姜 濤，曲詩健，孫佳偉

(中車大連電力牽引研發(fā)中心有限公司，遼寧 大連 116052)

0 引 言

近年來，隨著稀土永磁材料的發(fā)展，永磁電機應用越來越廣泛。永磁電機具有高轉(zhuǎn)矩密度、高效率、高功率因數(shù)等優(yōu)點[1]，滿足了現(xiàn)代高性能伺服系統(tǒng)對寬調(diào)速范圍、低速大轉(zhuǎn)矩、穩(wěn)定性好與快速動態(tài)響應的要求。但齒槽轉(zhuǎn)矩是導致永磁電機轉(zhuǎn)矩脈動的主要原因之一[2]，影響伺服電機控制精度，所以永磁伺服電機齒槽轉(zhuǎn)矩的抑制尤為重要。

齒槽轉(zhuǎn)矩是永磁體與定子齒之間相互吸引產(chǎn)生的[3]?，F(xiàn)有文獻提出了各種各樣齒槽轉(zhuǎn)矩抑制方法，但絕大多數(shù)是以理想模型為基礎(chǔ)的理論分析與仿真計算，并未計及批量生產(chǎn)中可能存在的加工誤差。包括定子參數(shù)優(yōu)化的定子斜槽、不等槽口寬、定子齒開虛槽等方法，轉(zhuǎn)子參數(shù)優(yōu)化的優(yōu)化極靴深度、轉(zhuǎn)子斜極、優(yōu)化極弧系數(shù)、磁極分段移位、磁極采用不對稱角度、采用不等極弧系數(shù)等方法[4-11]，都是基于理想模型的。

計及加工誤差后，齒槽轉(zhuǎn)矩為兩部分的疊加，第一部分為理想模型的齒槽轉(zhuǎn)矩TNHC(Native Harmonic Components, NHC),另一部分為加工誤差產(chǎn)生的額外齒槽轉(zhuǎn)矩TAHC(Additional Harmonic Components, AHC)[12]，TAHC的產(chǎn)生導致文獻[4-11]中的齒槽轉(zhuǎn)矩抑制方法理論與實際區(qū)別較大。文獻[13]定義了一個與槽數(shù)和極數(shù)有關(guān)的參數(shù)F，用來衡量TAHC對加工誤差的敏感度。文獻[14-15]研究了相同極性永磁體沿同一方向位移誤差、單個定子齒誤差和單個槽口寬誤差對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響規(guī)律，但是沒有考慮加工誤差的隨機性。文獻[16]為了加快有限元的計算速度，將N極和S極永磁體(Permanent Magnet，PM)分別取相鄰的一半作為一個單元，并對只考慮這個單元永磁體的電機進行有限元仿真，將齒槽轉(zhuǎn)矩計算結(jié)果進行位移疊加得到最終的齒槽轉(zhuǎn)矩，但只能針對理想模型。文獻[17]從泊松方程和拉普拉斯方程出發(fā)，推導考慮加工誤差的齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型，模型計算結(jié)果與有限元算法接近，但計算推導過程較為復雜。然而，以上文獻均未分析齒槽轉(zhuǎn)矩對各加工誤差的敏感性以及加工誤差對齒槽轉(zhuǎn)矩概率分布的影響。

本文首先采用能量法建立解析模型，分別計算單一加工誤差對齒槽轉(zhuǎn)矩頻譜的影響規(guī)律，以此判斷對齒槽轉(zhuǎn)矩影響最大的誤差種類，指出了齒槽轉(zhuǎn)矩實際與理論差距大的本質(zhì)原因。再基于蒙特卡羅方法，結(jié)合有限元仿真軟件，計算同時考慮所有加工誤差后的齒槽轉(zhuǎn)矩概率密度分布，以此預測量產(chǎn)電機齒槽轉(zhuǎn)矩合格率。并且采用定子沖片循環(huán)旋轉(zhuǎn)方法較好地抑制了定子側(cè)誤差產(chǎn)生的TAHC，同時進行了理論論證，得到了沖片依次旋轉(zhuǎn)一個槽時齒槽轉(zhuǎn)矩抑制效果最好的結(jié)論。最后，用實驗驗證了本文齒槽轉(zhuǎn)矩分析抑制方法的可行性。

