勾股定理的實(shí)際應(yīng)用及變式研究

李亞麗

【摘要】勾股定理是初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)且重要的知識點(diǎn)，在解決初中幾何問題中發(fā)揮了巨大作用.勾股定理實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型非常多，有三角形模型、梯形模型等.接下來就從課本中的一道原型題出發(fā)，研究勾股定理如何應(yīng)用于實(shí)際問題中.

【關(guān)鍵詞】勾股定理;初中數(shù)學(xué);幾何問題

原型

如圖1所示是一個(gè)滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，試求滑道AC的長.

解 設(shè)滑道AC的長度為xm，則AB的長度為xm，AE的長度為（x-1）m.

在Rt△ACE中，∠AEC=90°，

由勾股定理得AE2+CE2=AC2，

即（x-1）2+32=x2，解得x=5，

故滑道AC的長度為5m.

變式1

旗桿頂端綁住的繩子下垂至地面，且此時(shí)發(fā)現(xiàn)地面上還有繩長2米.小明想知道旗桿的高度，于是拿著繩子末端往前走，將繩子拉直后發(fā)現(xiàn)他距離旗桿8米，試求旗桿的高度.

分析 根據(jù)題意可將問題轉(zhuǎn)化為圖2，可在水平線上取BC=8米，并連接AC，于是構(gòu)造出了一個(gè)直角三角形.然后，根據(jù)原型題的啟發(fā)，需要在直角三角形中運(yùn)用勾股定理列方程，用“數(shù)”的方式解決這一幾何問題.

解 設(shè)AB=xm，則AC=（x+2）m，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，

即 x2+82=（x+2）2，解得x=15，

故旗桿AB的長度為15m.

變式2

旗桿頂端綁住繩子下垂至地面，繩子末端正好接觸地面.小明想知道旗桿的高度，于是他手拿繩子末端往前走，當(dāng)他距離旗桿8米時(shí)，他拿著繩子末端的手正好向上舉得最高，已知小明舉手時(shí)整個(gè)高度為2米.試求旗桿的高度.

分析 根據(jù)題意可將“小明拿著繩子末端的手正好向上舉得最高”轉(zhuǎn)化為圖3中的線段FC，所以FC=2米.與變式1不同的是，變式1構(gòu)造的直角三角形可直接使用勾股定理列方程，而變式2構(gòu)造直角三角形之后，還需要將AE轉(zhuǎn)變?yōu)锳B-BE，即AE-FC.具體解題過程如下：

解 設(shè)旗桿AB高度為x米，所以AF=x米.

因?yàn)镕C=BE=2米，

所以AE=AB-BE=（x-2）米，

在Rt△AEF中，∠AEF=90°，由勾股定理得AE2+EF2=AF2，

即 （x-2）2+82=x2，解得x=17，

故旗桿AB的長度為17m.

變式3

小華常在一條河的河邊散步，一天他想測量這條河有多深，但是身邊沒有任何工具.這時(shí)，他拾起路旁的一根直的樹枝，將它插入離岸邊大約12拃的地方，目測樹枝超出水面約4拃.接著，他將樹枝拉向岸邊，讓樹枝頂端恰好與水面平齊，這時(shí)他自信地說“我終于知道這條河有多深了”.聰明的你，知道小華這樣做的原理嗎？

分析 這是一個(gè)非常具有生活情景的數(shù)學(xué)問題，所以首先應(yīng)將生活化的問題用構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法轉(zhuǎn)化，如圖4所示.不難看出，在圖4中構(gòu)建出了一個(gè)直角三角形，然后在此三角形中利用勾股定理列方程并解出.

解 設(shè)水深x拃，那么樹枝長（x+4）拃.

因?yàn)锽E=BG，所以BG=（x+4）拃.

在Rt△BDG中，∠BDG=90°，由勾股定理得BD2+DG2=BG2，

即：（x+4）2=x2+122，解得x=16，

故水深16拃.

變式4

有個(gè)一水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形.在水池正中央有一朵剛盛開的荷花，它高出水面1尺.這時(shí)岸邊吹來一陣風(fēng)，把荷花吹向了岸邊，荷花的頂端剛好到達(dá)岸邊的水面.請問：這個(gè)水池的深度和荷花的長度各是多少？

分析 本題和變式3有幾分相似，但不同之處在于：第一，EG是AB的中垂線;第二，本題不僅要求水深，而且要求荷花的長度.從圖形來看，本題構(gòu)造出的依然是“三角形模型”，所以仍按照“三角形模型”解，即利用勾股定理列方程并解出.

解 設(shè)水深x尺，那么荷花長（x+1）尺.

因?yàn)镋G=EC，所以EC=（x+1）尺.

在Rt△EFC中，∠EFC=90°，由勾股定理得EF2+FC2=EC2，

即（x+1）2=x2+52，解得x=12，

所以荷花的長度為x+1=12+1=13（尺），

故水深12尺，荷花的長度是13尺.

通過對原型題和幾道變式題的分析及解題過程對比，在利用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)，通常按照如下思路進(jìn)行：

首先，“轉(zhuǎn)”，就是將生活化的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.實(shí)際生活中處處有數(shù)學(xué)，但要解決這些問題都應(yīng)先將生活化的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并畫出相應(yīng)的圖形.這一點(diǎn)相對較難，但作為解決實(shí)際問題的第一個(gè)環(huán)節(jié)必須克服.所以，教師在平時(shí)授課時(shí)，可多從生活中引入實(shí)例，然后讓學(xué)生畫出圖形將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，經(jīng)此訓(xùn)練后學(xué)生逐漸提高了繪圖能力和分析問題、解決問題的能力.

其次，“構(gòu)”，就是在圖中根據(jù)需要構(gòu)造出直角三角形.

最后，“列”，就是根據(jù)解題需要利用勾股定理列方程.在該環(huán)節(jié)中，無論是“三角形模型”，還是“梯形模型”，都要先確保三角形為直角三角形，因?yàn)橹挥性谥苯侨切沃胁拍苁褂霉垂啥ɡ?然后，將關(guān)系式列出，再代入相關(guān)數(shù)據(jù)列方程并解出，否則極易出錯(cuò).

參考文獻(xiàn)：

[1]用勾股定理切拼正方形[J].房四寶.中學(xué)生數(shù)學(xué).2012（12）

[2]勾股定理的一種證明方法[J].劉洺琛，李穎.中學(xué)生數(shù)學(xué).2013（22）

[3]勾股定理解題的“高光時(shí)刻”[J].華騰飛.中學(xué)生數(shù)理化（八年級數(shù)學(xué)）（配合人教社教材）.2021（Z2）

[4]運(yùn)用變式教學(xué)進(jìn)行勾股定理的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].梁艷云，涂愛玲.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊.2016（05）

[5]《勾股定理》中例題、習(xí)題的變式學(xué)習(xí)[J].張文娣.中學(xué)生數(shù)理化（八年級數(shù)學(xué)）（配合人教社教材）.2015（Z1）

[6]“勾股定理”課本習(xí)題變式檢測[J].劉東升.中學(xué)生數(shù)理化（八年級數(shù)學(xué)）（配合人教社教材）.2019（03）