蔡曉鋒，李春博，路祥，胡小榮

(南昌大學工程建設學院，江西 南昌 330031)

飽和黏性土在循環(huán)荷載作用下都會產生塑性變形[1]，為此，許多學者都提出了與之相應的彈塑性本構模型，如多面模型[2]、兩面模型[3]、邊界面模型[4]和次加載模型[5]等。其中，多面模型不能很好地反映棘輪效應(塑性應變的累積特性)；兩面模型不能體現曼辛效應(滯回特性)且所預測的棘輪效應過大；邊界面模型則需要判斷應力是否位于當前屈服面上，塑性模量只能通過插值法確定，且沒有對應的顯式屈服面[6]。Hashiguchi等[7-10]在金屬材料次加載面模型的基礎上，又提出了適用于土體的次加載面模型。由于模型能夠很好地滿足土體在循環(huán)荷載作用下所具有的變形非線性和光滑特性，還能較好地反映曼辛效應和棘輪效應，目前已得到一定應用[11-18]。其中，Zhou等[16]在次加載面模型和修正Druker-Prager屈服準則的基礎上提出了于巖石的動本構模型，但該準則不能反映巖土的拉壓差效應；孔亮等[17]基于廣義塑性力學，將雙屈服面模型和次加載面理論結合提出了適用于土體的動本構模型，但無法很好地反映土體的多樣性；Xu等[18]采用反向的子彈狀屈服面，提出了適用于循環(huán)加載下的砂土次加載面模型，因仍沿用修正劍橋模型的破壞應力比，故不能考慮中間主應力影響。研究者多是通過p′-q平面上的臨界狀態(tài)橢圓形屈服面方程來建立土體的本構模型，而破壞應力比M作為關鍵參數，一般是通過土的強度準則來確定。目前，針對土體的強度準則有Druker-Prager準則、Mohr-Coulomb準則、Lade準則、SMP準則、雙剪統(tǒng)一屈服準則和臨界狀態(tài)橢圓屈服準則等。這些準則各有各的不足，例如Mohr-Coulomb準則不能反映中間主應力效應，Lade準則不能反映土體拉壓差效應?，F有真三軸試驗表明，飽和黏性土的力學特性在很大程度上取決于中間主應力[19]。而三剪統(tǒng)一強度準則可體現土體強度的區(qū)間效應、拉壓差效應和中間主應力效應[20-21]，并且通過改變中主應力影響系數可對其他任何準則作非線性逼近。三剪統(tǒng)一強度準則已被應用于分析單調加載作用下的不同土體的力學特性分析[22-24]，還與邊界面模型理論相結合應用于單調、循環(huán)荷載力學特性分析[25-26]。

本文采用三剪統(tǒng)一強度準則和坐標平移法推導出了能夠反映飽和黏性土的中間主應力效應、拉壓差效應和區(qū)間效應的三剪破壞應力比，并通過替換修正劍橋模型的原本破壞應力比得到正常固結飽和黏性土的三剪統(tǒng)一彈塑性本構模型，結合次加載面理論，得到適用于分析循環(huán)荷載條件下的正常固結飽和黏性土力學特性的三剪次加載面本構模型。對本文模型的3個材料參數進行敏感性分析。將飽和Kaolin黏性土和Newfield 黏性土的固結不排水動三軸試驗結果、飽和Kaolin黏性土的雙面模型計算結果與本文模型的數值模擬結果分別做了對比，驗證所提三剪次加載面模型的適用性，并對所建立的本構模型做了真三軸模擬對比分析。

1 三剪次加載面模型

1.1 三剪破壞應力比

三剪統(tǒng)一強度準則[20-21]為

(1)

q=Ap′sinφ′+Ac′cosφ′

(2)

其中，

修正劍橋模型的M為定值，在受力過程中不能很好地反映黏聚力對飽和黏性土的變形特性、中間主應力效應、應力區(qū)間效應和拉壓差效應，故采用三剪統(tǒng)一強度極限線和坐標平移法來確定破壞應力比。坐標平移法如圖1所示。

圖1 坐標平移及其破壞應力比Fig.1 Stress ratio of coordinate translation and extension failure

(3)