1 能量法模型

1.1 理想模型

根據(jù)能量法，齒槽轉(zhuǎn)矩等于電樞繞組不通電時，永磁電機內(nèi)部能量對定轉(zhuǎn)子相對位置角的負導數(shù)。忽略定轉(zhuǎn)子鐵心中的能量，只考慮氣隙和永磁體中的能量[18]，齒槽轉(zhuǎn)矩為

(1)

(2)

如圖1所示，假定θ=0位置為指定的兩個永磁體中心線，α為某一指定的定子槽中心線和θ=0位置所夾角度，即定轉(zhuǎn)子相對位置角。

圖1 永磁體與電樞相對位置

圖2 的分布

圖3 定子槽中磁力線路徑

永磁體對著定子槽的位置，假定槽中磁力線以四分之一圓弧路徑進入定子齒，圓弧半徑Rs等于磁力線進入位置到定子齒頂點的距離，氣隙長度δ等于物理氣隙δ0加上以Rs為半徑的四分之一圓弧長度[19]。電機齒槽分布均勻，G2(θ,α)在周向上的分布如圖4所示，So為槽口寬對應的機械角度。將式(4)帶入式(2)，可得G2(θ,α)傅里葉展開如式:

圖4 G2(q,α)的分布

(3)

(4)

(5)

將式(3)、式(5)帶入式(1)可得：

(6)

式中，La為電機鐵心軸向長度，R1和R2分別為轉(zhuǎn)子外半徑和定子內(nèi)半徑，z為槽數(shù)，p為極對數(shù)，q為使得qz/(2p)為整數(shù)的整數(shù)

1.2 非理想模型

電機批量生產(chǎn)中，即使微小的誤差，也可能造成齒槽轉(zhuǎn)矩成倍增長。后文采用定子沖片循環(huán)旋轉(zhuǎn)方法，能較好地抑制定子側(cè)誤差對TAHC的影響，故此處僅分析轉(zhuǎn)子側(cè)永磁體充磁、厚度、寬度、周向位置等誤差對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。

(7)

(8)

(9)

(10)

式中,m=n=q′z，q′為正整數(shù)。相比于式(6)新增了槽數(shù)倍數(shù)次齒槽轉(zhuǎn)矩諧波。

1.3 加工誤差敏感性分析

假定每塊永磁體都各不相同，對于12槽10極電機來說，每塊永磁體都將產(chǎn)生12次齒槽轉(zhuǎn)矩諧波?；?2次諧波和相鄰永磁體機械角度(36°)可以得到永磁體誤差導致的額外齒槽轉(zhuǎn)矩矢量圖[19]，如圖5所示。相鄰兩塊永磁體產(chǎn)生的12次齒槽轉(zhuǎn)矩諧波相位依次相差72°。根據(jù)該矢量圖與表5所列加工誤差的分布，可以直接得到各類誤差對齒槽轉(zhuǎn)矩影響最惡劣的情況并列于表1中。

圖5 齒槽轉(zhuǎn)矩矢量圖

表1 計算模型永磁體參數(shù)

分別考慮永磁體4種誤差，并結(jié)合表2中的電機標稱參數(shù)，代入能量法模型，算得各次諧波幅值如圖6所示。永磁體各種加工誤差都將引入槽數(shù)倍數(shù)次的齒槽轉(zhuǎn)矩諧波，并且對齒槽轉(zhuǎn)矩影響最大的誤差為永磁體周向位置誤差。即永磁體周向位置是導致齒槽轉(zhuǎn)矩理論與實際相差大的首要原因。因此，加強對永磁體周向位置加工精度，將產(chǎn)生較好的齒槽轉(zhuǎn)矩抑制效果。

圖6 各次齒槽轉(zhuǎn)矩諧波幅值

表2 電機標稱參數(shù)

