陳 陣，李元松，楊毛毛，陶文華，占森方

(武漢工程大學 土木工程與建筑學院，湖北 武漢 430073)

0 前 言

拉-壓桿模型是由桁架模型發(fā)展來的一種針對混凝土構(gòu)件中應力擾動區(qū)設計的一種類桁架模型的配筋計算方法。它的主要原理是通過由拉桿、壓桿和節(jié)點三部分組成的理想桁架來近似模擬混凝土結(jié)構(gòu)中力的傳遞路徑，進而對結(jié)構(gòu)進行配筋設計[1]。從最初的Monier采用箍筋加固結(jié)構(gòu)，從平面桁架模型到軟化桁架模型，拉-壓桿模型配筋方法不斷地發(fā)展完善，逐漸成為了一種被廣泛接受使用的混凝土結(jié)構(gòu)設計方法[2-3]，現(xiàn)已被多個國家納入規(guī)范體系中。常見的拉-壓桿模型構(gòu)建方法有傳統(tǒng)經(jīng)驗法、應力跡線法、荷載路徑法、拓撲優(yōu)化法等[4-5]。拉-壓桿模型由于只需滿足平衡條件和屈服準則，不需考慮固體力學中的應變協(xié)調(diào)，因此對于一個給定的問題，拉-壓桿模型的構(gòu)形并不唯一，這也是傳統(tǒng)經(jīng)驗法與應力跡線法等方法建立的拉-壓桿模型的正確性常常受限于設計人員的直覺和經(jīng)驗的原因。

拓撲優(yōu)化法的應用使得這一現(xiàn)狀發(fā)生了轉(zhuǎn)變，設計人員可以通過拓撲優(yōu)化結(jié)果構(gòu)建拉-壓桿模型，這大大減少了傳統(tǒng)經(jīng)驗方法中人為因素的干擾[6]。常見的優(yōu)化方法包括變密度法、水平集法等方法[7-8]。此類拓撲優(yōu)化方法為隱式求解法，求解結(jié)果都是基于像素或是基于節(jié)點的，因此結(jié)果邊界模糊，具有棋盤格現(xiàn)象，在此基礎上構(gòu)建拉-壓桿模型也不夠準確，大連理工大學郭旭教授及其團隊通過多年的研究提出了一種基于可移動變形組件(moving morphable components，簡稱MMC)的拓撲優(yōu)化方法。作為一種顯式的拓撲優(yōu)化方法，該方法的基本思想是將組件作為表達結(jié)構(gòu)拓撲的基本單元，通過組件的移動、變形、交叉和重疊來模擬結(jié)構(gòu)拓撲的變化，從而得到最優(yōu)的拓撲[9-11]。由于MMC法拓撲優(yōu)化是基于組件而不是單元，因此設計變量更少求解效率更高，另一方面組件是通過顯示拓撲函數(shù)描述，優(yōu)化后的結(jié)果邊界清晰，不存在灰度單元，可以直接由拓撲優(yōu)化結(jié)果構(gòu)建拉-壓桿模型，減少了設計者的參與和修改。喬文正等[12-13]對基MMC法構(gòu)建拉-壓桿模型做出了系列的研究，對牛腿、開洞深梁等構(gòu)建了相應的模型。

本文對MMC拓撲優(yōu)化法的原理與優(yōu)化步驟等進行歸納介紹，并以某一深梁為研究對象，基于可移動變形組件框架，利用有限元分析和靈敏度分析求解設計域的結(jié)構(gòu)場，更新設計變量，通過求解體積約束下柔度最小的優(yōu)化問題，得到最佳拓撲優(yōu)化結(jié)果并構(gòu)建深梁的拉-壓桿模型并通過Abaqus軟件優(yōu)化進行對比。以某一深梁的實例驗證了基于MMC拓撲優(yōu)化法構(gòu)建拉-壓桿模型的可行性與簡便性。

1 MMC法優(yōu)化原理

1.1 優(yōu)化原理

以往的拓撲優(yōu)化方法例如水平集法、SIMP法等，其原理都是通過材料將整個結(jié)構(gòu)填充，然后通過不斷迭代去除非必要的部分來實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化，由于它們自身的優(yōu)化特性，優(yōu)化結(jié)果往往是基于像素或是水平集函數(shù)隱式描述的。MMC法基本思想是用一些可以移動、變形的組件作為結(jié)構(gòu)拓撲的基本單元，在MMC框架下，組件可以自由地移動、覆蓋、融合和消失，因此可以通過改變其幾何特征參數(shù)，和施加在結(jié)構(gòu)上相應的工況進行優(yōu)化，得到結(jié)構(gòu)的最佳拓撲結(jié)果，其結(jié)果邊界清晰明了，有助于設計人員進一步設計工作。

1.2 結(jié)構(gòu)拓撲函數(shù)描述

每個組件的描述方程都是顯示的，可以由變量x，y通過一定函數(shù)關系表達[12]，此處給出結(jié)構(gòu)拓撲函數(shù)，采用二次變厚度組件作為結(jié)構(gòu)基本單元，如圖1所示。

圖1 組件結(jié)構(gòu)示意圖

(1)

(2)

(3)

