化“隱”為明巧解題

摘要：初中數(shù)學(xué)中涉及到一類隱藏解題條件的問題，如果學(xué)生在求解問題中無法挖掘這些隱藏的解題條件，那么就容易造成錯(cuò)解問題，加強(qiáng)該類解題中隱含條件挖掘方法的專項(xiàng)教學(xué)具有重要教育意義.本文在對(duì)初中數(shù)學(xué)解題中隱含條件的價(jià)值進(jìn)行概述基礎(chǔ)上，結(jié)合具體例題，就如何挖掘題目中隱含條件來求解的方法進(jìn)行重點(diǎn)討論.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);隱含條件;解題方法

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）17-0059-03

收稿日期：2022-03-15

作者簡介：陳海平（1977.10-），男，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

對(duì)數(shù)學(xué)問題正確求解是初中生在考試中立于不敗之地的一大“利器”，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題解題能力專項(xiàng)培養(yǎng)顯得尤為重要.相較于小學(xué)階段的數(shù)學(xué)問題，初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的問題在知識(shí)綜合性方面的特點(diǎn)更加顯著，尤其是對(duì)學(xué)生解題中思維的能動(dòng)性活動(dòng)具有更高要求，如果無法在解題中進(jìn)行靈活思考，有效挖掘題干中的隱含條件等有價(jià)值信息，那么必然在解題中容易出錯(cuò).因此，如何有效培養(yǎng)及發(fā)展初中生的數(shù)學(xué)問題解題能力值得深入探討.1 挖掘初中數(shù)學(xué)解題中隱含條件

思維在初中生解決數(shù)學(xué)問題中扮演著非常關(guān)鍵的角色，如思維的靈活性、發(fā)散性以及嚴(yán)謹(jǐn)性等都會(huì)直接影響最終解題的效率與準(zhǔn)確度.隱含條件主要是指數(shù)學(xué)問題中那些沒有進(jìn)行直接表述出來的解題條件，需要經(jīng)過有效思考活動(dòng)，借助推理、轉(zhuǎn)換等來得到.比如，有的隱含條件藏在數(shù)學(xué)概念或性質(zhì)中，有的藏在函數(shù)值域或定義域中，有的藏在特殊的幾何圖形位置中等等，它們常常成為數(shù)學(xué)問題求解的突破口及關(guān)鍵所在.如果可以順利挖掘數(shù)學(xué)問題中的隱含條件，那么可以引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，并且快速確定自己解題的突破口所在，最終可以快速求解出問題的答案.反之，如果無法通過有效思考活動(dòng)挖掘出數(shù)學(xué)問題求解中的隱含條件，這時(shí)候就容易因?yàn)槿狈Ρ匾慕忸}條件而使得許多學(xué)生不知道該如何求解問題，容易造成錯(cuò)誤解題.因此，為了助力學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力發(fā)展，就要指導(dǎo)他們?cè)趯忣}中注意挖掘出其中有價(jià)值的隱含條件.

2 挖掘策略初中數(shù)學(xué)解題中隱含條件

2.1 基于數(shù)學(xué)概念，挖掘隱含條件

隱含條件存在于數(shù)學(xué)概念當(dāng)中是數(shù)學(xué)問題求解中比較常見的一種情況，并且這些隱含條件主要是各種數(shù)學(xué)概念得以成立或者順利解題的根本條件.在實(shí)際的數(shù)學(xué)解題中可以指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真解讀問題中涉及到的數(shù)學(xué)概念，并挖掘其中有價(jià)值的隱含條件，力求可以降低錯(cuò)誤.比方說，教師在對(duì)解二元一次方程這部分內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)指導(dǎo)時(shí)，教師可以把探究解析法應(yīng)用到教學(xué)實(shí)踐當(dāng)中.課程教學(xué)開始之前，教師先要把涵蓋不同數(shù)學(xué)概念知識(shí)的習(xí)題整理出來，然后制成多媒體課件，方便在課堂當(dāng)中進(jìn)行展示.在課堂教學(xué)當(dāng)中，教師把學(xué)生分成多個(gè)人數(shù)相等的學(xué)習(xí)小組，并把題目隨機(jī)分配給各個(gè)小組，讓他們根據(jù)已有知識(shí)分析題目當(dāng)中包含的隱含條件.在學(xué)生踴躍交流討論的過程中，教師要做的就是認(rèn)真聆聽，記錄下學(xué)生在討論過程當(dāng)中存在的偏差，把這些信息整理成班級(jí)統(tǒng)一問題，以便在課堂的中進(jìn)行深入講解與討論.教師在整個(gè)教學(xué)指導(dǎo)環(huán)節(jié)需要始終保持積極的態(tài)度，給予學(xué)生更多的耐心，給學(xué)生留出討論空間，避免過度干涉小組探究內(nèi)容.學(xué)生在組內(nèi)討論完畢之后，教師可鼓勵(lì)學(xué)生闡明題目當(dāng)中涉及到的知識(shí)點(diǎn)和隱含條件，展示各個(gè)小組問題解答的成果，并進(jìn)行小組評(píng)比.