2 有限元模型

2.1 理想模型

本文針對一個12槽10極的表貼式永磁伺服電機進行研究分析，電機標稱參數(shù)列在表2中，拓撲結(jié)構(gòu)如圖7所示。有限元計算的理想模型齒槽轉(zhuǎn)矩波形及頻譜如圖8所示。在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的360°機械角度內(nèi)，齒槽轉(zhuǎn)矩周期性變化，變化周期數(shù)為槽數(shù)與極數(shù)的最小公倍數(shù)[15]。

圖7 電機拓撲結(jié)構(gòu)

圖8 理想模型齒槽轉(zhuǎn)矩

2.2 齒槽轉(zhuǎn)矩概率分布

如果隨機變量X服從一個以μ為數(shù)學期望、σ2為方差的正態(tài)分布，即N(μ，σ2)。那么X落在區(qū)間(μ-3σ，μ+3σ)以外的概率小于千分之三，基本上可以把區(qū)間(μ-3σ，μ+3σ)看作是隨機變量X實際可能的取值區(qū)間，這稱為正態(tài)分布的“3σ”原則。

假定實際加工中電機各參數(shù)都服從正態(tài)分布，數(shù)學期望為對應參數(shù)標稱值，方差通過對樣機各參數(shù)測量得到。對一臺樣機的定子齒直徑、PM寬度、PM厚度、PM表面磁密等參數(shù)進行測量，測量結(jié)果分別如表3、表4所示，其中，定子齒直徑定義為兩個相對定子齒的距離。

表3 定子齒直徑誤差

表4 永磁體誤差

根據(jù)正態(tài)分布的“3σ”原則，各參數(shù)的標準差σ應等于相應最大誤差的三分之一。但考慮到本次測量只是針對一個樣機，樣本數(shù)量有限，各參數(shù)的標準差取得稍大。定子齒直徑最大誤差為0.04 mm，建立有限元模型時，參數(shù)化定子齒半徑，取其標準差為0.025/3 mm；PM寬度最大誤差為0.05°，取標準差0.060°/3；PM厚度的最大誤差為0.03 mm，取標準差0.040/3 mm；PM表面磁密最大誤差為1.96%，取剩磁標準差為0.025/3T。

另外，有限元軟件建模時，參數(shù)化定子槽口寬的一半，如圖9所示，這樣能同時考慮槽口寬度與位置誤差。且PM周向位置與槽口寬誤差由供應商提供，取PM周向位置標準差為0.600°/3，取半個槽口寬標準差為0.009/3 mm。具體參數(shù)列在表5中。

圖9 槽口寬的一半

表5 加工誤差分布

根據(jù)各類誤差的概率分布，隨機生成300組考慮加工誤差的參數(shù)樣本，如圖10所示，并將各組誤差樣本進行隨機組合，建立相應的不對稱有限元模型，計算各模型的齒槽轉(zhuǎn)矩。

圖10 誤差樣本

對有限元仿真結(jié)果進行統(tǒng)計分析，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值與諧波分布分別如圖11、圖12所示?？紤]加工誤差后，產(chǎn)生了TAHC，使得所有樣本齒槽轉(zhuǎn)矩幅值均大于理想模型的19 mNm，且齒槽轉(zhuǎn)矩幅值分布范圍很廣，從25 mNm到58 mNm。TAHC諧波主要包括定子側(cè)誤差產(chǎn)生的10次諧波和轉(zhuǎn)子側(cè)誤差產(chǎn)生的12次、24次諧波。其中12次諧波的分布范圍最廣，從0.8 mNm到35.5 mNm，是導致齒槽轉(zhuǎn)矩幅值分布范圍廣的主要原因。并且根據(jù)能量法模型中的分析，齒槽轉(zhuǎn)矩12次諧波分布范圍廣是由PM周向位置誤差導致的，再次印證了提高永磁體周向位置加工精度是抑制齒槽轉(zhuǎn)矩的有效措施。60次齒槽轉(zhuǎn)矩諧波幅值分布在16.5 mNm到19 mNm，即加工誤差對60次齒槽轉(zhuǎn)矩諧波即TNHC影響很小。

