一道難題

單 墫

(南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,210023)

一位名叫李雨航的朋友問下面的問題有無好的解法:

問題已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足

(1)

(2)

這道題的確不太容易.我請了幾位朋友做,所提供的解法(包括李雨航提供的解),或者看不明白,或者懷疑有疏漏,沒有看到我滿意的.

哪位朋友有好的解法?

我也做了一個(gè)解,稍后提供(如有比我好的,我就藏拙了).

已有一種解法(見附頁),這是計(jì)神的風(fēng)格,一個(gè)式子就可解決問題.但怎么能想到?太復(fù)雜了,我連驗(yàn)證都頭痛,但相信它是對的,誰有興趣誰驗(yàn)證.仍歡迎其它解法,我的也將發(fā)表.又有一位網(wǎng)友發(fā)表精彩的解法.

(2)若xyz<1,且x+y+z≤3,則注意到xy+yz+zx≥2+xyz?(xy+yz+zx)(x2+y2+z2)≥(2+xyz)(x2+y2+z2)=2(x2y2+y2z2+z2x2)+xyz(x2+y2+z2)?xy(x-y)2+yz(y-z)2+zx(z-x)2+xyz(x+y+z)≥xyz(x2+y2+z2),這等價(jià)于

①

≥x2+y2+z2-(x+y+z),

故① 式成立.

(3)若xyz<1,且x+y+z>3,則由x2+y2+z2=x2y2+y2z2+z2x2,知[(xy+yz+zx)+1]2=(x+y+z)2+2xyz(x+y+z)+1>10+6xyz>(xyz+3)2,開方即得證.

(后續(xù))