曾志江，高貫斌，馬文金

(昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

測量技術(shù)是先進(jìn)制造技術(shù)的重要組成部分。隨著制造業(yè)越來越趨向智能化、柔性化、集成化及自動化，其對高精密儀器的測量要求也越來越高[1-2]。關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)具有體積小、質(zhì)量輕、便攜性好、測量靈活等優(yōu)點，在汽車制造、航天裝配、逆向工程等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)是一種由多關(guān)節(jié)串聯(lián)的空間開鏈結(jié)構(gòu)，其特殊的結(jié)構(gòu)在測量時會引入了較多誤差，從而影響測量精度。

采用先進(jìn)的技術(shù)方法可有效提高關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的精度[3-4]，這也是目前研究的熱點。文獻(xiàn)[5～6]對關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差進(jìn)行了研究，提出一種基于改進(jìn)的模擬退火算法的自標(biāo)定方法。文獻(xiàn)[7]提出了一種基于模擬退火和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)誤差補(bǔ)償方法，利用 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立動態(tài)誤差補(bǔ)償模型，解決了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂速度慢的問題。文獻(xiàn)[8]引入BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對長度誤差補(bǔ)償模型進(jìn)行了建模，進(jìn)行了長度誤差補(bǔ)償驗證。文獻(xiàn)[9]通過圓光柵偏心誤差實驗對第 1及第2 關(guān)節(jié)處的圓光柵偏心誤差模型參數(shù)進(jìn)行了辨識，建立了包含前兩關(guān)節(jié)圓光柵偏心誤差的測量模型，并運(yùn)用LM 算法進(jìn)行了參數(shù)標(biāo)定。文獻(xiàn)[10]提出兩點對稱法的標(biāo)定方法，實現(xiàn)了對關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)垂直度誤差的標(biāo)定。

目前對關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的標(biāo)定方法多為先進(jìn)行單點重復(fù)標(biāo)定，再用標(biāo)準(zhǔn)件進(jìn)行距離標(biāo)定。這種方法步驟繁瑣且標(biāo)定效率低。本文設(shè)計了標(biāo)準(zhǔn)量桿裝置，可同時對單點及距離進(jìn)行標(biāo)定，能快速有效地提高關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的精度及穩(wěn)定性。

1 運(yùn)動學(xué)模型及誤差模型的建立

1.1 運(yùn)動學(xué)建模

關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)是由連桿串聯(lián)多個關(guān)節(jié)組成的空間開鏈機(jī)構(gòu)。通常采用D-H(Denavit-Hartenberg)法來建立關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的運(yùn)動學(xué)模型[11]。運(yùn)動學(xué)模型是關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)測量的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，實現(xiàn)了關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)關(guān)節(jié)空間到坐標(biāo)空間的轉(zhuǎn)換。

如圖1所示，本文以ROMER RA-7125型號的關(guān)節(jié)臂為實驗對象。根據(jù)D-H法在各關(guān)節(jié)處建立了關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的坐標(biāo)系統(tǒng)，系統(tǒng)圖如圖2所示。

圖1 關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)Figure 1. The articulated arm coordinate measuring machine

計算關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)兩個相鄰關(guān)節(jié)間的齊次變換矩陣Ti-1，i

(1)

式中，i=1～6為關(guān)節(jié)序號；θi為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角；αi為關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)角；di為連桿偏距；ai為桿長，其中θi是變量，其值可由安裝在軸端的編碼器測得。

逐個相鄰關(guān)節(jié)變換矩陣連乘后，再乘以測頭偏置(lx，ly，lz，1)T，就可得到末端測頭中心在基坐標(biāo)系下的坐標(biāo)P(x，y，z，1)T。

(2)

式中，lx、ly、lz為測頭中心在第6關(guān)節(jié)坐標(biāo)系中的位置。

圖2 關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的坐標(biāo)系統(tǒng)圖Figure 2. Coordinate systems of the articulated arm coordinate measuring machine

1.2 運(yùn)動學(xué)誤差模型

測頭末端誤差ΔP主要由運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差(Δdi，Δαi，Δai，Δθi)和末端測頭偏置誤差Δlx、Δly、Δlz所決定。其中，Δdi反映桿件長度誤差，Δαi是關(guān)節(jié)長度誤差，Δαi是角度誤差，Δθi是關(guān)節(jié)零位偏差。在6個坐標(biāo)系中，每個坐標(biāo)系有4個待辨識的運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差，再加上測頭偏置誤差，則共有27個運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差需要辨識。由于運(yùn)動學(xué)參數(shù)的誤差較小，從而可得到如式(3)所示的帶誤差的坐標(biāo)變換矩陣[12]。在式(3)所示的所有運(yùn)動學(xué)參數(shù)中，只有關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi是變量，其余的運(yùn)動學(xué)參數(shù)以及27個待辨識的運(yùn)動學(xué)參數(shù)(Δdi、Δαi、Δai、Δθi、Δlx、Δly、Δlz)均為固定值。末端位置可表示為式(4)。由上述步驟即可建立運(yùn)動學(xué)誤差模型。

(3)

(4)

