楊軍，朱宏偉，劉志棟

(1.蘭州空間技術(shù)物理研究所,蘭州 730000;2.真空技術(shù)與物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730000)

0 引言

基于射頻囚禁阱的離子微波鐘在體積、穩(wěn)定度、漂移率和可靠性等方面具有明顯優(yōu)勢，已成為量子精密測量技術(shù)領(lǐng)域的一個研究熱點(diǎn)。星載汞離子微波鐘可具備氣泡型銣原子鐘的體積、主動型氫原子鐘和磁選態(tài)銫原子鐘的性能，以其優(yōu)良性能和高可靠性，有望用于深空探測和下一代全球?qū)Ш蕉ㄎ幌到y(tǒng)[1-2]。

目前，國內(nèi)外有多家單位正在開展汞離子微波鐘的相關(guān)研究工作，相較而言，美國JPL(Jet Propulsion Laboratory)噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室[3-9]在汞離子微波鐘的研制方面處于國際領(lǐng)先水平。2019年JPL實(shí)驗(yàn)室首次在國際上將汞離子微波鐘發(fā)射到了太空，并開展了為期1年的深空原了鐘(DSAC)任務(wù)演示驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證其單向?qū)Ш降目刹僮餍院陀行?，?jīng)在軌數(shù)據(jù)分析表明：汞離子鐘的在軌頻率穩(wěn)定度為(3～5)×10-15/1 d，頻率漂移率為3.0(0.7)×10-16/1 d[9]。該汞離子鐘在物理設(shè)計上采用四極阱與十六極阱相串聯(lián)而成的兩級分區(qū)式離子阱結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定囚禁汞離子和抑制二階多普勒頻移的目的。其中，四極阱用于離子制備和熒光探測等，十六極阱用于離子儲存和微波作用，通過控制阱區(qū)間的電壓可實(shí)現(xiàn)離子在兩區(qū)間的穿梭運(yùn)動。

關(guān)于這種設(shè)計的技術(shù)優(yōu)勢，JPL實(shí)驗(yàn)室[10]利用多極阱中離子數(shù)密度沿徑向分布的物理模型，通過分析四極阱和十二極阱中離子云分布對二階多普勒頻移大小的影響而得出。該模型對于研究線型離子阱中離子云的規(guī)律，設(shè)計和優(yōu)化用于離子鐘的高性能離子阱有重要作用，國內(nèi)中國科學(xué)院武漢物理與數(shù)學(xué)研究所[11]基于該模型開展了有關(guān)汞離子微波鐘的研究工作。同時，該模型的運(yùn)算量小，成本低，在基于多極阱的離子鐘的先期研發(fā)階段，可免去數(shù)值求解Mathieu動力學(xué)方程，尤其3D建模仿真(可采用Simion、Comsol軟件等)帶來的復(fù)雜要求[12-13]。

綜上所述，盡管建立精確的多極阱中囚禁離子的動力方程或仿真模型，研究離子行為和優(yōu)化阱機(jī)電參數(shù)更為直觀，但采用離子數(shù)密度模型設(shè)計離子阱的途徑，其性價比更高。本文在離子數(shù)密度分布模型基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深入研究了多極阱中的離子云與空間電荷效應(yīng)、二階多普勒頻移之間的關(guān)系。

1 多極阱中離子數(shù)密度的徑向分布模型

對于由2k個電極構(gòu)成的多極離子阱，囚禁質(zhì)量為m，帶電量為q的離子時，其阱內(nèi)的電勢場形式極為復(fù)雜，為簡化引入贗電勢并等效為[10]

(1)

當(dāng)阱中離子溫度為T，徑向總囚禁勢為φ(r)時，徑向離子數(shù)密度服從玻爾茲曼分布:

(2)

式(2)中,n(0)為阱中心軸線上的電荷密度，φ(r)=V*(r)+qφsc(r)為總囚禁電勢，φsc(r)為空間電荷勢,且由泊松方程描述為

(3)

研究表明，徑向的離子數(shù)密度分布滿足二階微分方程[10]：

(4)

圖1 四極阱與十六極阱結(jié)構(gòu)圖示

2 模型數(shù)值求解算法與計算程序

2.1 微分方程數(shù)值分析算法

對于如下初值問題的二階微分方程

(5)

令y′=z后可化為一階微分方程組

(6)

二階微分方程可采用經(jīng)典龍格-庫塔法數(shù)值分析方法進(jìn)行求解，其形式為

(7)

式(7)中：

(8)

令y=n(r),x=r,z=y′，二階微分方程(4)將化為如下形式的一階微分方程:

