度變?yōu)閗′.當x(t)>x′時,壓電執(zhí)行器在摩擦力作用下的振動方程為

(22)

同理,三線性壓電執(zhí)行器在壓電堆的位移大于x′ 時等效剛度變?yōu)閗′,位移大于x″ 時等效剛度變?yōu)閗″.當x(t)>x″ 時,壓電執(zhí)行器在摩擦力作用下的振動方程為

k″(x(t)-x″)=f(t) .

(23)

雙線性和三線性壓電執(zhí)行器對應的是不同的系統(tǒng),它們在摩擦力作用下的振動響應求解過程與單線性壓電執(zhí)行器相同,本文所提的迭代方法可以用來求解摩擦力作用下多線性壓電執(zhí)行器的振動響應.

2 參數(shù)分析

研究不同的參數(shù)對已知壓電執(zhí)行器(k和m不變)振動特性的影響,對其中一項參數(shù)進行分析時其他參數(shù)保持不變.時間長度為0.05 s,時間間隔為10-6s,ξ=0.001.FN和v對摩擦力的影響如圖2所示,圖3顯示了FN和v對壓電堆振動特性的影響.FN的變化范圍是500～900 N,v的變化范圍是0.01～0.05 m/s,k=0.8×106N/m,μS=0.5,μD=0.3,C=6,m=2 kg.

從圖2可以看出，正壓力FN越大,最大靜摩擦力越大.板的運動速度v越大,板和壓電堆之間從黏著轉到滑動摩擦的時間越短,滑動摩擦力的最小值越小.

圖2 FN,v對摩擦力的影響Fig.2 Influence of FN,v on friction force(a)—v=0.03 m/s； (b)—FN=700 N.

從圖3中可以看出,壓電堆的振幅隨著正壓力FN和板運動速度v的增加而增大.從具體數(shù)據(jù)可知,在所研究的參數(shù)范圍內(nèi),當v=0.01 m/s時振幅隨著FN的增加幅度是最大的,當FN增加為原來的1.8倍時振幅增加到1.84倍.當FN=500 N 時振幅隨著v的增加幅度是最大的,速度增加為原來的5倍時振幅增加到原來的4.17倍.其中位移和速度曲線和文獻[17]中的試驗結果(文獻中圖6)相比雖然參數(shù)不同導致數(shù)值上有所差異,但是位移和速度都具有相同的趨勢,可以驗證本文數(shù)學模型的正確性.μS,μD和C對壓電堆振幅的影響如表1所示.μS,μD和C對摩擦力的影響如圖4所示,其中FN=700 N,v=0.03 m/s,k=0.8×106N/m,m=2 kg.

圖3 FN,v對振動特性(振幅)的影響Fig.3 Influence of FN,v on vibration characteristics(amplitude)

從表1可知在所研究的參數(shù)范圍內(nèi),壓電堆振幅隨著μS的增加而變大,μS增加為原來的2.3倍時振幅增加到9.77倍.壓電堆振幅隨著μD的增加而減少,μD增加為原來的5倍時振幅減少到0.23倍,壓電堆振幅隨著C的增加而變大,C增加為原來的5倍時振幅增加到2.3倍.

表1 μS,μD和C對振幅的影響Table 1 Influence of μS,μD and C on amplitude

從圖4可以看出μS主要影響最大靜摩擦力的大小,μS越大,最大靜摩擦力越大.μD主要影響滑動摩擦力的大小,μD越大,滑動摩擦力越大.

圖4 μS,μD和C對于摩擦力的影響Fig.4 Influence of μS,μD and C on friction force(a)—μS對摩擦力的影響(μD=0.5,C=6)； (b)—μD對摩擦力的影響(μD=0.6,C=6)； (c)—C對摩擦力的影響(μS=0.5,μD=0.3).

C主要影響?zhàn)ぶ突瑒幽Σ翣顟B(tài)之間的轉換速度,C越大,摩擦力從最大黏著摩擦力轉到相同數(shù)值的滑動摩擦力的時間越短,從滑動轉到黏著狀態(tài)對應的時間點越小.

阻尼比對振幅、頻率和摩擦力的影響如圖5所示.其中最小黏著摩擦力是指壓電堆和板之間第一次從滑動轉為黏著狀態(tài)時作用在壓電堆上的黏著摩擦力的最小值.阻尼比的取值范圍為0.000 1 ～0.01,k=0.8×106N/m,μS=0.5,μD=0.3,C=6,m=2 kg,FN=700 N,v=0.03 m/s.

從圖5可以看出,在所研究的參數(shù)范圍內(nèi),隨著阻尼比的增加,壓電堆的振幅逐漸減小,最小黏著摩擦力和最小滑動摩擦力隨著阻尼比的增加而變大.

圖5 阻尼比對振幅和摩擦力的影響Fig.5 Influence of damping ratio on amplitude and friction force

經(jīng)過計算,在所研究的參數(shù)中μS和μD對頻率的影響程度最大,結果如圖6所示.其他參數(shù)k=0.8×106N/m,C=6,m=2 kg,FN=700 N,v=0.03 m/s.

