張亞妮， 薛 佳， 宋卓穎， 苗 挺， 姚一銘， 武柯欣， 陳敬梓

(陜西科技大學 文理學院， 陜西 西安 710021)

0 引言

激光(Laser，Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)由于具有良好的單色性、方向性、相干性以及超高亮度和超短脈沖等性質而被廣泛應用于各種領域，如生物醫(yī)學[1]、通信以及受控核聚變等.激光作為測距光源,因其方向性好、功率大,能夠精確地測量極遠距離；激光因其良好的相干性,在通信領域獲得了廣泛應用；激光能量的可控性使其在受控核聚變的研究中占據(jù)著不可忽視的地位.1960年世界上第一臺激光器——紅寶石激光器的成功研制和半導體技術的快速發(fā)展,使得半導體激光器得到快速發(fā)展及應用.最典型的半導體激光器——半導體激光二極管的發(fā)明讓激光應用得以迅速普及,各類信息掃描、光纖通信、激光測距、激光雷達、激光唱片、激光指示等已與半導體激光二極管密不可分.在國防領域,半導體激光器作為新一代小型化、輕量化的激光載荷光源[2],也被廣泛裝備到車載或機載等機動性強的作戰(zhàn)平臺.

激光的產生需要有三個必備條件,即：具有適當能級結構的激光工作物質；使工作物質發(fā)出激光的激勵源(泵浦源)[3]以及光學諧振腔.前二者為實現(xiàn)集居數(shù)反轉進而實現(xiàn)光放大奠定了物質基礎.然而,光放大后受激輻射呈現(xiàn)的隨機性并不能獲得相位、頻率、振動方向和傳播方向均完全相同的激光束.因此,要獲得真正意義上的激光,關鍵在于光學諧振腔的選模作用[4].

光束質量是激光器的重要指標,度量激光束的聚焦程度[5].影響光束質量的主要因素是光學諧振腔的設計與選擇,光學諧振腔的形狀與設計參數(shù)對激光振蕩器的模式產生和選擇具有無可替代的作用,激光模式選擇又是提高光束質量的有效途徑.隨著對高功率、高能量、高光束質量(高亮度)激光器應用需求的快速增長,通過光學諧振腔的優(yōu)化設計及激光合束技術,實現(xiàn)千瓦、萬瓦乃至更高功率高光束質量激光輸出是激光武器發(fā)展的迫切需要.

光學諧振腔的主要作用是提供正反饋能量以及選擇光束的頻率和方向.在工作物質兩端恰當安裝兩個反射鏡片,構成開放式光學諧振腔,可從各種可能光信號中選取特定光信號進行放大.諧振腔對激光束的形成影響重大[6],諧振腔使受激輻射集中于特定方向輸出,使光束呈現(xiàn)很好的方向性；諧振腔的穩(wěn)定輸出強度和選頻作用能夠提高輸出光束的單色性.諧振腔內可能存在的激光模式按照光束方向和頻率分為橫模與縱模[7].本征模式受諧振腔的影響是由兩個反射鏡的自身性質以及間距來決定的,不同類型的諧振腔具有不同的模式選擇特性和模式結構.因此,諧振腔中激光模式的優(yōu)化對激光器性能及激光光束的改善具有重要作用[8].激光腔模式經典理論僅給出了部分簡單腔的解析解.激光技術的發(fā)展致使各種復雜的諧振腔型精彩紛呈,解析解無法滿足諧振腔的求解需求,需要采用數(shù)值仿真方法實現(xiàn)諧振腔的模式選擇.Matlab強大的數(shù)據(jù)處理和圖像擬合功能可以直觀地展示諧振腔的自再現(xiàn)模[9],為復雜諧振腔的模式優(yōu)化奠定了重要基礎.本文基于Matlab數(shù)值分析軟件,通過對各種復雜諧振腔的數(shù)值求解,模擬得到不同諧振腔內的光場模式與菲涅耳數(shù)之間的分布關系,繪制出振幅分布圖、模場分布圖及模場花樣分布圖,通過各種諧振腔模式分布圖樣的對比分析,為通過模式選擇實現(xiàn)光束質量優(yōu)化奠定基礎[10].

