岳增成 白莉莉

“雙減”的根本目的在于減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，減輕負(fù)擔(dān)的根本之策則在于全面提升教學(xué)質(zhì)量。精準(zhǔn)教學(xué)可以助力教學(xué)實(shí)施過(guò)程精準(zhǔn)高效，是“雙減”背景下小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提質(zhì)增效的必然選擇。筆者考察精準(zhǔn)教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，在信息技術(shù)支持下，精準(zhǔn)教學(xué)可以通過(guò)學(xué)情分析、內(nèi)容選擇、路徑指導(dǎo)、教學(xué)干預(yù)等方式，讓教師更加精準(zhǔn)地把握學(xué)生知識(shí)技能中存在的問(wèn)題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率，對(duì)于優(yōu)化教學(xué)、減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)具有重要意義。但同時(shí)也暴露出信息技術(shù)強(qiáng)烈的工具理性基質(zhì)，以及信息技術(shù)支持下的精準(zhǔn)教學(xué)過(guò)分重視知識(shí)技能，忽視思維的發(fā)展和知識(shí)的發(fā)生過(guò)程等重要問(wèn)題，這就需要我們進(jìn)一步優(yōu)化精準(zhǔn)教學(xué)路徑。數(shù)學(xué)歷史相似性是將數(shù)學(xué)史應(yīng)用于課堂教學(xué)的基礎(chǔ)，是指學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知過(guò)程和歷史上該知識(shí)的發(fā)展過(guò)程存在一定的相似性，這種相似性主要包括認(rèn)知特點(diǎn)、認(rèn)知障礙、認(rèn)知順序上的相似性。這為我們探究學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，開展精準(zhǔn)教學(xué)活動(dòng)提供了借鑒。本文以人教版六年級(jí)上冊(cè)“圓的認(rèn)識(shí)”與“圓的周長(zhǎng)”為例，對(duì)基于歷史相似性的精準(zhǔn)教學(xué)進(jìn)行說(shuō)明。

一、以歷史相似性探究學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，精準(zhǔn)教學(xué)目標(biāo)

歷史上，初等幾何的發(fā)展大致經(jīng)歷了直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何、論證幾何三個(gè)階段，圓知識(shí)的發(fā)展同樣如此。在直觀幾何階段，人類的直覺識(shí)別出圓是特別的圖形，圓中蘊(yùn)含著美。于是，人類祖先在很多器物、壁畫上留有圓的圖案。圖案中的圓夠不夠圓？人類受此驅(qū)動(dòng)研究畫圓的工具，進(jìn)入實(shí)驗(yàn)幾何階段。人類在研究畫圓工具的過(guò)程中探究出了圓的性質(zhì)，對(duì)圓進(jìn)行了定義——“圓，一中同長(zhǎng)也”“圓是由一條曲線包圍成的圖形，其內(nèi)有一點(diǎn)與這條線上的點(diǎn)連接成的所有線段都相等”。以此為基礎(chǔ)，研究圓的其他性質(zhì)，人類進(jìn)入了論證幾何階段。人類對(duì)圓的周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)同樣如此，現(xiàn)實(shí)的需要讓人類開始測(cè)量圓的周長(zhǎng)，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)與圓的直徑或半徑有關(guān)，通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)與圓的直徑的比值在一個(gè)固定的區(qū)間內(nèi)。認(rèn)識(shí)到實(shí)驗(yàn)幾何固有的誤差后，開始用數(shù)學(xué)的方法對(duì)比值進(jìn)行精確的計(jì)算，人類從實(shí)驗(yàn)幾何進(jìn)入論證幾何。但橫亙?cè)跀?shù)學(xué)家面前的一大難題是用圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)逼近圓的周長(zhǎng)得到的圓周率是近似的還是精確的，很多數(shù)學(xué)家無(wú)法理解以直代曲的極限思想，從而認(rèn)為圓周率是一個(gè)近似值。

