拉伸載荷下PBX-9501 裂紋產(chǎn)生的數(shù)值模擬

何各燚，劉占芳，2，段連龍

（1. 重慶大學(xué) 航空航天學(xué)院，重慶 400044；2. 非均質(zhì)材料力學(xué)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044）

1 引言

PBX 材料中占極大體積分?jǐn)?shù)的單質(zhì)炸藥顆粒（通常可達(dá)90%以上）與高聚物黏結(jié)劑之間存在相互作用，力學(xué)響應(yīng)較為復(fù)雜，從宏觀角度準(zhǔn)確描述PBX 材料的性質(zhì)和力學(xué)行為特征較為困難，因此采用細(xì)觀結(jié)構(gòu)表征技術(shù)以及與宏觀力學(xué)性能相關(guān)聯(lián)的研究方法是非常有效的研究手段［1］。PBX 所具有的含能敏感特性給力學(xué)性能的實(shí)驗(yàn)研究帶來了困難，通過數(shù)值模擬方法來研究炸藥的力學(xué)性能越來越受到人們的重視，如何建立符合實(shí)際PBX 材料的細(xì)觀結(jié)構(gòu)模型是進(jìn)行數(shù)值模擬的關(guān)鍵。

國(guó)內(nèi)外對(duì)PBX 細(xì)觀結(jié)構(gòu)的幾何建模研究主要是通過建立以材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的數(shù)值模型［2-3］，證明二維代表體積元方法的有效性［4-5］，這在一定程度上較好地預(yù)測(cè)了炸藥顆粒的性質(zhì)、體積分?jǐn)?shù)、形狀和級(jí)配以及黏結(jié)劑的性質(zhì)等對(duì)有效彈性模量的影響［6-7］。為了建立合適的PBX 細(xì)觀模型，許多研究者通過數(shù)字圖像處理技術(shù)手動(dòng)建立材料模型。Arora 等［8］通過對(duì)顯微電子圖像中不同相的識(shí)別建立了PBX 細(xì)觀結(jié)構(gòu)模型，Manner 等［9］利用X 射線對(duì)HMX-HTPB 基的PBX 炸藥進(jìn)行掃描，并在此基礎(chǔ)上建立了PBX 細(xì)觀結(jié)構(gòu)模型，但此方法需要昂貴的設(shè)備和時(shí)間成本。韋興文等［10］嘗試?yán)秒S機(jī)投放方法建立PBX 隨機(jī)圓形顆粒模型，然而這種方法很難使炸藥顆粒體積分?jǐn)?shù)達(dá)到85%及以上。戴開達(dá)等［6］為了提高PBX 細(xì)觀模型中炸藥顆粒的體積分?jǐn)?shù)，以規(guī)則的多邊形炸藥顆粒來替代圓形的炸藥顆粒，但顆粒的不規(guī)則性以及隨機(jī)分布性卻無法保證。Guo 等［11-13］采用Voronoi 方法建立了PBX 細(xì)觀模型，此時(shí)Thiessen 多邊形顆粒能夠保證隨機(jī)分布和體積分?jǐn)?shù)的要求，但生成的顆粒尺寸過于均勻。康歌等［14-17］利用隨機(jī)模擬方法，在給定區(qū)域隨機(jī)生成多種類型的圓形顆粒，再由各圓心生成Voronoi 圖建立PBX 細(xì)觀模型，該模型不僅能夠反映級(jí)配，且能達(dá)到較高的顆粒體積分?jǐn)?shù)，然而由大圓周圍的小圓生成有規(guī)律的條狀散射形狀的Thiessen 多邊形，以及由大圓生成的Thiessen 多邊形面積明顯變小，因此仍需要對(duì)模型進(jìn)行修正。

大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在拉伸載荷作用下，PBX 的主要損傷形式為界面脫粘［19］，PBX 在拉伸下的斷裂行為受到晶體間界面性質(zhì)的顯著影響［20］，但是界面屬性很難描述。大多數(shù)研究是基于牽引力和開口位移之間關(guān)系為線性這一假設(shè)［21-22］，其中Tan［23］使用數(shù)字圖像相關(guān)方法獲得內(nèi)聚力規(guī)律，并提出了三階段黏結(jié)界面本構(gòu)關(guān)系。

