電磁感應(yīng)中的單棒和雙棒模型的歸類探析

江蘇 呂朝陽

(作者單位：江蘇省前黃高級中學國際分校)

在電磁感應(yīng)中經(jīng)常會遇到單根或兩根導體棒在導軌上做切割磁感線運動的問題，這類問題的實質(zhì)是其他形式的能量與電能之間相互轉(zhuǎn)化；解決此類問題的思路和策略是從等效電路、力與運動、功能關(guān)系及動量沖量出發(fā)，在分析、推理和綜合的基礎(chǔ)上列出相應(yīng)方程進行求解。筆者現(xiàn)對此類問題進行分類探析。

一、電磁感應(yīng)中的單棒模型

1.模型解讀

電磁感應(yīng)中的單導體棒模型是單根導體棒在導軌上做切割磁感線的運動，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流，然后導體棒在安培力等合力的作用下運動的典型模型。這類模型涉及電磁學、力學等相關(guān)知識和圖像規(guī)律，主要考查學生對法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、牛頓運動定律和功能關(guān)系等物理規(guī)律的理解、掌握與應(yīng)用，有利于培養(yǎng)學生在真實情境下解決問題的能力。

2.解題思路

在處理此類模型時，要關(guān)注三條主線：等效電路、力與運動和功能轉(zhuǎn)化，如圖1所示。

3.單棒模型歸類

(1)單棒與電阻的組合

平行導軌表面光滑、電阻不計、間距為L，一端連接電阻R。單棒質(zhì)量為m，電阻為r，棒與導軌接觸良好。

表1

【例1】如圖2所示，兩根足夠長的光滑平行直導軌與水平面成θ=37°放置，兩導軌間距L=0.5 m，在導軌間接有阻值為R=0.3 Ω的電阻。一根質(zhì)量m=0.5 kg的均勻直金屬桿ab放在兩導軌上，并與導軌垂直，金屬桿電阻r=0.2 Ω，整套裝置處于勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌平面向上?，F(xiàn)讓ab棒由靜止釋放，則運動過程中的最大速度vm=6 m/s。導軌和金屬桿接觸良好，其他電阻均不計。(sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10 m/s2)

圖2

(1)勻強磁場的磁感應(yīng)強度B的大??；

(2)當ab棒勻速時，ab棒兩端的電壓Uab；

(3)若ab棒從釋放到速度達到最大速度vm的過程中，沿導軌下滑的距離x=4 m，求電阻R上產(chǎn)生的熱量Q，通過電阻R的電荷量q；

(4)若ab棒從靜止開始向下做加速度a=1 m/s2的勻加速直線運動，求當t=6 s時，作用在金屬棒上沿斜面方向的外力F的大小，外力的瞬時功率P；

(5)若導軌粗糙，ab棒能在導軌上離最高處豎直距離h=3 m位置靜止，且磁場按B=1+0.5t(T)的規(guī)律變化，求當t=2 s時，ab棒所受的摩擦力大小和方向。

聯(lián)立得B=1 T

(2)當ab棒勻速運動時，E=BLv=3 V

(3)若ab棒從靜止釋放到速度達到最大速度vm的過程中，沿導軌下滑的距離x=4 m，根據(jù)動能定理得

則Q=W克安=3 J

(4)若ab棒從靜止開始向下做加速度為a=1 m/s2的勻加速直線運動，則

當t=6 s時，v=at=6 m/s2

感應(yīng)電動勢E=BLv=3 V

根據(jù)牛頓第二定律得F+mgsinθ-F安=ma，則F=0.5 N，方向沿斜面向下

外力的瞬時功率P=F·v=3 W

以棒為研究對象，設(shè)摩擦力方向沿導軌向下，根據(jù)平衡條件得f+mgsinθ=F安，則f=-0.5 N，方向沿導軌向上。

【點評】解題的過程中要緊緊抓住三個方向，一是通過受力情況及力的變化情況，分析出物體的運動特征；二是要準確區(qū)分電源和外電路，并畫出等效電路圖；三是通過做功分析，判斷能量的變化情況，并列出動能定理或能量守恒定律的公式進行求解。