以歷史為參照對(duì)現(xiàn)行教材進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，“圓的認(rèn)識(shí)”教材內(nèi)容編排基本上遵循了初等幾何的發(fā)展歷程，從生活中的圓到數(shù)學(xué)中的圓，最后回到用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述圓。“圓的周長(zhǎng)”教材內(nèi)容編排則考慮到了學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平，將重點(diǎn)放在實(shí)驗(yàn)幾何，先安排滾圓法、繞圓法的圓周長(zhǎng)測(cè)量方法，再安排多次測(cè)量求圓的周長(zhǎng)與直徑的比值，未將其置于歷史的發(fā)展脈絡(luò)之上，僅附加地介紹了中國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)圓周率計(jì)算的貢獻(xiàn)，錯(cuò)失了將學(xué)生引入論證幾何的機(jī)會(huì)。

實(shí)際上，學(xué)生對(duì)圓的認(rèn)識(shí)、對(duì)圓周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)與這兩個(gè)主題的歷史發(fā)展具有相似性：一方面，在這兩個(gè)主題的學(xué)習(xí)中，學(xué)生會(huì)從直觀入手形成對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的主觀認(rèn)識(shí)，然后運(yùn)用度量的方法對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行研究，加深對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的了解，最后嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法研究數(shù)學(xué)對(duì)象，形成理性認(rèn)識(shí)。另一方面，數(shù)學(xué)家面對(duì)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)遭遇到的困難也是今天學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙，而困難的解決往往將數(shù)學(xué)的發(fā)展推向更高的層次，因此學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙往往出現(xiàn)在數(shù)學(xué)主題從一個(gè)階段發(fā)展到另外一個(gè)階段的節(jié)點(diǎn)處。如何用數(shù)學(xué)的方法刻畫“夠不夠圓”？如何計(jì)算圓的周長(zhǎng)與圓的直徑的比值？如何理解以直代曲的極限思想？這些都是圓、圓的周長(zhǎng)歷史發(fā)展的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，是教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，也是精準(zhǔn)教學(xué)指向的核心問(wèn)題。

基于以上對(duì)歷史、教材、學(xué)生的分析，將“圓的認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)目標(biāo)確定為：（1）通過(guò)對(duì)古今各種形狀的物體的觀察、比較，感受圓之美，初步認(rèn)識(shí)圓;（2）嘗試?yán)酶鞣N工具畫圓，從中認(rèn)識(shí)圓心、半徑;（3）在古今對(duì)照中，加深對(duì)圓的認(rèn)識(shí)，能辨析給定的圖形是否為圓，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與信心。將“圓的周長(zhǎng)”的教學(xué)目標(biāo)確定為：（1）探究測(cè)量圓周長(zhǎng)的方法;（2）會(huì)用測(cè)量法計(jì)算圓周率，在對(duì)比中感受測(cè)量法的誤差;（3）重走古人計(jì)算圓周率的歷程，經(jīng)歷圓內(nèi)接正多邊形周長(zhǎng)逐漸逼近圓周長(zhǎng)的過(guò)程，感受以直代曲的極限思想;（4）在歷史的進(jìn)程中，了解古人的智慧，感受古人勤奮好學(xué)、孜孜不倦的精神。其中，“圓的認(rèn)識(shí)”中的目標(biāo)（2）、“圓的周長(zhǎng)”中的目標(biāo)（3）是實(shí)施精準(zhǔn)教學(xué)的關(guān)鍵。

二、參照歷史相似性，重構(gòu)教學(xué)路徑，著力歷史關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)

基于歷史相似性重構(gòu)教學(xué)路徑將順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。同時(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)主題從一個(gè)階段發(fā)展到另外一個(gè)階段節(jié)點(diǎn)處的任務(wù)設(shè)計(jì)，將有助于突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，這為精準(zhǔn)教學(xué)的實(shí)現(xiàn)提供可能。