2 標(biāo)準(zhǔn)量桿裝置

2.1 標(biāo)準(zhǔn)量桿裝置設(shè)計

根據(jù)本實驗的需要及實際情況，設(shè)計了標(biāo)準(zhǔn)量桿裝置用于采集標(biāo)定數(shù)據(jù)點。如圖3所示，采用強(qiáng)力膠粘接標(biāo)準(zhǔn)量桿裝置下面的支撐底座，以便進(jìn)行穩(wěn)定的支撐及固定，支撐底座則通過螺釘連接于實驗臺上。標(biāo)準(zhǔn)量桿上面布置有4個不等距的錐臺，通過圓弧與其相切并用強(qiáng)力膠緊密粘接。

圖3 標(biāo)準(zhǔn)量桿裝置Figure 3. Standard measuring rod device

錐臺上有凹進(jìn)去的梯形孔，梯形孔內(nèi)底部可粘貼銣磁鐵，吸附錐臺中心用于采集數(shù)據(jù)的末端測頭、靶球等。錐臺內(nèi)孔邊緣有均布的3個等徑小球，用于與關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)測頭進(jìn)行接觸，進(jìn)而實現(xiàn)數(shù)據(jù)點采集，如圖4所示。

圖4 錐臺部分組成圖Figure 4. Partial composition diagram of conical table

由于關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)屬于高精密儀器，其精度一般為幾十微米，因此所制作的標(biāo)準(zhǔn)量桿裝置在使用時必須保證其高精度及穩(wěn)定性。標(biāo)準(zhǔn)量桿采用碳纖維材料，具有高強(qiáng)度、穩(wěn)定性、耐高溫等優(yōu)點，不會隨環(huán)境溫度的改變而產(chǎn)生形變。

通過建立的三維模型對標(biāo)準(zhǔn)量桿裝置進(jìn)行有限元分析：固定兩端支撐底板，對中間錐臺部分施加50 N的力，分析其標(biāo)準(zhǔn)量桿裝置的形變情況，結(jié)果如圖5所示。可以看到，中間撓度最大的位置形變量為0.002 mm，比關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的精度高一個數(shù)量級，因此可認(rèn)為設(shè)計的標(biāo)準(zhǔn)量桿裝置滿足標(biāo)定的使用要求。

圖5 標(biāo)準(zhǔn)量桿裝置形變分析Figure 5. Deformation analysis of standard rod device

將設(shè)計的標(biāo)準(zhǔn)量桿裝置各部分零件進(jìn)行加工，再進(jìn)行各部分零件的組裝。為保證標(biāo)準(zhǔn)量桿的高精度，要讓標(biāo)準(zhǔn)量桿4個錐臺上表面共面，且錐臺中心共線。在微米級精度的大理石臺上進(jìn)行錐臺與標(biāo)準(zhǔn)量桿的粘接，將4個錐臺上表面倒放在大理石臺上，保證4個錐臺共面。將4個錐臺靠在一根固定的高精度方形鋁合金長條上，大致按設(shè)計的不等距位置擺放好。將標(biāo)準(zhǔn)量桿放上錐臺，并調(diào)整好錐臺圓形凹槽的位置。然后另一根方形鋁合金長條貼緊固定，以保證4個錐臺中心位于同一直線。隨后，用焊接膠將錐臺粘接到標(biāo)準(zhǔn)量桿上，如圖6所示。

圖6 標(biāo)準(zhǔn)量桿粘接Figure 6. Standard measuring rod bonding

待錐臺粘接穩(wěn)固之后，再將標(biāo)準(zhǔn)量桿放到兩支撐底座上，調(diào)整好位置，用焊接膠進(jìn)行粘接。待粘接穩(wěn)固后，即可將標(biāo)準(zhǔn)量桿裝置按實驗臺上預(yù)定的孔位與兩連接板用螺釘連接，安裝到實驗臺上。再將3個等徑均布的高精度小球粘在4個錐臺內(nèi)孔邊緣的3個槽內(nèi)，即完成整個標(biāo)準(zhǔn)量桿裝置的裝配。裝配后的整體效果如圖7所示。

圖7 標(biāo)準(zhǔn)量桿整體裝配Figure 7. Standard measuring rod assembling

2.2 錐臺間標(biāo)準(zhǔn)距離測量

在裝置搭建好之后，需要知道4個錐臺各自間的真實距離，方便后續(xù)標(biāo)定實驗。在粘接錐臺過程中只是大致按設(shè)計距離進(jìn)行調(diào)整，并不知道各自錐臺中心的真實距離，因此需要通過外部測量設(shè)備來進(jìn)行測量，以此確定錐臺之間的距離。

采用美國自動精密工程公司的激光跟蹤儀R-20 Radian，通過與靶球配合測量空間中各點位在激光跟蹤儀下的位置信息，以此來計算各點間的距離。將激光跟蹤儀靶球安放到4個錐臺上，可獲得4個靶球的球心位置，如圖8所示。因為4個錐臺錐孔的中心共線，且4個錐臺上表面共面，靶球放在錐臺中心孔與3個均布等徑小球接觸，且錐臺梯形孔內(nèi)銣磁鐵對其有緊密吸附作用，激光跟蹤儀可獲得4個靶球的坐標(biāo)。此外，4個靶球的中心也在同一直線上，且與錐臺中心直線平行。因此，各靶球中心的距離即為錐臺錐孔中心的距離。距離計算原理如圖9所示。