1 光學諧振腔結構及仿真模型

在光學諧振腔的模式分析中,菲涅耳數(shù)有著重要的調節(jié)作用.菲涅耳數(shù)是表征衍射損耗大小的物理量,菲涅爾數(shù)越大,衍射損耗越小.一般諧振腔的菲涅爾數(shù)較大時,低階模式和高階模式的衍射損耗非常接近,高階模在有限的迭代次數(shù)下不能有效地消除；而諧振腔的菲涅耳數(shù)較小時,高階模具有更高的彩色損耗,能夠有效地抑制高階模振蕩.通過選用波長為632.8nm的氦氖激光器,設計三種諧振腔型：平行平面腔、圓形共焦腔、方形共焦腔.運用Matlab數(shù)值分析軟件,通過調節(jié)腔長,改變菲涅爾數(shù)F,獲得在不同菲涅爾數(shù)下的振幅和相位分布[11]、自再現(xiàn)模平面圖、三維模場圖及模場分布花樣,最后針對不同迭代次數(shù)得到的結果進行分析,獲得形成最佳激光模式輸出的諧振腔型和參數(shù).

1.1 平行平面腔[12]

平行平面腔分為一維條形腔和二維矩形腔.

(1)一維條形腔

條形腔是一種一維理想模型,即一個方向有限長,而另一個方向上無限延伸的腔形,其只在長度有限的方向上發(fā)生衍射現(xiàn)象,其迭代公式為一維菲涅爾-基爾霍夫衍射積分：

(1)

其求解方法為將條形腔左鏡面沿著(-a,a)之間劃分N-1等分,則有N個點,每個區(qū)間為2a/(N-1).右鏡面上每一點的求解需要將左鏡面上的點逐點計算并相加,如此循環(huán)迭代下去,最終達到模式穩(wěn)態(tài)分布.

(2)二維矩形腔

圖1所示為二維矩形腔的平面示意圖,主要結構由兩個平面反射鏡對稱放置構成,圖1(a)、(b)分別為立體圖和剖面圖.

圖1 平行平面腔結構圖[13]

在矩形腔中,(x′,y′)與(x,y)連線的長度ρ可以表示為：

(2)

其求解方法通過采用分離變量法,按照x、y兩個方向把二維菲涅爾-基爾霍夫衍射積分分離為式(3)：

μ(x,y)=μ(x)μ(y)

(3)

其中的μ(x)、μ(y)計算與一維條形腔相同.選取初始場μ1(x),計算μ2(x),并將其進行歸一化,依次計算μ3(x)…直到達到模場穩(wěn)態(tài)分布.

1.2 方形鏡共焦腔

方形鏡共焦腔的平面示意圖如圖2所示,主要結構由兩個方形凹面反射鏡M1、M2對稱放置構成.圖2(a)、(b)分別為正視圖和左視圖.

圖2 方形鏡共焦腔結構圖[14] .

其中鏡長L、腔長2a與光波長λ之間需要滿足關系：

L?a?λ

(4)

且

(5)

方形鏡共焦反射鏡面中心附近,其自再現(xiàn)模的解可近似表示為厄米特多項式和高斯分布函數(shù)的乘積,即厄米——高斯(Hermitian-Gaussian)分布.厄米多項式的一般解表示為式(6)：

(6)

其中,[m/2]表示m/2的整數(shù)部分.Hermitian-Gaussian分布如式(7)：

(7)

(8)

1.3 圓形鏡共焦腔

圓形鏡共焦腔的平面示意圖如圖3所示,主要由兩個圓形凹面反射鏡對稱放置構成.圖3(a)、(b)分別為主視圖和左視圖.

