李崢彬，錢寧偉，肖奉英，沈逸舟，黃模佳

(南昌大學(xué)工程力學(xué)系，江西 南昌 330031)

彈簧常用于機(jī)械系統(tǒng)中，尤其在汽車懸架方面應(yīng)用廣泛，彈簧的剛度、強(qiáng)度、穩(wěn)定性對機(jī)構(gòu)整體的安全性起著重要作用[1-5]。錐形螺旋彈簧具有結(jié)構(gòu)緊湊、穩(wěn)定性好的優(yōu)點(diǎn)，能夠減振和承受較大的荷載，但目前國內(nèi)外對錐形螺旋彈簧剛度的研究還不夠全面，還沒有考慮彈簧絲傾斜度及彈簧徑徑比(即，彈簧絲直徑d和錐形螺旋彈簧圈最大半徑R1之比d/R1)影響的彈簧剛度表達(dá)式。Mohazzabi[6]研究了扭轉(zhuǎn)和純剪切對圓柱螺旋彈簧剛度的貢獻(xiàn)的公式，發(fā)現(xiàn)剪切變形對彈簧剛度的貢獻(xiàn)度與彈簧徑徑比有關(guān)；文獻(xiàn)[7]的研究結(jié)果表明，當(dāng)螺旋彈簧的螺旋角α>9°時(shí)，需要考慮螺旋角及彎矩變形對彈簧剛度的影響。張健等[8]在彈簧剛度分析中考慮了彈簧絲彎曲變形對彈簧剛度的影響，但未考慮彈簧絲剪切變形對彈簧剛度的影響。張功學(xué)等[9]研究了彈簧絲在扭矩和彎矩作業(yè)下錐形螺旋彈簧絲橫截面上的應(yīng)力分布。利用有限元軟件研究彈簧剛度已經(jīng)成為一種較為常用的研究方法和驗(yàn)證方式，朱勛等[10]通過ABAQUS有限元軟件將彈簧經(jīng)典理論公式[11]與Ancker[12]提出的彈簧表達(dá)式進(jìn)行了對比分析；周凱林等[13]利用ANSYS得到的有限元結(jié)果和理論解進(jìn)行對比，最大誤差僅為5%；鐘文彬等[14]利用ANSYS和Pro/E的轉(zhuǎn)換接口，將彈簧三維實(shí)體模型導(dǎo)入進(jìn)行有限元仿真計(jì)算。

到目前為止，考慮彈簧絲傾斜度和彈簧徑徑比效應(yīng)的錐形螺旋彈簧剛度計(jì)算式還未給出。利用能量法，給出彈簧絲在組合(扭、彎、剪、拉壓)變形的變形能，利用外力功等于彈簧絲組合變形能，推導(dǎo)出包含彈簧絲傾斜度和彈簧徑徑比效應(yīng)的錐形螺旋彈簧剛度計(jì)算式，比較了彈簧絲的扭轉(zhuǎn)變形、彎曲變形、剪切變形和拉壓變形對錐形螺旋彈簧剛度的貢獻(xiàn)量及其與彈簧絲傾斜度和彈簧徑徑比的關(guān)系。采用三維有限元數(shù)值仿真可以給出錐形螺旋彈簧變形與力之間的關(guān)系，本文推導(dǎo)的考慮彈簧絲傾斜度及彈簧徑徑比效應(yīng)的錐形螺旋彈簧剛度表達(dá)式的計(jì)算值與有限元結(jié)果十分吻合；因此，本文給出錐形螺旋彈簧剛度計(jì)算式對錐形螺旋彈簧的工程設(shè)計(jì)和應(yīng)用具有指導(dǎo)意義。

1 錐形螺旋彈簧的幾何參數(shù)

結(jié)構(gòu)緊湊、穩(wěn)定性好的錐形螺旋彈簧常用來承受較大荷載或減振，錐形螺旋彈簧剛度的經(jīng)典計(jì)算式[11]為

(1)

式中：G為彈簧絲材料的剪切模量；d為彈簧絲直徑；n為彈簧圈數(shù)(沿彈簧軸線從起點(diǎn)開始每轉(zhuǎn)過2π為一圈，n不一定為整數(shù))；R1為錐形螺旋壓縮彈簧一端的最大半徑；R2為另一端的最小半徑；幾何參數(shù)示意圖如圖1。