三剪破壞應力比為

(4)

坐標平移前后壓縮指數分別為

則有

即p′取何值，均有

(5)

其中

(6)

1.2 三剪次加載面模型各面方程

次加載面模型涉及3個重要的面：正常屈服面、次加載面(次屈服面)和相似中心面，當前應力點σ總是位于次加載面上，且在演化過程中次加載面與正常屈服面保持相似構型，兩者具有一個相似中心S，該相似中心總是位于正常屈服面內側。

1.2.1 三剪正常屈服面方程

正常屈服面方程

f(σy)=F(H)

(7)

式中：σy為當前應力狀態(tài)σ在正常屈服面上的對偶應力；H為各向同性硬化變量；F為加載屈服面；f(σy)為屈服函數。根據臨界狀態(tài)土力學，正常固結飽和黏性土的正常屈服面方程f(σy)為

(8)

(9)

1.2.2 三剪次加載面方程

由于次加載面和正常屈服面保持幾何相似，故次加載面表達式為

(10)

(11)

1.2.3 三剪相似中心面方程及相似中心演化

相似中心面方程為[7]

(12)

(13)

并結合三剪屈服面函數，可得相似中心的演化方程為

(14)

式中：C為次加載面的材料常數，且C≥0；χ為次加載面的材料常數，且0≤χ<1，且為相似中心比RS的最大值；dεp為塑性應變增量。

1.3 模型加卸載準則及相似比R的確定

按照是否發(fā)生塑性變形，次加載面模型的加卸載準則[27]如下。

(1)加載(dεp≠0)：

(15)

此時，次加載面在加載過程中不斷接近正常屈服面，相似比R也隨之增大，根據R應滿足如下條件[27]

(16)

采用Hashiguchi等[7-8]提出的相似比演化方程

dR=U‖dεp‖=-ulnR‖dεp‖

(17)

式中：U為關于R的函數；u為次加載面的材料常數。

(2)卸載(dεp=0)：

(18)

此時，次加載面變小，只產生彈性變形，相似比R也隨之減小。相似比R由三剪次加載面函數并采用Newton-Raphson法確定。三剪次加載面幾何中心表達式為

(19)

將式(35)代入式(12)，可得

(20)

其中，

1.4 彈塑性剛度矩陣

(21)

式(10)和式(21)可進一步推得

(22)

由式(10)和一致性條件可得

(23)

其中，

將式(22)代入到式(23)，并根據一致性條件可得

(24)

(25)

由彈塑性應變的定義有

{dε}={dεe}+{dεp}

(26)

兩邊同乘以彈性模量[De]{dε}=[De]{dεe}+[De]{dεp}則有

[De]{dε}=[De]{dεe}+[De]{dεp}

(27)

由虎克定律得

{dσ′}=[De]{dεe}

(28)

由塑性位勢理論得

(29)

式中：Λ為非負塑性因子。將式(26)和式(29)代入式(28)得

(30)

對屈服函數求微分得

(31)

將式(30)代入式(31)得

(32)

將式(32)代入式(30)，得矩陣形式表示的彈塑性本構關系式為

(33)

式中：Kp為塑性模量。彈塑性剛度矩陣為

(34)

2 模型參數的確定及其影響

正常固結飽和黏性土的三剪次加載面本構模型共有9個模型參數：E，ν，c′，φ′，θ，b，u，C，χ。前6個參數同時決定了正常屈服面、次加載面和相似中心面的大小和位置變化，控制著模型預測結果的基本走向。后3個參數則是通過控制次加載面和相似中心面的演化速度來描述加卸載過程中的滯回圈大小以及累計塑性應變。其中，傳統(tǒng)屈服面的本構模型參數可由常規(guī)三軸試驗獲得，b值可根據中間主應力的影響程度進行確定。次加載面則有u，C，χ3個特有本構模型參數，u是控制次加載面向正常屈服面貼近的速率參數，可由中等變形速率的應力-應變曲線的斜率初步確定，并加以修正。C的大小則影響著滯回曲線的寬度，也控制著曼辛系數的大小。χ是最大相似中心面與正常屈服面的比值，其值不超過1。從增量方程的本質可知各參數間存在一定耦合關系，因此，針對試驗結果可選擇采用試錯法初步確定，再進行調整，直至能合理地擬合土體的應力應變關系?？紤]到目前針對正常固結飽和黏性土的次加載面模型理論成果較少，故有必要針對次加載面模型的3個特有參數作進一步分析。