圖11 齒槽轉(zhuǎn)矩幅值分布

圖12 齒槽轉(zhuǎn)矩諧波分布

3 定子沖片循環(huán)旋轉(zhuǎn)

在定子沖片疊壓過程中，下一片沖片總是相對于前一片定向旋轉(zhuǎn)一個固定的槽數(shù)，如圖13所示。這樣，每一個定子沖片與轉(zhuǎn)子相互作用產(chǎn)生的齒槽轉(zhuǎn)矩都有一個相位差，通過旋轉(zhuǎn)合適的槽數(shù)，就能削弱特定極數(shù)倍數(shù)次的齒槽轉(zhuǎn)矩諧波。

圖13 定子沖片循環(huán)旋轉(zhuǎn)

對于任意槽極配合的電機，設其定子槽數(shù)為Z，轉(zhuǎn)子極數(shù)為P，定子側(cè)加工誤差導致的齒槽轉(zhuǎn)矩諧波為P的倍數(shù)次，P次諧波對應幅值為KP。設單元電機數(shù)為Nu=GCD(P,Z)，即槽數(shù)與極數(shù)的最大公約數(shù)。記Z′=Z/Nu，P′=P/Nu，采用定子沖片循環(huán)旋轉(zhuǎn)方法，設每次旋轉(zhuǎn)一個槽對應的角度，記第一片沖片的齒槽轉(zhuǎn)矩P次諧波為

TP次-第一片=KPsin(Pα)

(11)

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，相鄰Z′片定子沖片的齒槽轉(zhuǎn)矩P次諧波之和為

(12)

若Z′不是質(zhì)數(shù)，設a為Z′的一個因數(shù)，且Z′=a*b，定子沖片旋轉(zhuǎn)時，設每次旋轉(zhuǎn)a個槽對應的角度，當b不為1時，相鄰b片定子沖片的齒槽轉(zhuǎn)矩P次諧波之和為

(13)

由上可知，當單元電機槽數(shù)不是質(zhì)數(shù)時，旋轉(zhuǎn)的槽數(shù)將有多種選擇，每片定子沖片旋轉(zhuǎn)a個槽，相鄰b片沖片的齒槽轉(zhuǎn)矩P次諧波就能相互抵消。同理，仍設定子沖片依次旋轉(zhuǎn)a個槽，c為正整數(shù)，相鄰b片定子沖片齒槽轉(zhuǎn)矩cP次諧波之和為

(14)

當cP′/b不為整數(shù)時，相鄰b片定子沖片齒槽轉(zhuǎn)矩cP次諧波才能抵消。因此，b應取最大值Z′，才能使得更多極數(shù)倍數(shù)次齒槽轉(zhuǎn)矩諧波被抵消，得到最佳的齒槽轉(zhuǎn)矩抑制效果，對應定子沖片依次旋轉(zhuǎn)1個槽。

綜上所述，任意槽極配合的電機均能采用定子沖片循環(huán)旋轉(zhuǎn)方法抑制極數(shù)倍數(shù)次齒槽轉(zhuǎn)矩諧波，且定子沖片依次旋轉(zhuǎn)1個槽能取得最好的齒槽轉(zhuǎn)矩抑制效果。實際加工時也采用這種方案。

對于本文研究的12槽10極電機，定子側(cè)誤差產(chǎn)生的是10的倍數(shù)次齒槽轉(zhuǎn)矩諧波。單元電機槽數(shù)為6，極數(shù)為5，定子沖片依次旋轉(zhuǎn)1個槽，那么c可取值1、2、3、4和5，即相鄰6片定子沖片齒槽轉(zhuǎn)矩10、20、30、40和50次諧波之和都等于0。