從圖6可以看出在所研究的參數(shù)范圍內(nèi),頻率隨著μD的增加而增加,隨著μS的增加而減少.

圖6 μS和μD和對于工作基頻的影響Fig.6 Influence of μS and μD on frequency

在之前研究的基礎上,引入彈性雙線性,即當壓電堆的位移達到一定值(閾值)時,壓電執(zhí)行器的等效剛度k發(fā)生變化.線性壓電執(zhí)行器在參數(shù)為FN=700 N,μS=0.5,μD=0.3,C=6,v=0.03 m/s,k=0.8×106N/m,m=2 kg時壓電堆距離平衡位置的最大位移為4.8×10-4m.雙線性壓電執(zhí)行器的閾值由線性壓電執(zhí)行器位移(4.8×10-4)的20%變到80%,等效剛度k由0.8×106N/m跳躍到1.4×106N/m.經(jīng)過計算閾值變化對最小黏著摩擦力的影響比較大,結果如圖7所示,其中最小黏著摩擦力是指壓電堆和板之間第一次從滑動轉為黏著狀態(tài)時作用在壓電堆上的黏著摩擦力的最小值,對應的時間點即為轉換時間.閾值對壓電堆振幅的影響如圖8所示.

圖7 閾值對滑動轉黏著后的最小黏著摩擦力和轉換時間的影響Fig.7 Influence of threshold on minimum stick friction force and transformation time after sliding to stick

圖8 閾值對振幅的影響Fig.8 Influence of threshold on amplitude

在閾值為4.8×10-4×50%m時,k的上限由0.8×106N/m 跳躍到 1.2×106N/m, 多線性等效剛度k的上限對最小滑動摩擦力影響比較大,結果如圖9所示.

從圖7和8可知當雙線性發(fā)生時,壓電堆的振幅、最小黏著摩擦力和對應的轉換時間隨著閾值的增加而變大.從圖9可知壓電堆的振幅隨著等效剛度的增大而變大,最小滑動摩擦力隨著閾值的增加而減小.

圖9 等效剛度的上限對振幅和最小滑動摩擦力的影響Fig.9 Influence of upper limit of equivalent stiffness on amplitude and minimum sliding friction force

同理,在雙線性的基礎上引入彈性三線性,其中三線性壓電執(zhí)行器在閾值為4.8×10-4×30 %m時,k的上限由0.8×106N/m跳躍到1.0×106N/m.在閾值為4.8×10-4×60%m時,k的上限由1.0×106N/m跳躍到1.2×106N/m,其他參數(shù)FN=700 N,μS=0.5,μD=0.3,C=6,v=0.03 m/s,m=2 kg.單線性、雙線性和三線性壓電執(zhí)行器的壓電堆的振幅、最小滑動摩擦力和黏著摩擦力的比較結果如圖10和 11所示.

圖10 彈性多線性壓電執(zhí)行器的振幅比較Fig.10 Comparison of amplitude of elastic multilinear piezoelectric actuators

圖11 彈性多線性壓電執(zhí)行器的摩擦力比較Fig.11 Comparison of friction force of elastic multilinear piezoelectric actuators

從圖10和11可以看出,三線性壓電執(zhí)行器的壓電堆的振幅最小,單線性壓電執(zhí)行器的壓電堆的振幅最大，從單線性到三線性,最小滑動摩擦力和黏著摩擦力逐漸增大.

3 結 論

1) 提出了一種迭代摩擦模型來求解摩擦力作用下單/多線性壓電執(zhí)行器的振動響應并通過和試驗結果比較驗證了模型的正確性.

2) 對于彈性單線性壓電執(zhí)行器,壓電堆的振幅隨著FN,v,μS和C的增加而增大,隨著μD的增加而減小.在所研究的幾個參數(shù)中,按照增加百分比,μS對振幅的影響最大,C對振幅的影響最小.FN和μS越大,最大靜摩擦力越大.v越大,板和壓電堆之間從黏著轉到滑動摩擦的時間越短,滑動摩擦力的最小值越小.μD越大,滑動摩擦力越大.C越大,摩擦力從最大黏著摩擦力轉到相同數(shù)值的滑動摩擦力的時間越短,從滑動轉到黏著狀態(tài)對應的時間點越小.隨著阻尼比的增加,壓電堆的振幅逐漸減小.最小黏著和滑動摩擦力隨著阻尼比的增加而變大.

3) 對于彈性雙線性壓電執(zhí)行器,壓電堆的振幅、黏著摩擦力的最小值和對應的轉換時間隨著閾值的增加而變大.壓電堆的振幅隨著等效剛度的增大而變大,滑動摩擦力的最小值隨著閾值的增加而減小.

4) 對于多線性壓電執(zhí)行器,壓電堆的振幅隨著壓電執(zhí)行器彈性線性數(shù)的增加而減小,最小滑動摩擦力和黏著摩擦力隨著彈性線性數(shù)的增加而變大.