圖3 圓形鏡諧振腔結構圖[15]

圓形鏡共焦腔光場模式的積分方程只討論菲涅耳數(shù)足夠大時的拉蓋爾-高斯近似解.拉蓋爾高斯光束是在腔的孔徑足夠大,即對于激光光束而言,圓形鏡的直徑無限大的情況下得到的近似光束.其解析表達式的一個特解可表示為:

(9)

然而,這只是旁軸方程的一個特解,還有很多其他形式的特解,同樣滿足旁軸方程.形如：

(10)

(11)

式(11)中：Lp(ρ)為拉蓋爾多項式[16].

基于以上菲涅爾-基爾霍夫積分公式和拉蓋爾光束討論,可以得到當諧振腔菲涅爾數(shù)N→∞,圓形鏡共焦腔的自在現(xiàn)模分布函數(shù)由下述拉蓋爾-高斯函數(shù)所描述[17]：

(12)

式(12)中：(r,φ)為鏡面上的極坐標；Cmn表示歸一化常數(shù)；與Vmn(r,φ)相應的本征值為:

(13)

2 計算結果與分析

由于光場模式受諧振腔結構的影響而發(fā)生變化,需要采用不同的數(shù)值分析方式對不同腔型進行模擬.Fox-Li數(shù)值迭代法[18]具有普適性,尤其是在計算低階模時效果更佳.因此,對上文提到的三種腔型的模式分析,可利用Fox-Li數(shù)值分析法進行求解.借助Matlab強大的數(shù)據(jù)處理[19]和圖像分析功能,研究在波長632.8 nm的氦氖激光器中,不同菲涅爾數(shù)下的振幅相位分布圖像,自再現(xiàn)模仿真平面以及三維模場圖像和模場花樣圖,最后針對不同迭代次數(shù)下的結果進行分析比較.

2.1 平行平面腔仿真結果及分析

(1)一維條形腔在不同菲涅爾數(shù)下模式的振幅和相位分布

圖4給出了一維條形腔在菲涅爾數(shù)F分別取6.25、2.5和0.5時的振幅相位分布.由圖4可以看出,隨著一維條形腔菲涅爾數(shù)的逐漸減小,場分布曲線由起伏不定趨向于平滑,迭代次數(shù)N越小,模式越容易達到穩(wěn)態(tài)分布.同時,菲涅爾數(shù)減小到0.5時,振幅分布曲線呈高斯分布,相位分布曲線與球面波的分布形狀一致.

(2)二維矩形腔在不同菲涅爾數(shù)下模式的振幅和相位分布

圖5給出了二維矩形腔在菲涅爾數(shù)分別取6.25、2.5和0.5時模式的振幅和相位分布.由圖5可以看出,二維矩形腔的模式特點主要是模場分布在整個鏡面上,說明矩形腔的衍射損耗較大；在腔鏡中心附近,矩形腔的穩(wěn)態(tài)分布特性接近于平面波；其相位分布呈球面狀.隨著菲涅爾數(shù)的減小,矩形腔的振幅和相位分布均趨于平滑,迭代次數(shù)N越小,越容易達到穩(wěn)態(tài)分布.

圖4 一維條形腔在不同菲涅爾數(shù)F和 迭代次數(shù)N下模式的振幅和相位分布

圖5 二維矩形腔在不同菲涅爾數(shù)F和 迭代次數(shù)N下模式的振幅相位分布

2.2 方形鏡共焦腔仿真結果及分析

對于方形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)分別選取6.25、2.5和0.5時的振幅一維分布、三維分布和模式光斑分布進行了系統(tǒng)模擬.