采用Li等[28]所使用的飽和Kaolin黏土土性參數，分別改變次加載面的特有參數u，C，χ值，其原始值分別設為500，100，1。以此來討論3個模型材料常數對應力應變關系曲線的影響，結果如圖2所示。

由圖2(a)可知，參數u與飽和黏性土的塑性模量有關，u值越大，塑性模量也隨之增大，但u值接近于無窮大時，塑性模量與彈性模量相當，即該模型與傳統(tǒng)的彈塑性模量一致；相反，u值越小，塑性模量則越小，產生的累積塑性應變也越大，滯回圈的大小也相應地增大。由圖2(b)可知，參數C對塑性模量的影響與u相似，但對于累積塑性應變、滯回圈大小相比于u的影響要小一些。由圖2(c)可知，參數χ對飽和黏性土的應力應變關系曲線影響較小，其值越大，對應的累計塑性應變也相對較大一些。

3 動三軸文獻試驗驗證

Li等[28]建立了循環(huán)荷載作用下的飽和黏性土兩面模型，并做了飽和Kaolin黏土在圍壓p=450 kPa、動應力幅值qd=116 kPa的常規(guī)動三軸固結排水試驗驗證。為驗證所提本構模型的正確性，采用其所得試驗結果、雙面模型模擬結果與本文模型模擬結果進行對比。對于次加載面模型的3個參數采用試錯法，首先根據試驗結果的應力-應變關系曲線的斜率初步確定u為300，再對C進行調整，得到擬合較好的應力-應變曲線位置，通過擬合發(fā)現C為370時擬合效果較好。通過敏感性分析發(fā)現χ的大小關系對循環(huán)荷載下的應力應變關系影響并不明顯，考慮到相似中心面在實際試驗中相比正常屈服面偏小，故設為0.9。對比結果如圖3所示。

εq(a) 參數u影響分析

εq(b) 參數C影響分析

εq(c) 參數χ影響分析圖2 次加載面模型參數分析Fig.2 Parameter analysis of subloading surface model

由圖3(a)可知，本文所提模型的應力應變關系模擬結果與試驗結果吻合較好，隨著循環(huán)次數的不斷增加，所建模型的模擬結果不斷產生累計塑性應變，且能夠形成滯回圈，與雙面模型模擬結果相比更接近試驗結果。由圖3(b)可知，在剛開始循環(huán)時模擬結果的孔隙水壓力相對試驗結果偏小，但隨著循環(huán)次數的增加，試驗結果與模型模擬結果越來越接近，隨著循環(huán)次數的增加，孔隙水壓力不斷變大，產生累計孔隙水壓力。表明三剪次加載面模型相較于雙面模型能更好地預測試驗結果，進一步說明了本文模型的優(yōu)勢所在。

εq(a) q-εq

N(b) u-N圖3 試驗數據、雙面模型與本文模型模擬結果對比Fig.3 Experimental data are compared with the simulation results of the model

采用Sangrey等[29]所做的Newfield黏土固結不排水動三軸試驗結果與本文所提本構模型進行對比，試驗土樣孔隙比e0= 0.62，圍壓p=393 kPa，動應力幅值qd=180 kPa。同理模型參數u，C，χ分別取為80，120，0.9。對比結果如圖4所示。

由圖4(a)可知，模型模擬結果在初始加載階段相對試驗結果偏大，但隨著后續(xù)的不斷加載卸載，其累積偏應變與剪應力的關系不斷接近試驗結果，且滯回圈不斷變密集，說明本文所提模型能較好地反映飽和黏性土的曼辛效應、棘輪效應以及應力應變曲線的非線性的特點。由圖4(b)可知，在剛開始循環(huán)時模擬結果的孔隙水壓力相對試驗結果偏小，但隨著循環(huán)次數的增加，兩者越來越接近。