相較于三維模型，對(duì)二維模型進(jìn)行數(shù)值模擬能夠得到更加直觀的結(jié)果并減少大量的計(jì)算量，得到的結(jié)果也具有一定的可靠性。用二維的平面模型來表征三維的實(shí)體結(jié)構(gòu)時(shí)，通常是參考三維實(shí)體的截面幾何分布，但值得注意的是二維截面并不一定是三維顆粒的最大截面，即截面中的顆粒面積大小并不能表征顆粒體積的大小。因此本研究將通過隨機(jī)生成三級(jí)配圓，并采用大級(jí)配最大化方法，以達(dá)到所有圓面積總和最大化的目的，這與PBX 壓制工藝中采用級(jí)配以增加顆粒體積比的思想相一致。本研究基于Voronoi 方法，對(duì)于PBX 細(xì)觀幾何結(jié)構(gòu)上的建模進(jìn)行改進(jìn)，建立更加符合實(shí)際的不同級(jí)配下晶粒分布的二維幾何模型。在此基礎(chǔ)上建立二維代表體積元，采用三階段黏結(jié)界面損傷本構(gòu)關(guān)系，對(duì)含有細(xì)觀結(jié)構(gòu)的PBX-9501 進(jìn)行靜態(tài)拉伸下的界面脫粘數(shù)值模擬，研究靜態(tài)拉伸下顆粒與黏結(jié)劑界面力學(xué)行為。

2 具有細(xì)觀結(jié)構(gòu)特征的PBX 幾何建模

2.1 PBX 幾何建模布種

運(yùn)用隨機(jī)模擬方法，在給定區(qū)域生成3 種類型的圓形顆粒，將所有圓稱為種子，圓半徑稱為種子大小。每個(gè)種子除了位置坐標(biāo)信息外，還有種子大小的信息。

運(yùn)用Matlab 軟件，首先在S=1 mm×1 mm 區(qū)域內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生N=106個(gè)點(diǎn)，由隨機(jī)產(chǎn)生的點(diǎn)為圓心，以半徑為r1=50 μm 依次作圓，后產(chǎn)生的圓與之前的圓不能相交，且與之前產(chǎn)生的圓中至少存在一個(gè)滿足（1）式關(guān)系：

式中，L為兩圓之間的距離，r為存在的圓的半徑，δ1為控制參數(shù)，本研究中取值為2，遍歷所有的隨機(jī)點(diǎn)。同理逐次產(chǎn)生r2=12.5 μm，r3=3 μm 的圓（控制參數(shù)同樣取2），分別在S區(qū)域內(nèi)生成大種子79 個(gè)，中種子379個(gè)，小種子3534 個(gè)，如圖1 所示。

圖1 三級(jí)配顆粒逐步布種Fig.1 Seed distribution of three graded particles gradually

2.2 生成Voronoi 模型

由種子位置信息生成Voronoi 圖，在Matlab 軟件中生成CAD 命令流文件，并將每一個(gè)Thiessen 多邊形縮放形成黏結(jié)劑層，縮放為向內(nèi)偏移m/2=0.5 μm，生成黏結(jié)劑厚度m=1 μm 的模型，如圖2 所示。由于顆粒采用的是三級(jí)配，而且Voronoi 方法生成的模型只用到了種子的位置信息，所以明顯可觀測(cè)到由大種子生成的Thiessen 多邊形面積偏小，由大種子周圍的小種子生成Thiessen 多邊形成條狀的散射狀。

2.3 改進(jìn)的幾何模型

Thiessen 多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)Delaunay 三角形的外心［18］，是由3 個(gè)種子的位置信息確定。如圖3所示，圖3a 中O點(diǎn)為修改前的頂點(diǎn)位置，圖3b 中O點(diǎn)為修改后的頂點(diǎn)位置，將每個(gè)頂點(diǎn)的位置進(jìn)行修改，加入種子大小的信息，為了保證所得頂點(diǎn)仍然在三角形內(nèi)部，并且頂點(diǎn)位置更加偏向小種子，采用面積加權(quán)來重新確定多邊形的頂點(diǎn)位置O，使得頂點(diǎn)與三角形組成的3 個(gè)三角形的面積之間滿足（2）式：

圖3 在Delaunay 三角形中重新生成多邊形頂點(diǎn)Fig.3 Regenerating polygon points in Delaunay triangles