例1已知x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0存在x1和x2兩個(gè)實(shí)數(shù)根，試求x21+x22的最大值？

解析：在求解本道方程組有關(guān)的數(shù)學(xué)題中，如果學(xué)生無法對(duì)題干中的隱含條件進(jìn)行挖掘，那么會(huì)給出19這一錯(cuò)誤的結(jié)果，但是這個(gè)結(jié)果是不正確的.因?yàn)榉匠探M有2個(gè)實(shí)數(shù)根，那么可以確定“△≥0”這一隱含條件，故可以借此來明確實(shí)數(shù)k的相應(yīng)取值范圍，之后方可在此基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算，這樣才能夠正確求解本道題，避免因?yàn)殡[含條件挖掘不充分而直接造成錯(cuò)解.

例2已知某一函數(shù)y=mx2-6x+2在直角坐標(biāo)系中的圖像和x軸之間僅有一個(gè)公共點(diǎn)，試求m是多少？

解析在學(xué)生求解本道函數(shù)題目的時(shí)候，如果不認(rèn)真審題，沒有明確函數(shù)的概念及性質(zhì)方面基礎(chǔ)知識(shí)，那么就可能會(huì)在碰到y(tǒng)=mx2-6x+2的時(shí)候片面地將其看成是一元二次函數(shù)，因?yàn)閥=mx2-6x+2中的二次項(xiàng)是包含有參數(shù)的，如果m=0，那么這時(shí)候函數(shù)y就變成了一元一次函數(shù).而如果學(xué)生對(duì)一元二次函數(shù)的概念有深刻認(rèn)知，那么可以在看到m所處位置的時(shí)候做好分類討論分析，最終可以快速求解出正確的答案，即：在m=0的時(shí)候，y=-6x+2，其同x軸恰好有一個(gè)交點(diǎn)，符合題干的條件;在m≠0的時(shí)候，為了保證y和x軸之間恰好形成一個(gè)交點(diǎn)，那么就需要保證二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)和x軸相接，此時(shí)在x=--62m=m3的時(shí)候代入原式y(tǒng)=mx2-6x+2可得，y=0，求解可得m=9/2，所以本道題的正確答案是0或9/2.

由此可見，數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)常常是解題隱含條件比較常見的突破口，平時(shí)要在數(shù)學(xué)概念及性質(zhì)教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生深入理解概念內(nèi)涵及其他注意事項(xiàng)，如反比例函數(shù)的分母不能夠?yàn)榱愕鹊龋@些都是求解某些數(shù)學(xué)問題中非常有價(jià)值的隱含條件，如果運(yùn)用得當(dāng)，則可以幫助學(xué)生快速求解問題.

2.2 基于代數(shù)公式，挖掘隱含條件

“數(shù)”和“式”是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的兩個(gè)核心組成部分，不僅是初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)中的重點(diǎn)，也是中考數(shù)學(xué)考試中必考內(nèi)容.在代數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題求解中，許多學(xué)生在審題及解題的過程中常常會(huì)忽視題干所給出數(shù)學(xué)公式中包含的隱含條件，致使最終的求解答案不準(zhǔn)確或不完整.因此，在指導(dǎo)學(xué)生求解相關(guān)類型題的過程中也要借助認(rèn)真審題來挖掘出代數(shù)公式之中包含的隱含條件.初中數(shù)學(xué)教師為了訓(xùn)練和增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，有必要指導(dǎo)學(xué)生扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)公式定義及其意義，讓學(xué)生從公式當(dāng)中找到突破口，挖掘隱含條件，繞過題目中設(shè)下的陷阱，提高計(jì)算準(zhǔn)確度.例如在教學(xué)整式乘法與因式分解時(shí)，教師可利用學(xué)生容易接受的游戲法優(yōu)化課堂教學(xué).教師在課前可以把當(dāng)前階段學(xué)生學(xué)習(xí)掌握的數(shù)學(xué)公式用圖文資料的表現(xiàn)形式上傳到班級(jí)學(xué)習(xí)群，讓學(xué)生重新熟悉這些內(nèi)容，增進(jìn)對(duì)這部分材料的認(rèn)識(shí).到了課上教師需要把難易度不同的問題分配給能力層次不同的學(xué)生，把各層次學(xué)生集中為一組運(yùn)用接力賽游戲找到題目當(dāng)中的隱含條件，計(jì)算出問題的答案.緊接著教師需要結(jié)合各組的解題狀況，就隱含條件與數(shù)學(xué)公式的關(guān)聯(lián)度逐一拆分與指導(dǎo)，讓學(xué)生順利掌握此類題目的解題方法和技巧，提升解題效率.

