水平線荷載作用下基坑周圍土體的位移計(jì)算方法研究

劉芳煒 田寧

[摘? 要]：為研究在基坑開挖周圍土體的變形情況，文章在Melan應(yīng)力解的基礎(chǔ)上，結(jié)合彈性力學(xué)物理方程和幾何方程推導(dǎo)出水平線荷載作用下彈性半無限平面內(nèi)的位移解。根據(jù)實(shí)際工程位移變化規(guī)律提出相應(yīng)假定，求解待定常數(shù)。利用所推導(dǎo)的公式計(jì)算土體內(nèi)各點(diǎn)的位移，將其繪制成位移曲線與有限元ABAQUS的模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明，所推導(dǎo)的位移解能較好地描述土體的變形規(guī)律。

[關(guān)鍵詞]：Melan應(yīng)力解; 彈性半無限平面; ABAQUS; 基坑; 位移

TU433A

近年來，我國加大了城市地下空間的開發(fā)和利用。這使得地下工程的規(guī)模越來越大，基坑深度不斷增加，地下管線更加復(fù)雜，對(duì)基坑周圍土體的位移和沉降控制要求也變得更加嚴(yán)格。因此，準(zhǔn)確預(yù)測荷載作用下基坑周圍土體的位移變化規(guī)律就顯得尤為重要。

針對(duì)荷載作用下土體變形計(jì)算方法已有較多研究，Mindlin[1]在1936年給出了集中力作用在彈性半無限體內(nèi)的應(yīng)力及位移公式。周佺[2]推導(dǎo)了豎向荷載作用在土體內(nèi)部地基土的變形計(jì)算公式。劉光秀等[3]給出了不同分布荷載作用下地基土的側(cè)向位移表達(dá)式。目前，關(guān)于土體內(nèi)部受水平荷載作用的變形計(jì)算方法的文獻(xiàn)仍比較少。吳小鋒[4]推導(dǎo)了任意泊松比土體受水平荷載作用下的應(yīng)力表達(dá)式，但未給出位移公式。

本文將基坑變形問題簡化為彈性半無限平面變形問題，以Melan應(yīng)力解為基礎(chǔ)，結(jié)合彈性力學(xué)物理方程和幾何方程，通過積分推導(dǎo)出水平線荷載作用在彈性半無限平面內(nèi)各點(diǎn)的位移分量表達(dá)式，以便于工程人員更好地預(yù)測基坑周圍土體的變形情況，為基坑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供理論參考。

1 Melan位移解的推導(dǎo)

Melan[5]在1932年推導(dǎo)出集中力作用在彈性半無限平面內(nèi)應(yīng)力計(jì)算公式。由于該應(yīng)力公式不滿足彈性力學(xué)相容方程，故需要對(duì)其進(jìn)行修正。劉計(jì)順[6]利用彈性力學(xué)中的平衡方程、幾何方程及邊界條件，給出了修正后的應(yīng)力解，計(jì)算簡圖如圖1所示。在彈性半無限平面內(nèi)作用一個(gè)水平集中力時(shí)，平面內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力為：

σx=P2π1+v0x3r41+x2+4cy-2c2xr42-8cyx3r62+

1-v02xr21+3xr22-4xyy+cr42（1）

σy=P2π1+v0y-c2xr41-c2-y2+6cyxr42+8cyx3r62+

1-v02-xr21+xr22+4xyy+cr42（2）

τxy=P2π1+v0x2y-cr41+x2+2ycy+cr42-

8x2ycy+cr62+1-v02y-cr21+3y+cr22-4yy+c2r42（3）

式中：x，y為M點(diǎn)坐標(biāo);c為水平集中荷載作用點(diǎn)的深度;P為水平集中力;v為泊松比，v0=v1-v;