圖8 激光跟蹤儀測量靶球坐標(biāo)Figure 8. Measurement of spherical center coordinates by laser tracker

圖9 距離計算原理圖Figure 9. Distance calculation principle

通過激光跟蹤儀對靶球坐標(biāo)進(jìn)行測量，可得到靶球中心的坐標(biāo)，如表1所示。由此可計算各錐臺錐孔中心的標(biāo)準(zhǔn)距離D1～D6，如表2所示。通過激光跟蹤儀測量的距離精度為±0.1 μm，比關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的精度高兩個數(shù)量級，滿足其標(biāo)定使用需求。

表1 靶球中心坐標(biāo)值Table 1. The center coordinate value of the target sphere /mm

表2 各錐孔中心間的標(biāo)準(zhǔn)距離Table 2. Standard distance between the center of each taper hole /mm

3 多點法標(biāo)定

根據(jù)單點重復(fù)標(biāo)定及兩點法[13-14]，本文提出一種可以同時用于提高關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)單點重復(fù)精度與距離測量精度的標(biāo)定方法，即多點標(biāo)定。標(biāo)定包括4個步驟：建模、數(shù)據(jù)采集、參數(shù)辨識、誤差補(bǔ)償，其中參數(shù)辨識是最重要的環(huán)節(jié)。

將標(biāo)準(zhǔn)量桿裝置固定于實驗臺，開始進(jìn)行單點數(shù)據(jù)采集。分別在4個錐臺上采集數(shù)據(jù)點并分別保存關(guān)節(jié)角數(shù)據(jù)，再將其導(dǎo)入MATLAB寫好的程序中，用LM(Levenberg-Marquardt)算法進(jìn)行參數(shù)辨識[15]。通過4個錐臺采集的數(shù)據(jù)點，用各錐臺坐標(biāo)平均值當(dāng)做錐孔中心的真值，以此計算各錐臺之間的距離D′，再與標(biāo)準(zhǔn)距離D通過最小二乘左除，得到同比放縮系數(shù)K，對長度參數(shù)進(jìn)行放縮[16]。

(5)

式中，a、d、l分別表示關(guān)節(jié)長度、連桿長度及測頭偏置；a′、d′、l′表示相對應(yīng)同比例放縮之后的長度參數(shù)。將參數(shù)標(biāo)識后的角度參數(shù)及放縮后的長度參數(shù)填入控制器中，即對運(yùn)動學(xué)參數(shù)進(jìn)行補(bǔ)償，至此完成整個標(biāo)定過程。

參數(shù)辨識前后的誤差如圖10和圖11所示。標(biāo)定前后的測量距離與誤差對比如表3所示。標(biāo)定前后的運(yùn)動學(xué)參數(shù)如表4和表5所示。

圖10 辨識前的單點重復(fù)誤差圖Figure 10. Single point repetition error graph before identification

圖11 辨識后的單點重復(fù)誤差圖Figure 11. Single point repetition error graph after identification

表3 標(biāo)定前后距離及誤差對比Table 3. Distance and error comparison before and after calibration /mm

表4 標(biāo)定前的運(yùn)動學(xué)參數(shù)值Table 4. Kinematics parameter value before calibration

表5 標(biāo)定后的運(yùn)動學(xué)參數(shù)值Table 5. Kinematics parameter value after calibration

由圖10和圖11可看到，標(biāo)定前的單點重復(fù)誤差為0.09 mm，標(biāo)定后為0.05 mm。由表3可知，標(biāo)定前距離誤差為0.529 mm，標(biāo)定后為0.046 9 mm，整個關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的精度得到了提升。

4 結(jié)束語

傳統(tǒng)的標(biāo)定方法多為按單點重復(fù)標(biāo)定及距離標(biāo)定順序分步進(jìn)行，步驟多，耗時長。本文通過分析影響末端精度的運(yùn)動學(xué)參數(shù)，建立了運(yùn)動學(xué)誤差模型。本文設(shè)計制作了標(biāo)準(zhǔn)量桿裝置，通過各零件的設(shè)計配合以及激光跟蹤儀的精確測量，獲得標(biāo)準(zhǔn)量桿各錐臺間的標(biāo)準(zhǔn)距離。

本文采用多點標(biāo)定方法，用關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)在標(biāo)準(zhǔn)量桿裝置上進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，通過采集的數(shù)據(jù)對關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的運(yùn)動學(xué)參數(shù)進(jìn)行參數(shù)辨識及同比例放縮，將辨識后及放縮后的運(yùn)動學(xué)參數(shù)填入控制器中，同時對關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)進(jìn)行單點重復(fù)標(biāo)定及距離標(biāo)定。實驗結(jié)果顯示，多點標(biāo)定方法有效提高了關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的測量精度，改善了目前標(biāo)定效率低且步驟繁瑣的現(xiàn)狀，具有較好的應(yīng)用前景。