重構(gòu)圓的歷史，以“夠不夠圓”作為精準(zhǔn)教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”的突破口。從圓之美入手，學(xué)生從對(duì)各種文物的欣賞中感受到圓在古代的廣泛應(yīng)用及背后的緣由。探究圓之理，引入古巴比倫泥板中的圓，學(xué)生認(rèn)為這些圖形不夠圓，教師追問(wèn)“為什么不夠圓”，學(xué)生回答“未運(yùn)用工具”，教師順勢(shì)呈現(xiàn)除圓規(guī)外的其他畫圓工具。學(xué)生通過(guò)小組探究、對(duì)比、歸納等得到畫圓的要素是定點(diǎn)、定長(zhǎng)，前者確定圓的位置，即圓心，后者確定圓的大小，即半徑。隨后引入歷史上有關(guān)圓的定義，加深學(xué)生對(duì)圓的性質(zhì)的理解。在這一環(huán)節(jié)，教師借助古巴比倫人的圓引出了精準(zhǔn)教學(xué)的著力點(diǎn)——用數(shù)學(xué)的方法刻畫夠不夠圓。在用各種工具畫圓的探究任務(wù)中，學(xué)生歸納出了畫圓的要素，真正地理解了圓，精準(zhǔn)教學(xué)得以發(fā)生。最后回到認(rèn)識(shí)圓，一方面讓學(xué)生欣賞各種圓形物品，另一方面通過(guò)提問(wèn)“圓在哪里”為學(xué)生克服直觀幾何的負(fù)遷移提供機(jī)會(huì)。

“圓的周長(zhǎng)”的教學(xué)讓學(xué)生經(jīng)歷直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何、論證幾何三個(gè)階段。通過(guò)現(xiàn)實(shí)情境的引入，讓學(xué)生產(chǎn)生精確測(cè)量圓周長(zhǎng)的需求，學(xué)生探究出滾圓法、繞圓法等以直代曲的思想方法后，讓他們?cè)诙鄠€(gè)圓的周長(zhǎng)的比較中猜測(cè)圓的周長(zhǎng)與什么有關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案驗(yàn)證猜想。學(xué)生在多組周長(zhǎng)、半徑的測(cè)量與計(jì)算后，發(fā)現(xiàn)其比值接近一個(gè)定值。如何準(zhǔn)確地求得定值？這是精準(zhǔn)教學(xué)的著力點(diǎn)。教師呈現(xiàn)《周髀算經(jīng)》中“周三徑一”的方法，讓學(xué)生猜測(cè)如何才能更準(zhǔn)確地計(jì)算比值。學(xué)生想到通過(guò)增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)。增加到多少才能接近314？劉徽將其計(jì)算到了圓內(nèi)接192邊形。那314是一個(gè)精確值嗎？祖沖之將其計(jì)算到了31415926～31415927之間。那要用圓內(nèi)接正多少邊形代替圓的周長(zhǎng)才能得到這個(gè)答案？24576。經(jīng)歷中國(guó)古代數(shù)學(xué)家計(jì)算圓周率的歷程，學(xué)生初步感知了以直代曲的極限思想，精準(zhǔn)教學(xué)得以發(fā)生。

“雙減”的落實(shí)驅(qū)動(dòng)教學(xué)質(zhì)量的提升，指向高效益的課堂，高效益課堂的實(shí)現(xiàn)需要精準(zhǔn)教學(xué)。歷史相似性的存在有助于精準(zhǔn)教學(xué)的落實(shí)，更重要的是，數(shù)學(xué)史多元文化的屬性豐富了精準(zhǔn)教學(xué)的工具理性基質(zhì)，讓工具理性嵌入了人文性的特質(zhì)，這為精準(zhǔn)教學(xué)的進(jìn)一步研究提供了方向。

（作者單位：杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教育學(xué)院 本專輯責(zé)任編輯：王彬）