r1= x2+y-c2，r2= x2+y+c2。

由彈性力學(xué)可得，平面應(yīng)變問題的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：

εx=1E0σx-v0σy（4）

εy=1E0σy-v0σx（5）

γxy=2（1+v0）E0τxy（6）

式中：E為彈性模量;E0=E1-v2;將式（1）、式（2）代入式（4）、式（5），并對(duì)其進(jìn)行積分，考慮土力學(xué)中的符號(hào)法則，可得到水平和豎向位移公式：

u=-∫εxdx=-P8πE0-21+v02x2r21-

21+v02cy1+v0+3-v0x2r22+

8cy1+v02x2r42+3-v01+v0lnr21+

5-2v0+v02lnr22+81+v0+F1y（7）

w=-∫εydy=-P4πE041-v0atany+cx-

1+v02y-cxr21-1+v0y-c3-v0xr22+

4cy1+v02（y+c）xr42+F2x（8）

式中：u為水平位移，w為豎向位移;F1y、F2x為待定函數(shù)，F(xiàn)1y=A1y+B1，F(xiàn)2x=A2x+B2。

將式（3）代入式（6），得切向應(yīng)變?yōu)椋?/p>

γxy=P（1+v0）πE01+v0x2y-cr41+x2+2ycy+cr42-

8x2ycy+cr62+1-v02y-cr21+3y+cr22-4yy+c2r42（9）

平面應(yīng)變問題中幾何方程為：

γxy=uy+wx（10）

其中對(duì)水平位移求導(dǎo)得：

dudy=-P8πE0-21+v02x2-2y-cr41-4c1+v021r22-

2yy+cr42-21+v03-v0x2-2y+cr42+8c1+

v02x21r42-4yy+cr62+3-v01+v02y-cr21

+5-2v0+v022y+cr22+dF1ydy（11）

對(duì)豎向位移求導(dǎo)得：

dwdx=-P4πE081-v0-y+cr22-21+v02y-c1r21-

2x2r41-21+v03-v0y-c1r22-2x2r42+8cy1+v02y+c1r42-4x2r62+dF2xdx（12）

將式（6）代入式（10），則

uy+wx-21+ν0E0τxy=dF1ydy+dF2xdx=0（13）

即

A1+A2=0（14）

當(dāng)y一定，x趨于無窮時(shí)，豎向位移w=0

1+v02y-cxr21-1+v0y-c3-v0xr22+

4cy1+v02（y+c）xr42+F2x=F2x=0（15）

即

A1=A2=B2=0（16）

取x=0，可得水平位移和豎向位移為：

u=-P8πE0-4cy1+v02y+c2+

3-v01+v0lny-c2+

5-2v0+v02lny+c2+81+v0+B1（17）

w=0（18）

根據(jù)水平位移公式，當(dāng)x=0時(shí)，在水平荷載作用下，土體產(chǎn)生的水平位移隨著深度y的增加而增加，其值不收斂。

取y=0，水平位移和豎向位移為：

u=-P8πE0-81+v0x2x2+c2+

8ln x2+c2+81+v0+B1（19）

w=-P4πE0-41-v0atanxc+

41+v0cxx2+c2+2π1-v0（20）

可以看出，在水平荷載作用下，隨著水平距離x的增加，地表的豎向位移趨于一個(gè)定值，而水平位移絕對(duì)值不斷增大，其值不收斂。

在實(shí)際工程中，土體的位移不會(huì)無限增加。顯然，水平位移公式與實(shí)際不符。因此，本文根據(jù)工程中位移變化的一般規(guī)律，認(rèn)為在距離原點(diǎn)足夠深的位置，或在地表離原點(diǎn)足夠遠(yuǎn)的位置，水平位移為0，即當(dāng)x=0，y=y0時(shí)，u=0;當(dāng)y=0，x=x0時(shí)，u=0。由此解得：