圖1 錐形螺旋彈簧幾何示意圖Fig.1 Geometric sketch of conical coil spring

假設(shè)錐形螺旋彈簧的彈簧絲長為L，錐形螺旋彈簧的彈簧絲展開后為直線，直線的傾斜度為κ；即

(2)

式中：α為彈簧絲的傾斜角；κ稱為彈簧絲的傾斜度；h為錐形螺旋彈簧的高度。進(jìn)一步假設(shè)錐形螺旋彈簧的彈簧圈半徑R(θ)從R1到R2隨角度θ線性變化；即

(3)

其中

(4)

稱為錐形螺旋彈簧的錐度參數(shù)。

在空間坐標(biāo)系中，錐形螺旋彈簧的彈簧絲截面形心線上任一點(diǎn)參數(shù)坐標(biāo)為

x=R(θ)cosθ,y=R(θ)sinθ,z=κS(θ)

(5)

其中S(θ)為彈簧絲從θ=0到θ的彈簧長度，顯然，我們有S(2nπ)=L(n為錐形螺旋彈簧的圈數(shù))。

式(5)給出的彈簧絲微段長度dS滿足

(6)

在式(6)中，可以僅保留錐度參數(shù)η的線性項(xiàng)，根據(jù)式(4)中的η2?1，得

(7)

結(jié)合式(7)與式(4)，將彈簧絲微段dS在彈簧絲全長上積分，得彈簧絲長度L與彈簧半徑和彈簧絲傾斜度κ的關(guān)系為

(8)

2 包含彈簧絲扭轉(zhuǎn)、彎曲、剪切、軸向變形能效應(yīng)的錐形螺旋彈簧剛度

2.1 錐形螺旋彈簧的剛度

彈簧受到荷載作用時(shí)彈簧絲承受的軸力相對很小，由軸力引起的彈簧絲長度L的改變可以忽略不計(jì)；因此，根據(jù)式(2)，錐形螺旋彈簧在拉壓荷載P作用下，錐形螺旋彈簧載荷與變形量的關(guān)系為

P=KΔh=KLΔκ,P=KLζ

(9)

這里K為錐形螺旋彈簧的剛度，ζ為傾斜度的變化量。

ζ=Δκ

(10)

在經(jīng)典表達(dá)式(1)中，錐形螺旋彈簧剛度K由彈簧圈數(shù)n、彈簧圈的最大半徑R1和最小半徑R2、彈簧材料的剪切模量G、彈簧線徑d參數(shù)決定；但經(jīng)典表達(dá)式(1)中沒有包含彈簧絲傾斜度κ和彈簧徑徑比d/R1對錐形螺旋彈簧剛度的影響。

2.2 彈簧作用力與彈簧絲承受的扭矩、彎矩、剪力及軸力的關(guān)系式推導(dǎo)

錐形螺旋彈簧的一端固定，另一端受荷載P作用于彈簧圈正中心，將荷載P平移到彈簧絲橫截面中心等效成為力P和力矩PR。根據(jù)式(3)和式(9)可知等效力系中的力矩

PR=KLζR1(1-ηθ)

(11)

對作用于彈簧絲橫截面上的力P和力矩PR分解，將力P沿著彈簧螺旋線方向和垂直方向投影分別得軸力N和剪力Q，同理，將力矩PR等效分解為扭矩T和彎矩M；具體的受力分析如圖2(a)、(b)所示。

(a)

(b)圖2 錐形螺旋彈簧受力圖及彈簧絲橫截面受力圖Fig.2 Force diagram of Conical coil spring and cross section force diagram of spring wire

利用式(2)和式(9)～式(11)，可得錐形螺旋彈簧橫截面上的扭矩、彎矩、剪力和軸力的表達(dá)式

(12)

M=PRsinα=KLζR1(1-ηθ)κ

(13)

(14)

N=Psinα=KLζκ

(15)

2.3 彈簧絲組合變形能與外力功的求解

錐形螺旋彈簧受荷載P時(shí)產(chǎn)生的變形能全部積蓄在彈簧絲內(nèi)；將式(12)～式(15)代入以下能量計(jì)算表達(dá)式，得彈簧絲內(nèi)的扭轉(zhuǎn)變形能UT、彎曲變形能UM、剪切變形能UQ和軸向變形能UN

(16)

(17)

(18)

(19)

荷載P在錐形螺旋彈簧拉壓變形Δh上所做的功WP為

(20)

荷載P所做的功WP等于彈簧絲的組合變形能；即

WP=UT+UM+UQ+UN

(21)