則可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為：

由修改后的多邊形同樣縮放形成黏結(jié)劑層，縮放為向內(nèi)偏移m/2=0.5 μm，生成黏結(jié)劑厚度m=1 μm的模型，如圖4 所示，模型顆粒面積分?jǐn)?shù)為90.5%，黏結(jié)劑面積分?jǐn)?shù)為9.5%。改進(jìn)后的模型與種子的契合度明顯提升，顆粒為三級(jí)配時(shí)比Voronoi 圖模型更加符合PBX 實(shí)際細(xì)觀結(jié)構(gòu)，但仍存在大顆粒多邊形趨于圓形的缺點(diǎn)。模型的顆粒分布如圖5 所示，其中圖5a為不同面積顆粒數(shù)量分布，圖5b 為不同面積的顆粒面積分布，從中可以得出模型具有小顆粒數(shù)量多、大顆粒與小顆粒面積占比相當(dāng)、中顆粒面積占比最少的特征。

圖4 改進(jìn)后的模型Fig.4 Improved model

圖5 模型中的顆粒分布Fig.5 Particle distribution in model

3 PBX-9501 靜態(tài)拉伸下的界面脫粘數(shù)值模擬

3.1 有限元單元?jiǎng)澐?/h3>

采用有限元方法模擬PBX-9501 在準(zhǔn)靜態(tài)拉伸下的斷裂行為，所有仿真均在Abaqus 軟件中實(shí)現(xiàn)。選取模型中區(qū)域0.2 mm×0.2 mm（圖4 中的紅色區(qū)域），生成草圖導(dǎo)入Abaqus 建立幾何模型，并作為PBX-9501周期性邊界條件代表體積元，如圖6 所示。

圖6 在Abaqus 中建立模型Fig.6 Modeling in Abaqus

網(wǎng)格和加載邊界如圖7 所示。顆粒與黏結(jié)劑實(shí)體均采用三角形平面應(yīng)變單元，約有11000 個(gè)。在黏結(jié)劑內(nèi)部及顆粒與黏結(jié)劑界面插入黏結(jié)面單元，約有7000 個(gè)。左邊界固定x方向位移，下邊界固定y方向位移，在上邊界加載y方向位移。

圖7 約束與載荷邊界條件及網(wǎng)格劃分Fig.7 Boundary conditions and meshing

3.2 顆粒與黏結(jié)劑界面的本構(gòu)模型

大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在拉伸載荷作用下，PBX 的主要損傷形式為界面脫粘。PBX-9501 在拉伸下的細(xì)觀裂紋路徑如圖8 所示。由圖8 可見，在拉伸載荷作用下PBX-9501 明顯存在一條主裂紋路徑，裂紋主要沿顆粒的邊緣擴(kuò)展［19］。

圖8 拉伸載荷下PBX-9501 的微觀裂紋路徑［19］Fig.8 The microscopic crack path of PBX-9501 under tensile loading［19］

PBX 在拉伸下的斷裂行為受到晶體間界面性質(zhì)的顯著影響［20］，但是界面屬性很難描述。大多數(shù)研究假設(shè)牽引力和開口位移之間的關(guān)系是線性的［21-22］，Tan［23］使用數(shù)字圖像相關(guān)方法獲得內(nèi)聚力規(guī)律，并提出了一個(gè)解析表達(dá)式。該表達(dá)式有3 個(gè)參數(shù)：黏合強(qiáng)度最大值、剛度和退化剛度

式中，σint為界面法線應(yīng)力，ur為開口位移。如圖9 所示，該關(guān)系由3 個(gè)線性階段組成。

圖9 界面法向力與張開位移的關(guān)系Fig.9 The relationship between the normal stress and the opening displacement of interface

在數(shù)值模擬中，由彈性實(shí)體單元與黏結(jié)面單元共同描述黏結(jié)劑力學(xué)行為，其中彈性實(shí)體單元描述第一階段，黏結(jié)面單元描述第二、三階段，如圖10 所示。

圖10 黏結(jié)劑層本構(gòu)關(guān)系示意圖Fig.10 Diagram of the constitutive of the binder layer

