雙曲空間中子流形的積分公式 *

王琪，周志進(jìn)

(貴陽(yáng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550005)

1 引言

并令其裝備雙曲黎曼度量

則得到(n+p)維雙曲空間Hn+p，其截面曲率K≡-1.

關(guān)于雙曲空間Hn+1中等距浸入超曲面M，文獻(xiàn) [1] 曾給出一個(gè)經(jīng)典的積分公式，即Minkowski公式，也即定理1.本文研究(n+p)維雙曲空間Hn+p中n維等距浸入緊致無(wú)邊子流形Mn.利用關(guān)于Codazzi張量場(chǎng)的一個(gè)已知定理，本文得到Mn的一個(gè)積分公式，即定理2.定理2推廣了定理1的結(jié)果.

定理1[1]設(shè)h:M→Hn+1是定向的等距浸入緊致無(wú)邊超曲面，記N為M的單位法向量場(chǎng)，而σk為M的k-平均曲率.則有積分公式

定理2設(shè)h:Mn→Hn+p是n維定向的等距浸入緊致無(wú)邊子流形，記η為Mn的單位平均曲率法向量場(chǎng)，而σk為Mn沿方向η的k-平均曲率.則有積分公式

2 預(yù)備知識(shí)和引理

令(Mn,g)為一個(gè)n-維光滑黎曼流形，而S是Mn上一個(gè)(k,k)型張量場(chǎng).如果S對(duì)其協(xié)變指標(biāo)反對(duì)稱，同時(shí)對(duì)其反變指標(biāo)也反對(duì)稱，則記S∈Γ(EndΛk(TM)).設(shè)S∈Γ(EndΛk(TM))，T∈Γ(EndΛj(TM))，定義S*T∈Γ(EndΛk+j(TM))為S與T的協(xié)變分量、S與T的反變分量分別作外乘積，而得到的(k+j,k+j)型張量場(chǎng).由文獻(xiàn) [1-3] 知乘法*滿足結(jié)合律和交換律.

定義1[1-3]( Codazzi張量場(chǎng)) 設(shè)S∈Γ(EndΛk(TMn))，并記?為黎曼流形Mn的Levi-Civita聯(lián)絡(luò).如果對(duì)任意的X1,X2,…,Xk+1∈Γ(TMn)，0=∑(-1)j+1(?XjS)(X1∧…∧Xj-1∧Xj+1∧…∧Xk+1)都成立,則稱S為Mn上一個(gè)(k,k)型Codazzi張量場(chǎng).

其中,I為End(Γ(THn+p))的恒同截面;f=-1/xn+p是廣義位置向量場(chǎng)?/?xn+p相關(guān)聯(lián)的光滑函數(shù).

確定了Mn上一個(gè)(1,1)型Codazzi張量場(chǎng)A.其中II表示子流形Mn的第二基本形式.

定義子流形Mn的平均曲率法向量場(chǎng)為

同時(shí)定義Mn的單位平均曲率法向量場(chǎng)為

Mn的平均曲率法向量場(chǎng)σ及其單位化η的定義與幺正局部標(biāo)架場(chǎng)(eA)的選取無(wú)關(guān).

3 定理2的證明

證明令Tη為Mn沿其單位平均曲率法向量場(chǎng)η方向的形狀算子，即

記λ1,λ2,…,λn為Mn沿η方向的主曲率，即λ1,λ2,…,λn為Mn沿η方向的第二基本形式的特征值.用δr表示λ1,λ2,…,λn的基本對(duì)稱多項(xiàng)式，即

tarce(S)=k!δk.

(1)

令ρ表示Mn沿其單位平均曲率法向量場(chǎng)的支撐函數(shù)，即

其中Y=?/?xn+p是Hn+p的一個(gè)廣義位置向量場(chǎng) (見(jiàn)引理1).

由Tη以及 (1,1)張量場(chǎng)A的定義 (見(jiàn)定義3)，計(jì)算得

A=ρTη.

用類似于 (1) 式的計(jì)算，得到

trace(S*A)=ρ(k+1)!δk+1.

(2)

定理2得證.