(2)單棒與電容的組合

平行導軌表面光滑，電阻不計，間距為L。單棒質(zhì)量為m，電阻不計。棒與導軌接觸良好。

表2

續(xù)表

【例2】如圖3所示，空間存在方向豎直向下、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，有兩條間距為d的足夠長平行直導軌MN、PQ處于同一水平面內(nèi)，左端連接一電容為C的電容器，右端連接阻值為R的電阻。質(zhì)量為m的導體棒垂直跨放在導軌上，與導軌間的摩擦不計。開關(guān)k1閉合，k2斷開，從t=0時刻開始，對導體棒施加一個大小為F、水平向右的恒力，使導體棒從靜止開始沿導軌方向做加速運動，此過程中導體棒始終保持與導軌垂直且接觸良好。除電阻R以外其余部分的電阻均不計，重力加速度為g。

圖3

(1)求導體棒向右運動L1時的速度大??；

(2)導體棒向右運動L1時，斷開k1，閉合k2，若導體棒再向右運動L2時，導體棒已經(jīng)做勻速運動，求勻速運動的速度和這一過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱。

【解析】(1)設(shè)在Δt時間內(nèi)，導體棒速度變化為Δv，則導體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢變化ΔE=BdΔv

對導體棒，由牛頓第二定律有F-BId=ma

可以看出，加速度與時間無關(guān)，說明導體棒做勻加速直線運動

(2)斷開k1，閉合k2，若F大于安培力，則導體棒先做加速運動后做勻速運動；若F等于安培力，則導體棒做勻速運動；若F小于安培力，則導體棒先做減速運動后做勻速運動，因為無論哪種情況，導體棒最后勻速運動，所以由平衡條件可得

對導體棒在該過程中使用動能定理，設(shè)克服安培力做功為W，可得

故此過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為

【點評】解決單導體棒與電容器組成的電路問題的思路是，導體棒在外力作用下開始加速運動，導體棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢使電容器充電，從而在回路中產(chǎn)生充電電流，導體棒受到安培力的作用，列出牛頓第二定律和充電電流的表達式，就可以判斷出導體棒運動狀態(tài)。

二、電磁感應(yīng)中的雙棒模型

1.模型解讀

電磁感應(yīng)中的雙棒模型是兩根導體棒在導軌上切割磁感線，產(chǎn)生了同向或反向的兩個動生電動勢，在這兩個電動勢的共同影響下形成感應(yīng)電流，然后兩根導體棒在外力的作用下運動的典型模型。這類模型主要考查學生對法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、牛頓運動定律、動量定理、動量守恒定律和功能關(guān)系等物理規(guī)律的理解、掌握與應(yīng)用，有利于培養(yǎng)學生的高階思維能力。

2.解題思路

在處理此類模型時，要關(guān)注四條主線：等效電路、力與運動、動量沖量和功能關(guān)系線，如圖4所示。

圖4

3.雙棒模型歸類

(1)合外力為零的雙棒系統(tǒng)

平行導軌水平放置，表面光滑，電阻不計，間距為L；雙棒質(zhì)量均為m，電阻均為r；棒與導軌垂直并接觸良好；勻強磁場B與導軌垂直。

表3

【例3】(多選)如圖5所示，P、Q是兩根固定在水平面內(nèi)的光滑平行金屬導軌，間距為L，導軌足夠長且電阻可忽略不計。圖中EFGH矩形區(qū)域內(nèi)有一方向垂直導軌平面向上、感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場。在t=t1時刻，兩均勻金屬棒a、b分別從磁場邊界EF、GH進入磁場，速度大小均為v0；一段時間后，流經(jīng)a棒的電流為0，此時t=t2，b棒仍位于磁場區(qū)域內(nèi)。已知金屬棒a、b由相同材料制成，長度均為L，電阻分別為R和2R，a棒的質(zhì)量為m。在運動過程中兩金屬棒始終與導軌垂直且接觸良好，a、b棒沒有相碰，則

