龔澍, 高煒

(1.廣東科技學(xué)院 計算機科學(xué)學(xué)院,廣東 東莞 523083;2.云南師范大學(xué) 信息學(xué)院,云南 昆明 650500)

圖是結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)表示的有效模型，用頂點之間的邊來刻畫數(shù)據(jù)之間的相互關(guān)聯(lián)；而超圖作為圖的擴展，在數(shù)據(jù)表示中起著更重要的作用，應(yīng)用范圍也更加廣泛.對于不確定結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)，模糊圖和模糊超圖是廣泛而有效的建模手段.模糊圖近年來已成為數(shù)學(xué)和計算機領(lǐng)域的熱門研究課題[1-6]，尤其是在雙極框架[7]中.然而到目前為止，只有少數(shù)文獻考慮了超圖結(jié)構(gòu)中的模糊數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu).本文將有關(guān)直覺模糊超圖[8]的概念進行擴展，將其推廣到雙極直覺模糊超圖和雙極直覺模糊有向超圖框架，并確定了此類超圖的一些基本特征；且給出的關(guān)于雙極直覺模糊超圖的相關(guān)定義和性質(zhì)可以直接推廣到雙極畢達哥拉斯模糊超圖.

1 雙極直覺模糊超圖

在超圖框架下，H=(V,E)(或者記為H=(V,A,B))是雙極直覺模糊超圖，如果下列條件成立：

(1)V={v1,v2,…,vn}是非空有限頂點集合;

雙極直覺模糊集A是初級的,如果它的每個隸屬度函數(shù)在支集上都是單值的;雙極直覺模糊超圖是初級的,如果對于每條超邊它的正負極直覺模糊關(guān)系都是初級的.雙極直覺模糊超圖稱為簡單超圖，若任何兩條超邊對應(yīng)的頂點集合相互不包含，即ei?ej?ei=ej；稱為支集簡單超圖，若ei?ej,supp(ei)=supp(ej)?ei=ej；稱為強支集簡單，若supp(ei)=supp(ej)?ei=ej.

對于滿足αP+βP≤1和αN+βN≥-1的αP、βP∈[0,1]和αN、βN∈[-1,0],超邊e∈E的(αP,αN,βP,βN)-層次超邊定義為

H(αP,αN,βP,βN)=(V,E(αP,αN,βP,βN))稱為雙極直覺模糊超圖H的(αP,αN,βP,βN)-層次超圖，其中E(αP,αN,βP,βN)={(e1)(αP,αN,βP,βN),(e2)(αP,αN,βP,βN),…,(em)(αP,αN,βP,βN)}.

滿足下列條件

(2)若

雙極直覺模糊超圖H′=(V′,E′)=(V′,A′,B′)稱為雙極直覺模糊超圖H=(V,E)=(V,A,B)的部分子圖(記為H′?H)，若下列條件成立：

(1)supp(A′)?supp(A)且supp(B′)?supp(B)；

設(shè)H1=(V1,A1,B1)和H2=(V2,A2,B2)是兩個雙極直覺模糊超圖，其中

稱H1和H2它們是同態(tài)的，若存在同態(tài)映射Ψ:V1→V2滿足如下兩個條件：

(1)對任意v∈V1滿足

稱H1和H2是弱同構(gòu)的，若存在雙射同態(tài)滿足Ψ:V1→V2,對任意v∈V1滿足

(1)對任意v∈V1有

雙極直覺模糊超圖H的階(Order)和尺寸(Size)分別定義為

顯然，兩個同構(gòu)的雙極直覺模糊超圖有相同的階和尺寸，但反過來不成立.此外，根據(jù)定義可知，任意兩個弱同構(gòu)的雙極直覺模糊超圖有相同的階，而任意兩個一致弱同構(gòu)的雙極直覺模糊超圖有相同的尺寸，但反過來都不成立.

雙極直覺模糊超圖H中，頂點v的度表示為

若H1和H2是同構(gòu)的，Ψ是它們的同構(gòu)映射，如果v1∈V(H1),v2∈V(H2)滿足Ψ(v1)=v2,則有d(Ψ(v1))=d(v2).

