函數(shù)不等式ln x≤x-1及其應(yīng)用

王耀娜

(安徽省濉溪縣第二中學(xué)，235100)

縱觀近幾年各省高考數(shù)學(xué)試題,在命題時(shí)注重知識(shí)的交匯,充分體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性,綜合性強(qiáng)且區(qū)分度好,以能力立意,解法靈活,突出對(duì)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.其中以數(shù)列求和、連乘積、不等關(guān)系等綜合問題為背景的試題較多,求解時(shí)需要學(xué)生有很好的洞察力.本文略舉數(shù)例,淺談如何利用重要的函數(shù)不等式lnx≤x-1來解決問題.

一、函數(shù)不等式ln x≤x-1的證明

思路1構(gòu)造函數(shù)法

思路2切線法

不難得出曲線y=lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程是y=x-1.如圖1,數(shù)形結(jié)合,易知lnx≤x-1成立,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得.

二、典型應(yīng)用舉例

例1(2018年浙江高考題)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),若a1>1,則( )

(A)a1

(B)a1>a3,a2

(C)a1a4

(D)a1>a3,a2>a4

分析本題以數(shù)列為背景,利用基本量法解決問題顯然較復(fù)雜.根據(jù)選項(xiàng)都是不等關(guān)系，并且題干中有自然對(duì)數(shù),故可利用函數(shù)不等式lnx≤x-1嘗試解決.

解由函數(shù)不等式lnx≤x-1,得ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1,即a1+a2+a3+a4≤a1+a2+a3-1,所以a4=a1q3≤-1.又a1>1,因此q<0.

若q≤-1,則a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1+q)(1+q2)≤0,而a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=a1[1+q(1+q)]≥a1>1,有l(wèi)n(a1+a2+a3)>0,與條件不符.

所以-10,a2-a4=a1q(1-q2)<0.故選B.

評(píng)注本題由數(shù)列、不等式背景及自然對(duì)數(shù)聯(lián)想到用lnx≤x-1轉(zhuǎn)化問題,對(duì)學(xué)生思維能力提出了較高要求,考查學(xué)生扎實(shí)的功底和較強(qiáng)的邏輯推理能力.

(A)p∧q為真命題

(C)p∨q為真命題

解對(duì)于命題q,由于對(duì)任意λ∈R,x=0都是不等式的解,所以命題q為真命題.

對(duì)于命題p,直觀感知一定為真命題,接下來利用函數(shù)不等式lnx≤x-1給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.

令Tn=ln(n+1)>2 020,則n>e2 020-1,將e2 020-1取整,記為N1,令N=N1,則命題p為真命題.

綜上,選D.

可得最小的整數(shù)m=2.

評(píng)注連乘積問題經(jīng)常利用取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為求和問題,本題通過取自然對(duì)數(shù),再利用函數(shù)不等式lnx≤x-1放縮成能求和的形式,找到了解決問題的突破口.