對考慮加工誤差的有限元模型應用定子沖片循環(huán)旋轉(zhuǎn)方法，并忽略沖片間的不一致性，得到齒槽轉(zhuǎn)矩幅值分布如圖14所示，齒槽轉(zhuǎn)矩諧波分布如圖15所示。定子沖片循環(huán)旋轉(zhuǎn)之后，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值分布從21 mNm到52 mNm，數(shù)學期望為33 mNm，比普通定子電機的40 mNm減小了17.5%。齒槽轉(zhuǎn)矩10次諧波基本上消除了，12次、24次和60次沒有變化。

圖14 齒槽轉(zhuǎn)矩幅值分布(定子沖片旋轉(zhuǎn))

圖15 齒槽轉(zhuǎn)矩諧波分布(定子沖片旋轉(zhuǎn))

采用定子循環(huán)換位后和未采用循環(huán)換位的齒槽轉(zhuǎn)矩概率分布對比如圖16所示，可以看出通過循環(huán)換位后齒槽轉(zhuǎn)矩的分布整體向較小的幅值區(qū)間偏移，其數(shù)學期望相比換位前減小了17.5%，且在齒槽轉(zhuǎn)矩幅值較高的分布區(qū)間的頻數(shù)均有所減小，說明采用定向旋轉(zhuǎn)沖片的方法可以在不提升加工精度的情況下，較好地抑制定子側(cè)加工誤差引入的齒槽轉(zhuǎn)矩諧波，進而抑制總的齒槽轉(zhuǎn)矩；另外，循環(huán)旋轉(zhuǎn)疊壓的定子沖片內(nèi)圓呈波浪紋，清晰地顯示了沖片內(nèi)徑加工誤差。普通疊壓定子沖片內(nèi)圓光滑，即沖片旋轉(zhuǎn)之前相同定子齒下的沖片內(nèi)徑一致，這樣才能保證旋轉(zhuǎn)之后有較好的齒槽轉(zhuǎn)矩抑制效果。

圖16 優(yōu)化前后齒槽轉(zhuǎn)矩幅值對比

4 實 驗

從生產(chǎn)的一批電機中隨機抽取樣本進行齒槽轉(zhuǎn)矩測試，測試平臺如圖17所示。齒槽轉(zhuǎn)矩測試結(jié)果如圖18所示，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值約為40.4 mNm，與定子沖片循環(huán)旋轉(zhuǎn)有限元模型計算的21 mNm至52 mNm相符。傅里葉分解得到的額外齒槽轉(zhuǎn)矩諧波主要是12次，與能量法模型和有限元模型的分析結(jié)果一致。極數(shù)倍數(shù)次齒槽轉(zhuǎn)矩諧波幅值均較小，驗證了定子沖片循環(huán)旋轉(zhuǎn)方法的可行性。

圖17 齒槽轉(zhuǎn)矩測試平臺

圖18 實測齒槽轉(zhuǎn)矩

5 結(jié) 論

本文針對有加工誤差的表貼式永磁伺服電機進行研究分析，主要得到如下結(jié)論：

(1)基于能量法，建立的計及加工誤差的表貼式永磁伺服電機齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型，能分別評估齒槽轉(zhuǎn)矩對永磁體剩磁、厚度、寬度及周向位置等誤差的敏感性大小。解析計算結(jié)果表明，永磁體周向位置誤差對齒槽轉(zhuǎn)矩影響最大。實際生產(chǎn)中，若加強對該參數(shù)的加工精度，可取得較好的齒槽轉(zhuǎn)矩抑制效果。

(2)對任意槽極配合電機，均能采用定子沖片循環(huán)旋轉(zhuǎn)方法削弱定子側(cè)誤差產(chǎn)生的額外齒槽轉(zhuǎn)矩，并且相鄰沖片依次旋轉(zhuǎn)一個槽距能取得最好的齒槽轉(zhuǎn)矩抑制效果。

(3)基于蒙特卡羅方法，利用有限元軟件，建立的一套計及實際加工誤差的分析體系，能較好地預測批量生產(chǎn)永磁伺服電機齒槽轉(zhuǎn)矩及其頻譜分布規(guī)律，用于指導電機生產(chǎn)。