由于雙極直覺模糊超圖之間的同構(gòu)關(guān)系是一種等價關(guān)系，滿足自反、對稱和傳遞性，因此可以根據(jù)同構(gòu)關(guān)系對雙極直覺模糊超圖進行分類.此外，雙極直覺模糊超圖之間的弱同構(gòu)關(guān)系是一種偏序關(guān)系.

雙極直覺模糊超圖中長度為t的雙極直覺模糊超路P定義為由不同頂點vi和不同超邊ei構(gòu)成的交錯序列v1,e1,v2,e2,…,vt,et,vt+1，滿足下列條件：

(2)對任意i∈{1,…,t},有vi,vi+1∈ei.

由此，雙極直覺模糊超圖是連通的當(dāng)且僅當(dāng)對任意

強雙極直覺模糊超圖是指對所有超邊ei都滿足

的超圖.而完全雙極直覺模糊超圖是指對所有V的子集ei={vi1,vi2,…,vi|ei|},上述四個式子都成立的超圖.對于兩個同構(gòu)的雙極直覺模糊超圖H1和H2：

?H1是連通的當(dāng)且僅當(dāng)H2是連通的；

?H1是強的當(dāng)且僅當(dāng)H2是強的；

?H1是完全的當(dāng)且僅當(dāng)H2是完全的.

如果對任意兩條超邊ei和ej有下面兩個條件成立， 則雙極直覺模糊超圖稱為線性雙極直覺模糊超圖：

(1)supp(ei)?supp(ej)?i=j；

(2)|supp(ei)∩supp(ej)|≤1.

雙極直覺模糊超圖的2-section記為[H]2=(V,A,[B]2),它也是一個雙極直覺模糊超圖，其頂點集與H一致，超邊集定義為{vivj|vi,vj∈ek∈E(H)},即超邊是二元頂點集合，兩個頂點一同存在于H的某一條超邊中.[H]2的邊隸屬度函數(shù)定義為

雙極直覺模糊超圖H=(V,A,B)的對偶圖HD=(VD,AD,BD)定義如下：

?HD的頂點集即為H的超邊集，即把H的每一條超邊看成一個頂點，H中超邊的隸屬度函數(shù)值即為HD中頂點的隸屬度函數(shù)值.

?對于H中的每個頂點v，記Ev?E是H中包含頂點v的超邊集合，它對應(yīng)HD中的一條超邊，且該超邊在HD中的隸屬度函數(shù)表示為

顯然，兩個同構(gòu)的超圖，它們的對偶也同構(gòu).易知，[HD]2=L(H),其中L(H)表示超圖H的線圖，即H中每條超邊看成一個頂點，兩個頂點相鄰當(dāng)且僅當(dāng)在H中對應(yīng)的兩條超邊有共同頂點.此外，線性雙極直覺模糊超圖的對偶也是線性的.

2 雙極直覺模糊有向超圖

將雙極直覺模糊超圖的概念擴展到雙極直覺模糊有向超圖，其本質(zhì)是將每條超邊的頂點集分成兩個子集：起點集和終點集.

(1)V={v1,v2,…,vn}是非空有限頂點集合;

設(shè)有序?qū)π蛄?/p>

滿足下列條件

(2)若

(1)supp(A′)?supp(A)且supp(B′)?supp(B)；

(2)若

稱它們是同態(tài)的，若存在同態(tài)映射Ψ:V1→V2滿足如下兩個條件：

(1)對任意v∈V1滿足

(1)對任意v∈V1有

兩個同構(gòu)的雙極直覺模糊有向超圖有相同的階和尺寸；兩個弱同構(gòu)的雙極直覺模糊有向超圖有相同的階；兩個一致弱同構(gòu)的雙極直覺模糊有向超圖有相同的尺寸,但這些結(jié)果反過來都不成立.

由于雙極直覺模糊有向超圖之間的同構(gòu)關(guān)系也是一種等價關(guān)系，滿足自反、對稱和傳遞性，同樣可以用于雙極直覺模糊有向超圖分類.此外，雙極直覺模糊有向超圖之間的弱同構(gòu)關(guān)系是一種偏序關(guān)系.