(1)方形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)F=6.25時的振幅分布

方形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)取6.25時的振幅分布和光斑分布如圖6所示.其中，圖6(a)、(b)分別為方形鏡共焦腔模式的振幅一維和三維分布圖.觀察四種模式可以看出：當m=n=0時，截面為高斯分布,三維仿真圖為空間點擴散函數(shù)；當m=0，n=1時,截面為對稱的2個高斯分布,有一個零節(jié)點在y軸方向,三維仿真圖為兩個空間點的擴散函數(shù)；當m=1,n=0時,有一個零節(jié)點在x軸方向,三維仿真圖的擴散函數(shù)同上；當m=n=1時,截面為對稱的4個高斯分布,有2個零值節(jié)點,三維仿真圖為4個空間點擴散函數(shù)；圖6(c)為方形鏡共焦腔模式的光斑圖,從圖6(c)可以看出,在F=6.25時,方形鏡共焦腔的基模較為集中,無零節(jié)點,在r=0處振幅最大,光斑體積較小；隨著m、n的增大,零節(jié)點增多,光斑呈現(xiàn)多模形式.

圖6 方形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)F=6.25時的仿真

(2)方形鏡共焦腔在菲涅耳數(shù)F=2.5時的振幅分布

方形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)取2.5時的振幅分布和光斑分布如圖7所示.其中，圖7(a)、(b)分別為方形鏡共焦腔模式振幅的三維分布和一維截面分布,圖7(c)為方形鏡共焦腔模式的光斑圖.從圖7可以看出：總體模式特征與菲涅爾數(shù)取6.25時無差別.但是,從圖7(c)可以看出,隨著菲涅耳數(shù)的減小,光斑面積較之前變大,這是由于諧振腔菲涅耳數(shù)變小時,高階模的損耗相應增加的緣故.

圖7 方形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)F=2.5時的仿真

(3) 方形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)F=0.5時的振幅分布

方形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)取0.5時的振幅分布和光斑分布如圖8所示.其中,圖8(a)、(b)分別為方形鏡共焦腔模式振幅的三維分布圖和一維截面圖,圖8(c)為方形鏡共焦腔的模式光斑圖.從圖8可以看出：總體模式特征與前兩種情況趨于一致,圖8(c)光斑圖同樣顯示隨著菲涅耳數(shù)的進一步減小,光斑面積呈現(xiàn)明顯變大趨勢,且F=0.5時模式特征與基模截面呈現(xiàn)高斯分布.

圖8 方形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)F=0.5時的仿真

總之,方形鏡共焦腔的基模截面為高斯分布,三維仿真圖為空間點擴散函數(shù),在r=0處振幅最大,無節(jié)線；高階模與基模相比,隨著m、n值的增大,零節(jié)點值越多,空間點擴散函數(shù)的個數(shù)越多,模體積越大.不同菲涅爾數(shù)下的模式光斑圖表明：菲涅爾數(shù)越小,模式光斑體積越大,表示從激活介質中提取的能量越多,發(fā)生模式振蕩時參與的粒子數(shù)越多,獲得優(yōu)質光束輸出的可能性越大.因此,適當減小菲涅爾數(shù),方形鏡共焦腔能夠獲得優(yōu)質的光束輸出,在滿足理論條件的基礎上適當選擇高階模組,則能夠獲得滿足高功率器件需求的激光模式輸出.

2.3 圓形鏡共焦腔仿真結果分析[20]

圓形鏡共焦腔亦在菲涅爾數(shù)分別選取6.25、2.5和0.5時，對其振幅分布進行了模擬.