例3已知（a2+b2）2-3（a2+b2）-10=0，試求a2+b2=？

解析本題較為簡單，但是在許多初中生審題過程中卻常常忽視本道題中所給出的隱含條件，以至于直接采用換元法來求解問題，即將x=a2+b2，之后將原方程相應(yīng)地轉(zhuǎn)換成了x2-3x-10=0，之后再對(duì)這一方程進(jìn)行因式分解來求解出相應(yīng)的x=-2或5的答案.實(shí)際上，這個(gè)求解結(jié)果是不準(zhǔn)確的，因?yàn)槔脫Q元法x=a2+b2中得到的x的定義域?qū)嶋H上是x≥0，故最終得到的結(jié)果x=-2<0應(yīng)該排除，故本道題的正確答案應(yīng)該是5.

例4在x=時(shí)，x-3x2-6x+9=0.

解析在求解本道題的時(shí)候，許多學(xué)生可能會(huì)給出x=±3這一結(jié)果，但是這種結(jié)果是錯(cuò)誤的，因?yàn)閷W(xué)生忽視了x-3x2-6x+9這一分式中分母不能夠?yàn)?這一隱含條件，故造成了錯(cuò)誤解題.如果可以挖掘出這一分式中的隱含條件，就可以最終得到本道題的正確答案是x= -3.

例5已知x和y均為實(shí)數(shù)，并且有y=x2-1+1-x2x3+1，試求23x+1990y=？.

解析本道數(shù)學(xué)題中已經(jīng)給出了函數(shù)y的代數(shù)式，在求解中也要指導(dǎo)學(xué)生在分析問題中首先根據(jù)數(shù)學(xué)公式來挖掘出其中包含的隱含條件，即：x2-1≥0，1-x2≥0和x3+1≠0.這樣一來就可以確保前期解題條件分析的充足性與全面性，避免因?yàn)槿狈@些限定解題的隱含條件挖掘不全面而直接影響了后續(xù)數(shù)學(xué)問題的順利求解.因?yàn)橥ㄟ^聯(lián)立上述3個(gè)公式即可求出x=1時(shí)，y=0，故可知23x+1990y=8.

由此可見，在解決初中數(shù)學(xué)問題的過程中，學(xué)生應(yīng)該高度關(guān)注數(shù)學(xué)公式中的隱含條件，根據(jù)給出的公式挖掘出隱含條件，對(duì)自己在解題過程當(dāng)中忽略的問題進(jìn)行重點(diǎn)把握，完善整個(gè)解題過程，讓學(xué)生的難題解決效果更為突出.教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，改變過去馬虎大意的學(xué)習(xí)態(tài)度，學(xué)會(huì)在解題當(dāng)中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，避免在以后解題當(dāng)中出現(xiàn)相同失誤.

2.3 基于關(guān)鍵詞句，挖掘隱含條件

在求解數(shù)學(xué)問題中，一般學(xué)生很難找出全部的隱含條件.在對(duì)所求解問題的題干信息進(jìn)行審讀期間，如果初次無法挖掘出有價(jià)值的隱含條件，那么可以鼓勵(lì)學(xué)生多次進(jìn)行閱讀并要在閱讀中積極思考和分析，尤其是要調(diào)用自己的理性思維來挖掘出數(shù)學(xué)問題當(dāng)中的關(guān)鍵詞句信息，以此來基于相應(yīng)的語義來對(duì)隱含條件進(jìn)行挖掘.因此，在平時(shí)指導(dǎo)學(xué)生求解數(shù)學(xué)問題中要注意讓他們保持足夠的耐心，結(jié)合題目中的那些關(guān)鍵詞或語句來對(duì)隱含條件進(jìn)行挖掘，這樣就可以降低他們求解數(shù)學(xué)問題的難度.教師可以為學(xué)生查找諸多具備代表性的經(jīng)典數(shù)學(xué)題，專門訓(xùn)練學(xué)生依托關(guān)鍵詞句挖掘隱含條件的能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)規(guī)律，形成一套自己的學(xué)習(xí)方法體系.

由此可見，在求解數(shù)學(xué)問題期間要注意指導(dǎo)學(xué)生在審題的過程中重點(diǎn)關(guān)注那些對(duì)解題有價(jià)值的關(guān)鍵詞句，并且挖掘它們背后隱含條件，這樣就可以結(jié)合題干中給出的已知條件來更為便捷地找到求解問題的突破口，同時(shí)整個(gè)思考過程也有效鍛煉了學(xué)生的思維能力和問題求解能力.

總之，隱含條件是初中生求解數(shù)學(xué)問題中非常有價(jià)值的解題信息，是確保數(shù)學(xué)問題正確、高效求解中不可或缺的解題信息.在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中滲透隱含條件教學(xué)，要注意指導(dǎo)初中生基于數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式以及數(shù)學(xué)問題關(guān)鍵詞句等信息來進(jìn)行隱含條件挖掘，之后要結(jié)合數(shù)學(xué)問題已經(jīng)給出的題干信息來對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡化，確?？梢杂行Ы鉀Q這些數(shù)學(xué)問題.

參考文獻(xiàn)：

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