4 動真三軸試驗模擬

在真三軸壓縮條件下，研究飽和黏性土的力學特性，除了可進行真三軸試驗外，將被常規(guī)三軸試驗驗證了的本構模型應用于真三軸數值模擬及其影響因素分析也是可行的。模擬應力路徑為：(1)固結排水條件下對六面體單元的3個方向同時施加σ3′；(2)固結完成后一個σ3′保持不變，其余方向應力增至σ2′，固結排水；(3)取一個σ2′不變，另一方向應力逐漸增加到σ1′，固結不排水。以振動幅度qd進行循環(huán)加卸載模擬。

εq(a) q-εq

εq(b) u-εq圖4 試驗數據與模型模擬結果對比Fig.4 Experimental data are compared with the simulation results of the model

真三軸循環(huán)加載模擬試驗取用Li等[28]飽和Kaolin黏性土的土性參數，中間主應力影響系數b=0.5，為便于對比，次加載面理論的特有參數u，C，χ保持不變，即分別為300，0.9，370。真三軸循環(huán)加載模擬試驗方案見表1。

表1 真三軸循環(huán)加載模擬試驗方案Tab.1 True triaxial cyclic loading simulation test scheme

根據實驗方案進行模擬實驗，在單一變量下，考察改變最小主應力、中間主應力，分別會對土體產生何種影響。模擬數值結果如圖5和圖6所示。

εq(a) (σ1-σ2)-εq

N(b) u-N圖5 中間主應力影響Fig.5 Effect of intermediate principal stress

εq(a) (σ1-σ2)-εq

N(b) u-N圖6 最小主應力影響Fig.6 Influence of minimum principal stress

由圖5和圖6可知，正常固結飽和黏性土的塑性偏應變在加載前期發(fā)展較快，之后相對減??；單一變量下，分別增大最小主應力和中間主應力，均會增大土體的抗剪強度。局限于模型參數可能并不準確，且由于未調整次加載面參數，所以其滯回圈模擬并不理想。另外，限于試驗條件，真三軸條件下的次加載面模型參數的試驗研究還需作進一步努力。

5 結論

將三剪破壞應力比替換修正劍橋模型的破壞應力比，從而得到三剪統(tǒng)一彈塑性本構模型。結合次加載面理論，得到適用循環(huán)荷載條件下的三剪次加載面模型，對比分析了次加載面的3個模型參數，做了飽和Kaolin黏土和Newfield 黏土的固結不排水動三軸文獻試驗驗證，采用飽和Kaolin黏土進行循環(huán)真三軸數值模擬。結果如下：

(1) 所提出的三剪破壞應力比有效克服了原修正劍橋模型中破壞應力比為定值的不足，還能反映飽和黏性土黏聚力與全應力狀態(tài)下土體的應力應變特性的影響。

(2) 所建立的三剪次加載面模型均能較好反映飽和黏性土的中間主應力效應、拉壓差效應和區(qū)間效應，可用于飽和黏性土在單調和循環(huán)荷載作用下的彈塑性分析。

(3) 以飽和Kaolin黏性土為試驗研究對象進行次加載面特有參數影響分析，結果表明模型參數χ基本上不影響飽和黏性土應力應變的加載斜率，只是輕微影響滯回圈的大小及累積塑性應變；參數C影響著飽和黏性土的塑性模量，C值越大，塑性模量越大，但C值接近于無窮大時，該模型與傳統(tǒng)的彈塑性模量一致；參數u對塑性模量的影響與參數C類似，只是u的影響比C的影響要大。

(4) 采用飽和Kaolin黏土、雙面模型模擬結果和Newfield 黏土固結不排水動三軸試驗分別與所建模型進行比較，結果表明本文模型在循環(huán)荷載下有較好的預測能力，與文獻[28]的雙面模型模擬結果相比更接近真實試驗數據。隨著循環(huán)次數的不斷增加，所建模型的模擬結果能不斷產生累計塑性應變和累積孔隙水壓力，且能夠形成滯回圈。

(5) 對飽和Kaolin黏土進行循環(huán)荷載下真三軸模擬試驗驗證，結果表明最小主應力或中間主應力均與土體的抗剪強度呈正相關關系。但是孔隙水壓力隨著最小主應力或中間主應力的增加而減小。