(1)圓形鏡共焦腔在菲涅耳數(shù)F=6.25時的振幅分布

圓形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)取6.25時的振幅分布和模式光斑分布如圖9所示.其中,圖9(a)、(b)分別為圓形鏡共焦腔模式振幅的三維分布圖和一維截面圖,圖9(c)為m、n取不同值時,模式的光斑分布.從圖9可以看出：當m=n=0時，模式三維分布和一維截面分布均為高斯分布,三維仿真圖為空間點擴散(脈沖響應)函數(shù).當m=0，n=1時,與方形鏡共焦腔類似,截面為軸向對稱的2個高斯分布,三維仿真圖為2個空間點擴散函數(shù),有一個零值節(jié)點.當m=1、n=0時,截面為徑向Sa(抽樣)函數(shù)分布,其特點是在中心處取得最大值,隨著自變量絕對值的增大呈振蕩減小趨勢,最終趨近于0,三維圖像近似為衍射光斑分布,有一個零值節(jié)點.當m=n=1時,截面為軸對稱的兩個Sa函數(shù)分布,三維仿真圖近似為兩個衍射光斑分布,有兩個零值節(jié)點.圖9(c)的模式光斑圖可以看出,圓形鏡共焦腔的基模截面為高斯分布,高階模截面隨著m、n的增加呈現(xiàn)徑向衍射光斑與軸向光斑分裂交織分布,且其衍射損耗比方形鏡共焦腔更大一點.

圖9 圓形鏡共焦腔在菲涅耳數(shù)F=6.25時的仿真

(2)圓形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)F=2.5時的模式分布

圓形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)取2.5時的振幅分布和光斑分布如圖10所示.由圖10可以看出：當菲涅耳數(shù)F減小為2.5時,其模式特征與F=6.25時無差別,但其光斑圖10(c)顯示光斑面積較之前變大,這同樣與諧振腔菲涅耳數(shù)變小時,高階模的損耗相應增加相關.

(3)圓形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)F=0.5時的模式分布

圓形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)取0.5時的振幅分布和模式光斑分布如圖11所示.從圖11可以看出,F=0.5時模式特征與前兩種情況下基本趨于一致,基模截面呈現(xiàn)高斯分布狀,三維仿真圖為空間點擴散函數(shù),高階模截面圖近似為Sa函數(shù)分布,三維仿真圖近似為衍射光斑,光斑面積隨著菲涅爾數(shù)的減小而增大.

總之,圓形鏡共焦腔的基模截面呈現(xiàn)高斯分布狀,三維仿真圖為空間點擴散函數(shù),高階模截面圖近似為Sa函數(shù)分布,三維仿真圖近似為衍射光斑分布,衍射損耗介于平行平面腔和方形鏡共焦腔之間.圓形鏡共焦腔模式隨菲涅爾數(shù)的變化與方形鏡趨于一致,菲涅爾數(shù)越小,模式光斑面積越大,高階模的抑制能力越強.

圖10 圓形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)F=2.5時的仿真

圖11 圓形鏡共焦腔在菲涅耳數(shù)F=0.5時的仿真

3 結論

平行平面腔的模式特征在小菲涅爾數(shù)的情況下振幅分布為高斯分布,相位圖像呈現(xiàn)球面波狀,模式體積大、分散在整個鏡面上,說明其衍射損耗和幾何損耗較大,因此不適用于小增益情況下的激光輸出[21].方形鏡共焦腔的模式集中在鏡面中心附近,基模截面為高斯分布,三維仿真圖為空間點擴散函數(shù),在中心原點處振幅最大,無節(jié)線；高階模與基模相比,模的階數(shù)越大,零值節(jié)點越多,空間點擴散函數(shù)的個數(shù)越多,模體積越大.在高功率選模時純粹的基模無法滿足功率需求,可以從高階模中選擇更為合適的模組,其優(yōu)點在于單程損耗較小,基模更為集中,可應用于精細度要求較高的激光器.圓形鏡共焦腔基模截面呈現(xiàn)高斯分布狀,三維仿真圖為空間點擴散函數(shù),高階模截面圖近似為Sa(取樣函數(shù))分布,三維仿真圖近似為環(huán)形衍射光斑,單程損耗介于平行平面腔和方形鏡共焦腔之間.該研究為激光器諧振腔結構的優(yōu)化設計及激光器光束輸出質量的提升具有重要的指導意義.