例說全概率公式理解與應(yīng)用的三個(gè)層次

金 毅

(內(nèi)蒙古呼和浩特市第二中學(xué) 010000)

我們知道，“條件概率”是舊課標(biāo)教材當(dāng)中要求掌握的部分，新的課程改革在原有內(nèi)容基礎(chǔ)之上，增加了全概率公式與貝葉斯公式.全概率公式在新版高中數(shù)學(xué)教材中被重點(diǎn)進(jìn)行介紹，并具備“承上啟下”的關(guān)鍵過渡作用，在表現(xiàn)形式上拓展了條件概率，同時(shí)也作為貝葉斯公式成立的理論基礎(chǔ).所以，對(duì)全概率公式的掌握是至為重要的.我們將由淺入深地從三個(gè)層次——概念層次、應(yīng)用層次、拓展層次上對(duì)全概率公式進(jìn)行解讀，明確其概念和應(yīng)用.

1 概念層次：全概率公式是對(duì)條件概率概念的繼承和發(fā)展

P(B)=P(B|Ω)

=P(B|(A1∪A2∪…∪An))

我們得到了全概率公式，如果把Ai看作是導(dǎo)致事件B發(fā)生的各種可能的“原因”，那么事件B發(fā)生的概率恰好是事件B在這些“原因”下發(fā)生的條件概率的總和.

例1(2020泉州期末)世衛(wèi)組織就新型冠狀病毒感染的肺炎疫情稱，新型病毒可能造成“持續(xù)人傳人”.通俗點(diǎn)說就是存在A傳B，B又傳C，C又傳D，這就是“持續(xù)人傳人”.那么A,B,C就會(huì)被稱為第一代、第二代、第三代傳播者.假設(shè)一個(gè)身體健康的人被第一代、第二代、第三代傳播者感染的概率分別為0.9，0.8，0.7，健康的小明參加了一次多人宴會(huì)，事后知道，參加宴會(huì)的人有5名第一代傳播者，3名第二代傳播者，2名第三代傳播者，試計(jì)算，小明參加聚會(huì)，僅和感染的10個(gè)人其中一個(gè)接觸，感染的概率有多大____.

分析本問題結(jié)合時(shí)下熱點(diǎn)的疫情防控，從數(shù)學(xué)的角度研究實(shí)際問題.概率問題的研究特點(diǎn)是有較強(qiáng)的“過程性”.所謂過程性，也就是說要明確事件先后發(fā)生的過程順序，這是非常重要的.以本題為例，首先，小明被感染的前提是接觸這10名傳播者，然而這10名傳播者中又存在感染概率不同的三類傳播者.所以，整個(gè)過程是“接觸→感染”.所以，“接觸”本身就是流程中的一類事件，而不同的感染概率是在“接觸的條件下”的“條件概率”.

根據(jù)題意，小明和10人中的其中一人接觸，假設(shè)小明接觸第一代傳播者為事件A，接觸第二代傳播者為事件B，接觸第三代傳播者為事件C，那么這三件事情的概率為P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2，假設(shè)接觸后感染為事件D，則接觸第一代傳播者感染的概率為P(D|A)=0.9，類似地，可以得到P(D|B)=0.8，P(D|C)=0.7.

所以，接觸一人以后感染的概率為P(D|(A∪B∪C))=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.83.通過全概率公式，我們計(jì)算得到感染的概率是比較高的，這從數(shù)據(jù)層面說明了該病毒具備較強(qiáng)的傳染力.

2 應(yīng)用層次：全概率公式應(yīng)用的關(guān)鍵是對(duì)樣本空間做好劃分

通過剛才的例1，我們發(fā)現(xiàn)，在尋找條件的同時(shí)，精準(zhǔn)劃分條件事件是非常重要的，例1的劃分相對(duì)明顯，因此這類題目能夠較為準(zhǔn)確而固定地應(yīng)用全概率公式.在一些具體的問題中，有些條件事件不好尋找也不好劃分，所以，關(guān)鍵的分析就是“執(zhí)果索因”，從目標(biāo)事件出發(fā)，分析導(dǎo)致目標(biāo)事件發(fā)生的原因事件，再對(duì)原因事件做出正確的劃分.我們將借助例2分析全概率公式的應(yīng)用關(guān)鍵，雖然例子模型簡(jiǎn)單，但是更容易說明問題.

例2有兩只箱子，每只中都有6個(gè)白球4個(gè)紅球.現(xiàn)從第一箱中任取一球放入第二箱，再從第二箱中任取一球，求取到紅球的概率.

分析假設(shè)事件A為“從第二箱中取到紅球”，在取紅球的同時(shí)，我們要分析此時(shí)第二箱當(dāng)中球的顏色狀態(tài).所以，可能從第一箱中取出一個(gè)白球放入第二箱，也有可能從第一箱中取出一個(gè)紅球放入第二箱.所以我們找到了事件A發(fā)生的原因，事件B為“從第一箱中取出一紅球放入第二箱”，事件C為“從第一箱中取出一白球放入第二箱”，我們這樣就劃分好了樣本空間.