2014年，青海水利工作將深入貫徹黨的十八大、十八屆三中全會和青海省十二次黨代會精神，緊緊圍繞加快水利改革發(fā)展主線和提高服務(wù)保障能力主題，努力實(shí)現(xiàn)全省水利發(fā)展“投資規(guī)模有增長、發(fā)展速度有提升、管理水平有提高、體制機(jī)制有活力、行業(yè)建設(shè)有形象”五大目標(biāo)，為建設(shè)新青海、創(chuàng)造新生活提供水利保障。

(9)

即方程組(6)中所述f(x,y,z)表達(dá)式為

(10)

考慮參數(shù)取值后，如圖2所示，代入算法進(jìn)行迭代計算即可求出n(r)。

圖2 數(shù)值求解流程圖

2.2 參數(shù)取值與計算程序

取k等于2、4、6和8，用于分析和討論四極阱和多極阱中徑向的離子數(shù)密度分布及其對二階多普勒頻移的影響。為使得研究具有參考性并保證離子穩(wěn)定囚禁，主要離子囚禁參數(shù)取值如表1所示，同時引入絕熱近似限制[10]:η<0.3。根據(jù)該模型成立條件，可推得對應(yīng)Mathieu方程第一穩(wěn)定區(qū)參數(shù)限制為：an=0,qn<0.3。在此基礎(chǔ)上，給出了運(yùn)算初始值，采用Matlab軟件編程并運(yùn)行了數(shù)值計算程序。

表1 離子囚禁參數(shù)取值

3 結(jié)果與討論

3.1 離子囚禁參數(shù)對離子云的影響

根據(jù)表1參數(shù)取值，當(dāng)取四極阱和多極阱中囚禁相同的離子數(shù)NL時(根據(jù)計算對應(yīng)阱中心的離子數(shù)密度n(0)不同)，數(shù)值結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯觯S著電極數(shù)目2k的增加，離子阱中的離子云致密度逐漸降低，其中四極阱中的汞離子分布最為集中，而位于多極阱中的汞離子分布較為均勻。經(jīng)分析，盡管兩種阱的阱區(qū)半徑相同，但造成這種現(xiàn)象的主要原因在于離子阱中的電勢分布不同所致。如圖示4所示，對比四極阱，多極阱內(nèi)的勢阱平緩且寬，并隨著電極數(shù)目增加，多極阱產(chǎn)生的贗電勢(圖4(a))、空間電荷勢(圖4(b))和總囚禁電勢(圖4(c))的勢阱深度逐漸變深，其寬度也逐漸變寬，結(jié)果離子云越來越分散，離子數(shù)密度不斷降低。

圖3 四極阱與多極阱中的離子數(shù)密度分布

圖4 四極阱與多極阱中的電勢分布

另外，從圖4中發(fā)現(xiàn)四極阱和十六極阱具有相同的勢阱深度，由于離子數(shù)密度和阱寬均不同，意味著后者具備囚禁更多離子數(shù)的能力。為此，取四極阱和多極阱在其阱中心的離子數(shù)密度相同，計算了相應(yīng)的勢阱深度和囚禁離子的數(shù)目，見圖5所示。從圖5可知，電極數(shù)目2k從4增加到16時，離子阱囚禁的相對離子數(shù)依次為1、1.57、1.98和2.28，而對應(yīng)相對總勢阱深度分別為1、0.43、0.62和0.98，這說明多極阱的勢阱深度雖然沒有四極阱的勢阱深度深，但其具有囚禁更多離子的能力。例如，在上述參數(shù)設(shè)置中，十六極阱的勢阱深度約等于四極阱的勢阱深度，為0.98倍，但其囚禁離子的數(shù)目卻是四極阱囚禁離子數(shù)目的2.28倍。

圖5 四極阱與多極阱囚禁的離子數(shù)