B1=-P8πE04cy01+v02y0+c2-3-v01+v0lny0-c2-

5-2v0+v02lny0+c2-81+v0（21）

或

B1=-P8πE081+v0x20x20+c2-8lnx20+c2-81+v0（22）

其中，x0，y0可根據(jù)當(dāng)?shù)毓こ痰刭|(zhì)條件及荷載大小取經(jīng)驗(yàn)值。

所以，在水平荷載作用下，Melan位移解的水平位移及豎向位移表達(dá)式為：

u=-∫εxdx=P8πE021+v02x2r21+

21+v02cy1+v0+3-v0x2r22-

8cy1+v02x2r42-3-v01+v0lnr21y0-c2-

5-2v0+v02lnr22y0+c2-4cy01+v02y0+c2（23）

u=-∫εxdx=P8πE021+v02x2r21+

21+v02cy1+v0+3-v0x2r22-8cy1+v02x2r42-

3-v01+v0lnr21-5-2v0+v02

lnr22-81+v0x20x20+c2+8lnx20+c2（24）

w=-∫εydy=P4πE041-v0atanxy+c+

1+v02y-cxr21+1+v0y-c3-v0xr22-

4cy1+v02y+cxr42-2π1-v0（25）

2 算例分析

本文通過ABAQUS有限元軟件模擬水平荷載作用下土體的變形情況，并將模擬結(jié)果與解析解的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析，以此來驗(yàn)證所求得的解析解在計(jì)算土體水平位移方面的可靠性。由于豎向位移公式已有部分學(xué)者進(jìn)行了驗(yàn)證，本文不再進(jìn)行模擬對(duì)比，僅針對(duì)水平位移結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

采用二維平面應(yīng)變模型，模型尺寸如圖2所示。選取水平力P=150 kN，作用深度為10 m，土體彈性模量為40 MPa，泊松比為0.3，采用CPS4R單元。模型的邊界條件為左、右邊界限制水平位移，底部邊界限制水平和豎直方向的位移。

采用式（23），取y0=150 m，分別計(jì)算當(dāng)x=1 m，10 m，20 m時(shí)，土體水平位移隨深度的變化值，并與數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。數(shù)值模擬與理論計(jì)算的水平位移曲線對(duì)比結(jié)果如圖3所示。

從圖3可以看出，本文計(jì)算方法得到的水平位移曲線與ABAQUS數(shù)值模擬結(jié)果較為吻合，且理論計(jì)算的最大水平位移略大于數(shù)值模擬所得到的結(jié)果，因此，采用理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行設(shè)計(jì)偏于安全。

由于式（24）與式（23）僅在常數(shù)項(xiàng)有所區(qū)別，因此，式（24）與式（23）計(jì)算的水平位移曲線形狀完全相同，選取合適的x0便可得到與式（23）吻合的曲線。

3 結(jié)論

本文在Melan推導(dǎo)的集中力作用在彈性半無限平面內(nèi)的應(yīng)力計(jì)算公式的基礎(chǔ)上，利用彈性力學(xué)的平衡方程及幾何方程，推導(dǎo)出水平線性荷載作用在平面半無限體內(nèi)土體的位移解。根據(jù)實(shí)際工程位移變化規(guī)律，提出相應(yīng)假定并求解出待定函數(shù)，解決了解析解發(fā)散的問題，確保其在荷載作用一定范圍內(nèi)收斂。將解析解結(jié)果與ABAQUS有限元軟件的模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明，二者的水平位移曲線較為吻合，證明本文所推導(dǎo)的計(jì)算公式對(duì)求解水平線性荷載作用下基坑周圍土體的位移具有較高的準(zhǔn)確性。

參考文獻(xiàn)

[1] Mindlin R. Force at a point in the interior of a semi-infinite solid. Physics， 1936， N5.

[2] 周佺. 基于Melan解的地基變形計(jì)算分析研究[J]. 四川建筑，2020， 40（5）： 158-160+162.

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[6] 劉計(jì)順，張喆. 集中力作用在彈性半無限平面內(nèi)的Melan解研究[J]. 路基工程，2018（6）： 38-41.