式中，L為組件在x′方向上的半長；(x0,y0)表示第i個組件中心點的坐標;θi表示第i個組件沿逆時針方向的角度；p是一個比較大的偶數(shù)，一般取p= 6，t1i,t2i,t3i表示第i個組件二次變化的3個寬度；組件的設計變量可以表示為di=(xoi,yoi,Li,t1i,t2i,t3i,θi)。

2 MMC法拓撲優(yōu)化設計流程

在確定結(jié)構(gòu)大小、邊界條件以及荷載狀況下，以結(jié)構(gòu)柔度最小為目標，結(jié)構(gòu)體積為約束，通過MMC拓撲優(yōu)化法建立優(yōu)化模型，以有限元和靈敏度進行準確的數(shù)值分析，采用可移動漸進線算法(MMA算法)更新設計變量，求解拓撲優(yōu)化數(shù)學模型的算法流程如圖2所示。

圖2 MMC拓撲優(yōu)化程序設計流程圖

3 數(shù)值算例

深梁作為典型的不符合平截面假定的一類鋼筋混凝土構(gòu)件，選擇一深梁作為實例進行優(yōu)化。本文的研究是在張維聲[11]研究基礎上進行的，假設結(jié)構(gòu)處于平面應力狀態(tài)，幾何、材料及荷載等參數(shù)均采用無量綱形式，厚度取單位1，材料彈性模量E為1，泊松比v為0.3，加載大小均為單位荷載。構(gòu)建的拉-壓桿模型中，拉桿為實線、壓桿為虛線。

深梁梁高取1.0 m，寬取1.0 m，梁上作用荷載F為100 kN，網(wǎng)格劃分為50×50，材料體積分數(shù)約束上限為0.4，深梁結(jié)構(gòu)及對應荷載情況下的拉-壓桿模型如圖3所示?；贛MC拓撲優(yōu)化與Abaqus拓撲優(yōu)化進行對比。

(a)單荷載深梁

3.1 單荷載下深梁

圖4為單荷載下深梁優(yōu)化網(wǎng)格與結(jié)果，在MMC的優(yōu)化過程中，初始布局選擇8個組件，設計變量個數(shù)為56個。伴隨著迭代次數(shù)的增加，這些組件通過移動、膨脹、收縮、相交和重疊來實現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓撲的變化，最終達到收斂要求。從圖中的優(yōu)化過程可以發(fā)現(xiàn)MMC優(yōu)化過程清晰明了、邊界光滑、求解效率快，沒有Abaqus優(yōu)化方法結(jié)果導致的模糊粗糙邊界。優(yōu)化結(jié)果為深梁中部所受荷載通過兩個壓桿傳遞到支座處，支座上方形成一根拉桿將兩根壓桿連接。

(a)MMC初始布局圖

(c)MMC拓撲優(yōu)化結(jié)果

3.2 多荷載下深梁

圖5為受多荷載的深梁優(yōu)化過程。同理，在多荷載作用下深梁的MMC的優(yōu)化過程中，初始設計為32個組件，設計變量數(shù)為224個，通過設計變量不斷更新，最終達到目標收斂要求，收斂結(jié)果見圖5(a)。MMC拓撲優(yōu)化結(jié)果清晰，設計者可以清晰明了，設計者可從拓撲優(yōu)化結(jié)果中建立起結(jié)構(gòu)相應的拉-壓桿模型。荷載向下通過壓桿傳遞到支座處，中間與下部區(qū)域存在拉桿保證橫向平衡。

而在Abaqus拓撲優(yōu)化結(jié)果中，圖4(d)與圖5(b)可以清晰看到在靠近深梁底部處，無論是單荷載或是多荷載下，在深梁下部都缺少相應的底部拉桿，造成這種結(jié)果的原因是多種的，此處不進行討論。而基于MMC拓撲優(yōu)化法卻沒有這種現(xiàn)象，可以直接通過結(jié)果構(gòu)建拉-壓桿模型，這十分方便設計者去構(gòu)建結(jié)構(gòu)的拉-壓桿模型。但在MMC法中，組件的數(shù)量、大小及設置的循環(huán)次數(shù)等都會對結(jié)果產(chǎn)生較大影響，其中組件數(shù)量的影響最為關鍵，使用MMC法時要選擇合適的組件數(shù)量。

(a)MMC優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié) 論

本文介紹了MMC法的優(yōu)化原理以及優(yōu)化步驟，通過將MMC拓撲優(yōu)化法應用于深梁這一典型不符合平截面假定的構(gòu)件，研究了基于單荷載和多個荷載情況下深梁拉-壓桿模型的構(gòu)建，并將基于MMC法與Abaqus優(yōu)化建立拉-壓桿模型進行對比得出以下的結(jié)論。

1)基于MMC拓撲優(yōu)化方法應用于拉-壓桿模型構(gòu)建是可行的。

2)MMC法作為顯式的拓撲優(yōu)化方法，克服了隱式求解方法存在的中間密度單元，邊界鋸齒化等問題，拉-壓桿模型邊界光滑。

3)基于MMC法構(gòu)建拉-壓桿模型去除了單元格的影響，優(yōu)化結(jié)果可直接作為結(jié)構(gòu)相應拉-壓桿模型，但使用時要注意組件的合理配置，而基于Abaqus所建立的拉-壓桿模型需要設計者更多的完善，基于MMC法構(gòu)建拉-壓桿模型更加方便設計者工作。

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