從圖4(b)和圖4(c)中發(fā)現(xiàn)，空間電荷勢對勢阱的結(jié)構(gòu)起到了一定的調(diào)制作用，而研究表明空間電荷勢的大小與阱中囚禁離子的數(shù)目密切相關(guān)[5-6]。為了分析清楚離子數(shù)目對空間電荷勢和離子云形態(tài)的影響機(jī)制，進(jìn)一步在圖3參數(shù)取值的基礎(chǔ)上(即仍保持四極阱和多極阱中囚禁的離子數(shù)目相同)，只是將離子數(shù)擴(kuò)大100倍，結(jié)果發(fā)現(xiàn)離子云形態(tài)發(fā)生了明顯變化，主要現(xiàn)象如圖6所示?？梢钥闯?，離子數(shù)密度分布與所示圖3中囚禁較少離子數(shù)的情況不同:①盡管離子數(shù)增加導(dǎo)致離子云分布區(qū)域發(fā)生了變化，但四極阱中離子數(shù)密度分布曲線形態(tài)未發(fā)生變化，離子數(shù)密度最大的位置仍舊在離子阱中心位置；②囚禁離子數(shù)較多時，四極阱和多極阱中離子分布較為分散，這是由于當(dāng)離子數(shù)增加時，離子間的庫侖相互作用增強(qiáng)，即空間電荷效應(yīng)明顯，使離子向阱邊緣匯聚所致；③多極阱中，其阱中心的離子數(shù)密度反而降低，靠近阱邊緣區(qū)域的離子數(shù)密度增大，且表現(xiàn)出了離子數(shù)密度大于阱中心離子數(shù)密度的情況。對于產(chǎn)生第三種情形的原因，從圖7(c)中可見，由于空間電荷效應(yīng)，離子阱總囚禁電勢底部發(fā)生了明顯變化，沿著徑向從阱中心到阱邊緣，總囚禁電勢分布呈現(xiàn)出先減后增的變化趨勢，即在原有平緩勢阱底部形成了一個小勢阱(這與低離子密度時圖4(c)中的情形不同)，結(jié)果離子大量匯聚在此處。圖8給出了離子數(shù)密度峰值與總囚禁電勢谷值之間的關(guān)系，其中離子數(shù)密度峰值對應(yīng)圖6，總囚禁電勢谷值對應(yīng)圖7(c)，可以看出離子云峰值出現(xiàn)的位置恰好與總電勢谷值出現(xiàn)的位置相對應(yīng)。

圖6 四極阱與多極阱中的離子數(shù)密度分布

圖7 四極阱與多極阱中的電勢分布

圖8 離子數(shù)密度峰值與總囚禁電勢谷值的位置對應(yīng)關(guān)系

3.2 離子云對二階多普勒頻移的影響

對于汞離子微波鐘，二階多普勒效應(yīng)是影響準(zhǔn)確性的重要因素，由熱運(yùn)動和微運(yùn)動等引起，在絕熱近似條件下為

(11)

式(11)中，熱運(yùn)動引起的二階多普勒項(xiàng)為

(12)

微運(yùn)動引起的二階多普勒項(xiàng)為

(13)

(14)

即總的二階多普勒頻移為[10]

(15)

圖9 電極數(shù)對二階多普勒頻移的影響

圖10 電極數(shù)對離子云形態(tài)參量的影響

圖11 離子數(shù)對二階多普勒頻移的影響

4 結(jié)語

在離子穩(wěn)定囚禁條件下，基于線型多極阱中離子數(shù)密度沿徑向分布的物理模型，研究了離子云的演變規(guī)律，比對了四極阱和多極阱囚禁汞離子的電勢分布、空間電荷效應(yīng)、離子微運(yùn)動行為和二階多普勒頻移的異同。主要結(jié)論如下：

①四極阱中，勢阱既深又窄，且阱中心囚禁電勢最小，離子數(shù)密度沿著徑向呈現(xiàn)出中心密而邊緣疏的鐘形曲線分布，離子分布在阱中較小區(qū)域內(nèi)，空間電荷效應(yīng)明顯，離子微運(yùn)動引起的二階多普勒頻移較大。

②對于多極阱，隨著阱電極數(shù)目的增加，阱區(qū)內(nèi)產(chǎn)生的有效勢阱的深度增加，同時阱底部變寬，為離子在阱內(nèi)分散囚禁，由阱中心至阱電極邊緣，離子數(shù)分布較為均勻，從而降低空間電荷效應(yīng)的影響創(chuàng)造了有利條件。此外，當(dāng)阱中離子數(shù)密度較高時，空間電荷效應(yīng)增強(qiáng)，離子空間電荷勢的引入會改變多極阱勢阱底部平坦的結(jié)構(gòu)，總勢阱底部沿著徑向由阱中心至阱邊緣出現(xiàn)了小勢阱，兩邊高，中間低，導(dǎo)致離子數(shù)密度分布成兩邊疏中間密的分布形態(tài)。這種與四極阱的情況完全不同。

③根據(jù)文中算例，當(dāng)四極阱和十六極阱勢阱深度相同時，由于十六極阱的勢阱較寬，可囚禁的汞離子數(shù)目較四極阱多，且離子分散分布，彼此庫侖相互作用小，空間電荷效應(yīng)導(dǎo)致的離子微運(yùn)動較小，從而引起的二階多普勒頻移小于四極阱中離子微運(yùn)動引起的二階多普勒頻移。

④無論是四極阱還是多極阱，當(dāng)離子數(shù)目增加時，離子間的相互作用會增強(qiáng)，離子云在阱區(qū)徑向分布更廣，空間電荷效應(yīng)明顯導(dǎo)致二階多普勒頻移增大。若遇此情形，可考慮通過適當(dāng)降低離子溫度調(diào)節(jié)軸向電壓等，減小熱運(yùn)動引起的二階多普勒頻移，使其接近或小于微運(yùn)動引起的二階多普勒頻移的方法，從而降低二階多普勒頻移。