2.4 考慮傾斜度及徑徑比的錐形螺旋彈簧剛度表達(dá)式

材料拉壓彈性模量與剪切彈性模量的關(guān)系為E=2G(1+ν)，聯(lián)立式(16)～式(21)，得錐形螺旋彈簧剛度表達(dá)式

(22)

彈簧剛度K主要由彈簧絲扭轉(zhuǎn)變形、彎曲變形、剪切變形、軸向變形的能力影響；彈簧絲的扭轉(zhuǎn)變形最易產(chǎn)生，扭轉(zhuǎn)變形能最大；彈簧絲的軸向拉壓變形最難發(fā)生，拉壓變形能最小，彈簧絲的長度改變量可以忽略不計(jì)。

彈簧的變形主要來自彈簧絲的扭轉(zhuǎn)變形；利用外力做功等于彈簧絲的扭轉(zhuǎn)變形能(即，WP=UT)，得錐形螺旋彈簧的扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算式

(23)

若不考慮錐形螺旋彈簧絲傾斜度的效應(yīng)，取κ=0并將式(4)代入式(23)，得僅考慮扭轉(zhuǎn)變形能且不考慮彈簧絲傾斜度的錐形螺旋彈簧剛度表達(dá)式

(24)

式(23)的退化表達(dá)式(24)與錐形螺旋彈簧剛度經(jīng)典表達(dá)式(1)完全一致。

由于式(4)中的η2?1，將式(22)對錐度參數(shù)η進(jìn)行泰勒展開，僅保留η的線性項(xiàng)，最終得到考慮彈簧絲傾斜度及彈簧徑徑比效應(yīng)的錐形螺旋彈簧剛度計(jì)算式

K=Kγ(1+γM+γQ+γN)+
ηKλ(1+λM+λQ+λN)

(25)

(26)

η的線性項(xiàng)為彈簧錐度參數(shù)的影響項(xiàng)；當(dāng)η=0，式(25)退化為圓柱螺旋彈簧的剛度計(jì)算式；當(dāng)η≠0，式(25)為錐形螺旋彈簧的剛度計(jì)算表達(dá)式；彈簧絲的軸力變形對彈簧剛度的影響很小，γN和λN的效應(yīng)可以忽略不計(jì)。在式(26)中，γM和λM是彈簧絲的彎曲變形對彈簧剛度的影響系數(shù)，考慮了彈簧絲傾斜度對錐形螺旋彈簧剛度的效應(yīng)；在式(26)中，γQ和λQ為彈簧絲的剪切變形對彈簧剛度的影響系數(shù)，考慮了彈簧徑徑比對錐形螺旋彈簧剛度的效應(yīng)。

3 錐形螺旋彈簧案例計(jì)算

根據(jù)第2節(jié)得到的考慮彈簧絲傾斜度及彈簧徑徑比效應(yīng)的錐形螺旋彈簧剛度計(jì)算式進(jìn)行案例計(jì)算，分析不同影響系數(shù)下彈簧剛度的變化，為了較為直觀地比較彈簧絲傾斜度及彈簧徑徑比對彈簧剛度的影響，案例以表格的形式對錐形螺旋彈簧進(jìn)行分析。

主要計(jì)算兩類錐形螺旋彈簧：粗錐形螺旋彈簧如圖3(a)所示，細(xì)錐形螺旋彈簧如圖3(b)。

當(dāng)彈簧絲直徑與彈簧圈最大半徑的比值大于0.3時(shí)，彈簧相對較粗，比值小于0.3時(shí)，彈簧相對較細(xì)?？偣灿?jì)算了12個案例，所有彈簧取同種材質(zhì)，泊松比ν取0.3，圈數(shù)均為n=5，彈簧圈最大半徑R1=0.030 m，最小半徑R2=0.020 m，彈簧案例的具體計(jì)算結(jié)果如表1所示。

根據(jù)表1，比較案例1，4，7，10可知，當(dāng)彈簧徑徑比相同時(shí)，彈簧絲傾斜度越大，彎矩變形對錐形螺旋彈簧剛度的影響也越大，傾斜度κ=0.4時(shí)，彎矩變形對錐形螺旋彈簧剛度的影響效應(yīng)高達(dá)14.65%。比較案例1，2，3可知，當(dāng)彈簧絲傾斜度相同時(shí)，彈簧徑徑比越大，剪切變形對錐形螺旋彈簧剛度的影響逐漸增加，徑徑比d/R1=0.4時(shí)，剪切變形的影響效應(yīng)達(dá)到了3.70%。由此可見，當(dāng)彈簧絲傾斜度和彈簧絲徑徑比較大時(shí)，由彈簧絲傾斜度引起的彎矩變形能影響效應(yīng)和彈簧徑徑比引起的剪切變形能影響效應(yīng)不能忽略。

