例談數(shù)量積性質(zhì)在競(jìng)賽題中的應(yīng)用

吳侃男

(浙江省金華市浦江縣中山中學(xué)，322200)

數(shù)量積及其性質(zhì)是平面向量的重點(diǎn)內(nèi)容,在數(shù)學(xué)的許多方面應(yīng)用廣泛.

由數(shù)量積的定義與向量模的知識(shí),我們不難得到如下的向量不等式:設(shè)a,b是非零向量,則a·b≤|a·b|≤|a||b|，當(dāng)且僅當(dāng)a,b共線時(shí)等號(hào)成立.特別地,a·b≤|a||b|,當(dāng)且僅當(dāng)a,b同向時(shí)等號(hào)成立.本文舉例介紹數(shù)量積的上述性質(zhì)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽題求解中的應(yīng)用，給人以意想不到的解題效果.

一、比較大小

(A)M>N(B)M

(C)M=N(D)不能確定

故選A.

二、解方程

當(dāng)x=1時(shí)，方程不成立，故x>1.

三、證明不等式

解要證明x-2y≤200,而需證x≤2(y+100).

綜上，得證.

四、求函數(shù)的最值

五、求函數(shù)的值域

解依題意，可得(x-1)2+(y-2)2=4.

六、處理幾何最值問(wèn)題

由|a||b|≥a·b,可得

≥(98-15cosθ-20sinθ)2.

所以|b|2=(6-5cosθ)2

綜上，當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3，2)時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離最小.