( )

圖5

C.t1～t2時間內(nèi)，通過a棒橫截面的電荷量是b棒的2倍

【答案】BD

【點評】針對電磁感應(yīng)中雙導體棒在水平導軌上的運動問題，可根據(jù)兩棒的長度或速度的大小關(guān)系，判斷兩棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的大小關(guān)系，再根據(jù)雙棒運動的速度方向，判斷出這兩個電動勢的方向關(guān)系，進而分析總的感應(yīng)電動勢的大小，且感應(yīng)電流的方向總是與總電動勢的方向相同；然后根據(jù)雙棒所受安培力大小與方向的變化情況，依據(jù)牛頓運動定律或動量守恒定律分析出雙棒最終的穩(wěn)定運動狀態(tài)；在不考慮摩擦和空氣阻力的情況下，根據(jù)能量守恒定律，閉合電路中產(chǎn)生的焦耳熱應(yīng)等于系統(tǒng)機械能的減少。

(2)合外力不為零的雙棒系統(tǒng)

足夠長的平行導軌，表面光滑，電阻不計。棒與導軌垂直且接觸良好。勻強磁場B垂直導軌。

表4

續(xù)表

【例4】如圖6所示，光滑導軌EF、GH等高平行放置，EG間寬度為FH間寬度的3倍，導軌右側(cè)水平且處于豎直向上的勻強磁場中，左側(cè)呈弧形升高。ab、cd是質(zhì)量均為m、電阻均為R的金屬棒，現(xiàn)讓ab棒從離水平軌道h高處由靜止下滑，設(shè)導軌足夠長，重力加速度為g。試求：

圖6

(1)ab、cd棒的最終速度；

(2)全過程中感應(yīng)電流產(chǎn)生的焦耳熱。

【解析】ab棒下滑進入磁場后切割磁感線，在abcd電路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，ab、cd棒各受不同的安培力作用而分別作變減速、變加速運動，電路中感應(yīng)電流逐漸減小，當感應(yīng)電流為零時，ab、cd棒不再受安培力作用，各自以不同的速度勻速運動。

由于ab、cd棒串聯(lián)在同一電路中，任何時刻流過二者的電流總相等，金屬棒有效長度Lab=3Lcd，故它們所受的安培力大小關(guān)系為Fab=3Fcd②

在安培力作用下，ab、cd棒各自做變速運動，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢方向相反，當Eab=Ecd時，電路中感應(yīng)電流I為零，安培力為零，ab、cd棒運動趨于穩(wěn)定，此時有

ab、cd棒受安培力作用，動量均發(fā)生變化，由動量定理得

FabΔT=m(v-vab) ④

FcdΔT=mvcd⑤

(2)根據(jù)系統(tǒng)的總能量守恒可得

【點評】雙棒系統(tǒng)在運動的過程中所受合外力不為零時，內(nèi)部通過的電流相同，由此可以找到它們所受安培力的大小關(guān)系；再根據(jù)運動過程中雙棒切割磁感線所產(chǎn)生電動勢的大小及方向關(guān)系，分析出電路中總的感應(yīng)電動勢的變化情況，接著推理出感應(yīng)電流和安培力大小的變化情況，最后分析最終的穩(wěn)定狀態(tài)。由于系統(tǒng)所受的合外力不為零，分別列出動量定理的方程，即可求解。

三、總結(jié)

本文所歸類總結(jié)的單棒和雙棒模型是比較常見的模型，并沒有也不可能窮其變式，但不管是經(jīng)典題型還是新穎的變式，解決單棒和雙棒模型的基本思路是相同的，即基于能量轉(zhuǎn)化的實質(zhì)，從等效電路、力和運動、功能關(guān)系以及動量沖量這四個方面入手，通過分析、判斷、推理和綜合來解決實際問題。由于此類題型的綜合性較強，對學生的能力和素養(yǎng)水平具有良好的考查和評價作用。