(a)粗錐形螺旋彈簧

(b)細(xì)錐形螺旋彈簧

表1 錐形螺旋彈簧案例結(jié)果比較Tab.1 Comparison of spring case results

4 有限元仿真分析和驗(yàn)證

為了驗(yàn)證推導(dǎo)出的表達(dá)式計(jì)算結(jié)果的精確度，參考前人的研究成果，利用Solidworks軟件對錐形螺旋彈簧進(jìn)行建模，并用ANSYS Workbench軟件對彈簧模型進(jìn)行有限元分析計(jì)算。

為了研究彈簧絲傾斜度κ和彈簧徑徑比d/R1對錐形螺旋彈簧剛度的影響，建模時(shí)控制傾斜度κ和彈簧絲直徑d兩個參數(shù)的變化，其他參數(shù)R1=0.035 mm、R2=0.025 mm、n=5、ν=0.3、E=208 GPa保持不變；將裝配好的彈簧模型導(dǎo)入Workbench，定義彈簧材料的屬性，設(shè)置接觸和網(wǎng)格精度之后，在彈簧頂部正中心施加位移荷載P并設(shè)定大小，最后對模型進(jìn)行運(yùn)算。

依照上述方法，總共計(jì)算并提取了12個模型的有限元結(jié)果，將有限元結(jié)果分別與經(jīng)典表達(dá)式(式(1))和式(25)進(jìn)行比較，相關(guān)的比較結(jié)果如表2所示。

從表2中可以看出，考慮了彈簧絲傾斜度和彈簧徑徑比效應(yīng)的錐形螺旋彈簧剛度計(jì)算表達(dá)式得出的剛度值與有限元結(jié)果之間的誤差基本在1%以內(nèi)，結(jié)果精確。觀察傾斜度較大、彈簧絲較粗的12號彈簧，考慮了彈簧絲傾斜度和彈簧徑徑比效應(yīng)之后誤差降低了7%，其他傾斜度較大、彈簧絲較粗的錐形螺旋彈簧的剛度的誤差也能降低3%～6%。

由此可見，選擇本文推導(dǎo)出的錐形螺旋彈簧剛度表達(dá)式來計(jì)算彈簧剛度能夠更好地降低誤差、提高精度。

5 結(jié)論

利用能量法，考慮組合變形(扭、彎、剪、拉壓)的變形能對彈簧剛度的影響，推導(dǎo)出了新的錐形螺旋彈簧剛度計(jì)算表達(dá)式，進(jìn)行了有限元仿真計(jì)算并與之對比驗(yàn)證，得到如下結(jié)論：

(1)本文給出了考慮彈簧絲傾斜度及彈簧徑徑比效應(yīng)的錐形螺旋彈簧剛度計(jì)算式，該表達(dá)式更具有一般性，該錐形螺旋彈簧表達(dá)式可退化為圓柱螺旋彈簧剛度計(jì)算式，也可退化為錐形螺旋彈簧剛度的經(jīng)典表達(dá)式。

(2)本文推導(dǎo)的錐形螺旋彈簧剛度表達(dá)式計(jì)算出的剛度和有限元結(jié)果，均證明彈簧絲傾斜度和彈簧徑徑比對彈簧剛度具有一定的影響。當(dāng)彈簧絲傾斜度較大時(shí)，彈簧絲的彎曲變形對錐形螺旋彈簧剛度的影響較大；當(dāng)彈簧絲較粗時(shí)，彈簧絲的剪切變形對錐形螺旋彈簧影響不能忽略；彈簧絲的拉壓變形對錐形螺旋彈簧剛度的影響很小，可以忽略。

(3)將本文推導(dǎo)出的表達(dá)式計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果進(jìn)行對比，數(shù)據(jù)吻合好，誤差小，驗(yàn)證了本文推導(dǎo)出的錐形螺旋彈簧剛度表達(dá)式的正確性和精度，可供錐形螺旋彈簧的工程設(shè)計(jì)和應(yīng)用參考。