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      線圈在通電直導(dǎo)線旁平移過程中磁通量的變化量求解

      2022-07-12 11:24:14王偉民
      關(guān)鍵詞:平移磁通量磁場強度

      王偉民

      摘要:分析線圈穿越通電直導(dǎo)線的“理想”過程中,穿過線圈磁通量的變化量為無窮大的原因;對三角形線圈在無線長通電直導(dǎo)線產(chǎn)生磁場中沿確定方向平移運動一段確定距離(但沒有穿過通電直導(dǎo)線)的過程中穿過線圈磁通量的變化量進(jìn)行求解.

      關(guān)鍵詞:線圈;磁通量;微元;平移;磁場強度

      中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2022)16-0115-03

      例1如圖1所示,無限長絕緣直導(dǎo)線L通入的電流為I,與邊長為a的正△ABC線圈共面,且BC∥L,線圈沿其所在的平面按垂直于直導(dǎo)線的方向向上運動.求從線圈頂點A剛接觸直導(dǎo)線L到BC邊離開直導(dǎo)線L的過程中,穿過正△ABC線圈磁通量的變化量.

      上面這道題目是早前有老師在某個物理QQ群內(nèi)詢問的一個問題,我們嘗試分析一下可否求解.

      △ABC線圈穿越通電直導(dǎo)線L某一時刻的情形如圖2所示,設(shè)此時頂點A到直導(dǎo)線L的距離為x,因為在線圈按題目要求向上平移穿越通電直導(dǎo)線的過程中,其平移運動方向的變化不影響穿過線圈磁通量的變化量,所以,為便于分析,我們可以按線圈沿AB邊所在直線的方向平移進(jìn)行求解.

      圖2中,線圈斜向上運動一個豎直微元距離dx達(dá)到△A′B′C′位置,由于通電直導(dǎo)線L上下兩側(cè)的磁場方向相反,所以,若取垂直紙面向外的方向為磁通量的正方向,跟原來處于△ABC位置時穿過線圈的磁通量相比,線圈到達(dá)△A′B′C′位置后,穿過線圈磁通量的增量dΦ將等于穿過面S3的磁通量dΦ3減去分別穿過面S1和S2的磁通量dΦ1和dΦ2之和:

      dΦ=dΦ3-(dΦ1+dΦ2)

      因為空間內(nèi)到無限長通電直導(dǎo)線距離為r位置點的磁場強度為B=kIr(I為導(dǎo)線中的電流,k為比例系數(shù)),所以

      dΦ1=S1B1

      =a·dx·kI32a-x

      =akI32a-xdx.

      由于面S2和S3的縱向長度較大,不像S1那樣縱向長度是一段微元,而這兩個面上到通電直導(dǎo)線L距離不等的點磁場強度不等,所以無法用上述求解dΦ1的方法那樣去求解dΦ2和dΦ3.我們不妨將dx視為常量,采用定積分的方法來求解dΦ2和dΦ3

      如圖3所示,在面S3上到通電直導(dǎo)線L距離為y的位置取一段豎直寬度為dy的微元,則有:

      dΦ3=∫32a-x0233dx·dy·kIy

      =233kI·dxlny32a-x0

      =233kI·dx[ln(32a-x)-ln0]

      這里ln0是一個沒有意義的數(shù),求解將無法再繼續(xù)進(jìn)行下去.那么,問題出在何處?

      由無限長通電導(dǎo)線周圍空間的磁場強度公式B=kIr可以看出,當(dāng)三角形線圈上的某點運動到通電導(dǎo)線位置時r=0,則線圈該處的磁場強度B成了一個無窮大的數(shù)值了,所以,穿過線圈某一個確定平面的磁通量也將變得無窮大,而ln0雖然沒有意義,它卻表示負(fù)無窮大,所以-ln0表示無窮大.看起來,線圈穿越通電直導(dǎo)線時,穿過線圈的磁通量的變化量為無窮大,這在實際操作中是不可能發(fā)生的狀況——實際的導(dǎo)線和組成線圈的導(dǎo)線都有一定的粗細(xì),線圈與通電直導(dǎo)線最近的情況也只是線圈導(dǎo)線與通電直導(dǎo)線的側(cè)面相切的情形,此刻它們的軸心有一定的距離,所以,實際情形中是無法完成“線圈穿過通電直導(dǎo)線”這樣的“理想”操作的.為使問題有實際意義,我們不放將例題1給出的問題條件適當(dāng)更改,對題目進(jìn)行如下改編——

      例2如圖4所示,邊長為a的等邊△ABC線圈與無限長通電直導(dǎo)線L共面,L中電流為I,且BC∥L,初始時刻線圈邊BC與L間的距離為332a,求將△ABC線圈向上平移32a的過程中穿過線圈磁通量的變化量?

      解析無論是傾斜向上平移還是豎著向上平移,在△ABC線圈豎直向上運動同樣距離的過程中,穿過三角形線圈磁通量的變化量相同,所以,我們可讓線圈沿AB邊所在直線斜向上平移進(jìn)行求解.設(shè)平移過程中線圈在某一時刻的位置如圖5所示,此時三角形線圈的頂點A到通電直導(dǎo)線L的距離為x,接下來讓線圈向上平移一段微元距離dx(dx是線圈傾斜平移過程中在豎直方向運動的微元距離),跟△ABC線圈原來所在位置相比,平移微元距離dx到達(dá)△A′B′C′位置之后,穿過線圈磁通量的變化量dΦ等于穿過面S2的磁通量dΦ2與穿過面S1的磁通量dΦ1之差:

      dΦ=dΦ2-dΦ1

      而dΦ1=S1B1=adx·kIx+32a=akIx+32adx

      為表示dΦ2,將x和dx視為常量,在面S2上到線圈頂點A豎直距離為y處取一豎向微元dy,則有:

      dΦ2=∫32a0233dx·dy·kIx+y

      =233kIdxln(x+y)32a0

      =233kI[ln(x+32a)-lnx]dx

      ∴dΦ=dΦ2-dΦ1

      =233kI[ln(x+32a)-lnx]dx-kIax+32adx

      =kI[233ln(x+32a)-233lnx-ax+32a]dx

      所以,將△ABC線圈向上平移32a過程中穿過線圈磁通量的變化量ΔΦ為:

      ΔΦ=∫32a3akI[233ln(x+32a)-233lnx-ax+32a]dx

      =kI{233[(x+32a)ln(x+32a)-(x+32a)]

      -233[xlnx-x]-aln(x+32a)}32a3a

      =kI{233[(3a)ln(3a)-(3a)]-233[32aln32a-32a]-aln(3a)}

      -kI{233[(332a)ln(332a)-(332a)]-233[3aln(3a)-3a]-aln(332a)}

      =kI[2aln(3a)-2a-aln(32a)+a-aln(3a)]

      -kI[3aln(332a)-3a-2aln3a+2a-aln(332a)]

      =3kIa[ln(3a)-ln(332a)]

      運用上述方法,我們可以對其它具有固定幾何形狀的平面狀線圈,在一條無限長通電直導(dǎo)線產(chǎn)生磁場中沿確定方向平移運動確定距離過程中(平移過程中線圈的任何部位不觸碰通電直導(dǎo)線),穿過線圈磁通量的變化量.

      參考文獻(xiàn):

      [1]?吳秀欽.對高中物理解題思維方法的有效探討\[J\].數(shù)理化解題研究,2021(22):84-85.

      [2] 李習(xí)凡.例談數(shù)學(xué)方法解決高中物理最值問題\[J\].中學(xué)生數(shù)學(xué),2014(5):45-46.

      [責(zé)任編輯:李璟]

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