切向應(yīng)力與切向位移的關(guān)系與法向關(guān)系相同。參考文獻(xiàn)［24］中的參數(shù)選取，界面黏結(jié)強(qiáng)度為1.66 MPa，剛度為1.55 GPa·μm-1，退化剛度為17 MPa·mm-1；黏結(jié)劑假定為線彈性，彈性模量為1 MPa，泊松比為0.499；晶體顆粒假定為線彈性，彈性模量為30 GPa，泊松比為0.322。

4 結(jié)果與討論

本研究通過隨機(jī)生成三級(jí)配圓，并采用大級(jí)配最大化方法，建立了不同級(jí)配下晶粒分布的二維幾何模型，采用三階段黏結(jié)界面損傷本構(gòu)關(guān)系及有限元方法模擬了PBX-9501 在準(zhǔn)靜態(tài)拉伸條件下無初始損傷模型的斷裂過程。為了驗(yàn)證模擬的有效性，將模擬得到的拉應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系結(jié)果在圖11 中用實(shí)線表示，將文獻(xiàn)［25］中PBX-9501 巴西圓盤實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在圖11 中用虛線表示，對(duì)比表明：在數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)中具有幾乎相同的拉伸強(qiáng)度和初始剛度，但在數(shù)值模擬中明顯存在一個(gè)較大的剛度退化階段，而實(shí)驗(yàn)結(jié)果的剛度退化不明顯；在數(shù)值模擬結(jié)果中曲線末端出現(xiàn)波動(dòng)，但實(shí)驗(yàn)曲線只有上升階段而無下降階段。分析產(chǎn)生差異的原因：一是因?yàn)閿?shù)值模擬的對(duì)象為代表性體積單元，尺寸小，單個(gè)微裂紋的產(chǎn)生對(duì)整個(gè)材料影響大，而實(shí)驗(yàn)對(duì)象的尺寸很大，單個(gè)微裂紋的產(chǎn)生對(duì)整個(gè)材料影響小，所以在數(shù)值模擬中出現(xiàn)波動(dòng)，而實(shí)驗(yàn)中波動(dòng)不明顯；二是采用靜態(tài)加載方式，數(shù)值模擬出現(xiàn)下降段是因?yàn)樵谠撾A段有靜態(tài)穩(wěn)定解，實(shí)驗(yàn)無下降段是因?yàn)樵谠撾A段無靜態(tài)穩(wěn)定解，裂紋產(chǎn)生過程的靜態(tài)穩(wěn)定性與對(duì)象尺寸相關(guān)，所以實(shí)驗(yàn)中只有上升階段而無下降段，而數(shù)值模擬中有下降段。

圖11 拉應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)［25］結(jié)果對(duì)比Fig.11 Comparison of the stress-strain relationsip of simulation with the experimental data［25］

圖12 為模擬中PBX-9501 主要裂紋的形成過程，其 中a、b、c 分 別 為y方 向 應(yīng) 變 為0.0015、0.0025、0.0027 時(shí)的微裂紋的形成及分布。由于PBX-9501 顆粒的剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于黏結(jié)劑剛度，在數(shù)值模擬中接近剛性體的變形行為。從圖12 可以看出，界面剛度退化以及微裂紋的產(chǎn)生是由于PBX-9501 整體變形的協(xié)調(diào)性與嚴(yán)重的局部剛度不均勻之間的矛盾所引起的。過大的局部剛度需要釋放，整體上主裂紋方向垂直于應(yīng)變加載方向，并沿大顆粒邊界擴(kuò)展；局部裂紋的產(chǎn)生與顆粒間相對(duì)位移相關(guān)。圖13 為圖12c 中a、b、c 3 個(gè)區(qū)域放大圖，模擬中微裂紋產(chǎn)生的結(jié)果由圖13 可見，其中a為相鄰顆粒的相對(duì)錯(cuò)開而產(chǎn)生的微裂紋，b 為相領(lǐng)顆粒相對(duì)張開而產(chǎn)的微裂紋，c 為相鄰顆粒的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的微裂紋。

圖12 拉伸載荷下模型的斷裂過程Fig.12 Fracture process under tension

圖13 協(xié)調(diào)變形中微裂紋產(chǎn)生的3 種情況Fig.13 Three cases of microcracks in coordinated deformation

在圖11 中數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在的差異有以下原因。一是數(shù)值模擬的模型過于理想化，實(shí)際上PBX 內(nèi)部包含著大量不規(guī)則、跨尺度的孔隙［26-28］，以及PBX 在制備與存儲(chǔ)過程中在各種復(fù)雜載荷作用下使得部分界面產(chǎn)生剛度退化甚至產(chǎn)生微裂紋，會(huì)使得數(shù)值模擬的初始剛度偏高。 二是巴西圓盤實(shí)驗(yàn)中PBX-9501 的應(yīng)變與應(yīng)力關(guān)系是在一定的假設(shè)下通過間接測(cè)量而得出，表現(xiàn)為當(dāng)應(yīng)力達(dá)到斷裂強(qiáng)度時(shí)PBX-9501 就產(chǎn)生宏觀裂紋。三是數(shù)值模擬結(jié)果與代表體積元的尺寸密切相關(guān)，存在尺寸效應(yīng)。從應(yīng)變和能量?jī)蓚€(gè)角度分析收斂性，如圖14 所示。

圖14 從兩種角度分析收斂性Fig.14 Analysis of convergence from two perspectives

從應(yīng)變的角度來看，如圖14a，其中εmax為最大應(yīng)力時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)變，δ為界面斷裂時(shí)的張開位移，在達(dá)到最大拉伸強(qiáng)度前，應(yīng)變幾乎均勻產(chǎn)生于代表體積元，而達(dá)到最大拉伸強(qiáng)度之后應(yīng)變的產(chǎn)生主要來源于斷裂面之間的位移，代表體積元的尺寸越小則數(shù)值模擬的應(yīng)變與應(yīng)力關(guān)系中的剛度退化階段就越大。而當(dāng)代表體積元的尺寸L足夠大，則無剛度退化階段。用數(shù)學(xué)公式可表達(dá)為

界面斷裂所需位移完全能夠由代表體積元應(yīng)變減小而產(chǎn)生的位移提供，則數(shù)值模擬的應(yīng)變與應(yīng)力關(guān)系中剛度退化階段將不存在，達(dá)到最大應(yīng)力時(shí)主裂紋產(chǎn)生過程不可能靜態(tài)平衡，是一個(gè)失穩(wěn)的過程，采用靜力隱式分析難以收斂。

從能量的角度分析，如圖14b，其中E為彈性能，U為斷裂能，代表體積元在最大應(yīng)力時(shí)的彈性能正比于代表體積元尺寸的平方L2，而斷裂面所需能量正比于代表體積元的尺寸L。隨著L的增大，當(dāng)彈性能大于斷裂能時(shí)裂紋的擴(kuò)展不需要外界能量，主裂紋產(chǎn)生是一個(gè)失穩(wěn)的過程。用數(shù)學(xué)公式可表達(dá)為

盡管實(shí)際斷裂過程中所需的斷裂能與斷裂面相對(duì)位移并非簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，但同樣可以得出隨著代表體積元尺寸的增加進(jìn)行有限元靜力隱式分析時(shí)收斂性越差的結(jié)論。

5 結(jié)論

考慮由到Voronoi 方法得到的模型的局限性，本研究首先通過隨機(jī)生成三級(jí)配圓，并采用大級(jí)配最大化方法，在Voronoi 方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，建立了更加符合實(shí)際的不同級(jí)配下晶粒分布的二維幾何模型。改進(jìn)后的模型中組分含量可通過黏結(jié)劑厚度調(diào)節(jié)，顆粒分布隨機(jī)，相對(duì)于單純的Voronoi方法得到的模型更加符合實(shí)際PBX 的細(xì)觀結(jié)構(gòu)。由改進(jìn)后的模型建立二維代表體積元，采用三階段黏結(jié)界面損傷本構(gòu)關(guān)系，對(duì)含有細(xì)觀結(jié)構(gòu)的PBX-9501 進(jìn)行靜態(tài)拉伸下的界面脫粘進(jìn)行了數(shù)值模擬，研究了靜態(tài)拉伸下顆粒與黏結(jié)劑界面力學(xué)行為。結(jié)果表明，本研究建立的模型所模擬的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比存在較小的差異。本研究從PBX-9501 細(xì)觀結(jié)構(gòu)、實(shí)驗(yàn)與數(shù)值模擬3 個(gè)方面分析了產(chǎn)生差異的來源，得出進(jìn)行有限元隱式靜力分析界面脫粘行為時(shí)代表體積元的尺寸越大則收斂性越差的結(jié)論。