所以，根據(jù)全概率公式

P(A)=P(A|Ω)

=P(A|(B∪C))

=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)

=0.4,

所以取到紅球的概率為0.4.

可以看出，應(yīng)用的關(guān)鍵就是“執(zhí)果索因”.在尋找原因的時(shí)候，要把原因拆分成為兩兩互斥的事件，只要掌握了這個(gè)原理，那么對(duì)于全概率公式的原理會(huì)有更深一步的認(rèn)識(shí)，而不是僅僅停留在記憶公式的層面.

3 拓展層次：全概率公式是描述動(dòng)態(tài)概率過程的重要工具

經(jīng)過剛才的分析，我們可以看到，全概率公式的理論基礎(chǔ)是基于條件概率，條件概率在刻畫事件之間的關(guān)系中更具備一般性.在一些數(shù)學(xué)問題中，全概率公式往往能夠與數(shù)列遞推式結(jié)合在一起，具體例子如同下面的例3.這道題目很多同學(xué)和老師在解決以后都會(huì)存在一些疑惑：究竟題目中的遞推式是怎么推出來的，如果不給這個(gè)遞推式，根據(jù)題目中的已知信息，我們能自己推導(dǎo)出這個(gè)遞推式嗎？我們一起來看下面的分析.

例3(2019全國Ⅰ卷)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪治療的結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈均得零分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)，其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)α=0.5，β=0.8.

(ⅰ)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

(ⅱ)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

分析X的分布列為

X-101P1-α()βαβ+1-α()1-β()α1-β()

所以a=P(X=-1)=0.4,

b=P(X=0)=0.5,

c=P(X=1)=0.1,

故pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1(i=1,2,…,7).

所以0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1).

即pi+1-pi=4(pi-pi-1).

根據(jù)p1-p0=p1≠0，

所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是公比為4，首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列.

我們雖然解決了這道題目，但是有一個(gè)疑惑可能還未解決，那就是題目中的這個(gè)遞推式

pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)

是怎么得到的？事實(shí)上，本題的理論基礎(chǔ)就是“全概率公式”，從右側(cè)的三概率求和來看，和“全概率公式”的表現(xiàn)形式類似，我們接下來將會(huì)詳細(xì)分析這個(gè)表達(dá)式的得出過程.

記Hi(i=1,2,3,…,7,8)為甲藥累計(jì)得分為i分的事件，H8即說明甲藥累計(jì)得8分，此時(shí)乙藥累計(jì)得0分，甲藥治愈的白鼠比乙藥多4只，最終認(rèn)為甲藥有效.在一輪試驗(yàn)中，記“甲藥未治愈，乙藥治愈”為事件A={X=-1}，記“兩藥均治愈或均未治愈”為事件B={X=0}，記“甲藥治愈，乙藥未治愈”為事件C={X=1}，一輪試驗(yàn)中，藥品的治愈情況和其累計(jì)得分沒有關(guān)聯(lián)，它們是獨(dú)立的P(A|Hi)=P(A),P(B|Hi)=P(B),P(C|Hi)=P(C)，本題中的pi在題目里面的含義是“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，這個(gè)數(shù)值有明顯的條件概率的意味，條件就是甲藥的累計(jì)得分，也就是說pi=P(H8|Hi).事實(shí)上，pi=P(H8|Hi)=P(H8|HiB)，我們可以思考pi-1的含義了，類似地，這里面要體現(xiàn)出分?jǐn)?shù)為i-1，這樣，只要事件Hi和事件A同時(shí)發(fā)生即可.

所以pi-1=P(H8|Hi-1)=P(H8|HiA)，

pi=P(H8|Hi)=P(H8|HiB)，

pi+1=P(H8|Hi+1)=P(H8|HiC).

我們利用條件概率作以下處理

=pi-1.

類似地，有

準(zhǔn)備工作基本已經(jīng)完成，接下來，我們對(duì)pi使用全概率公式，

=P(A)pi-1+P(B)pi+P(C)pi+1

這樣題目中的表達(dá)式就被我們推導(dǎo)出來了，可以看到，本題就是基于全概率公式進(jìn)行構(gòu)造的.同時(shí)，pi的數(shù)值構(gòu)成了一個(gè)新數(shù)列，所以，后續(xù)的處理是基于數(shù)列遞推式的處理技巧，限于篇幅，我們不做過多分析.但是，這說明了很重要的一點(diǎn)，就是隨著i的變化，概率值也在發(fā)生變化，所以，這是一個(gè)動(dòng)態(tài)的概率過程.那么描述這個(gè)動(dòng)態(tài)的概率過程的重要工具就是全概率公式.所以，全概率公式在描述這樣的問題時(shí)有非常便捷的作用.如果把甲藥的累計(jì)分?jǐn)?shù)看作數(shù)軸上的點(diǎn)，那么每一次試驗(yàn)積分即相當(dāng)于當(dāng)前積分“向前”“向后”移動(dòng)一個(gè)位置或者“不動(dòng)”，這即是數(shù)軸上的“隨機(jī)游走”問題.我們不去過多介紹具體的理論背景，但是這種類似問題的突破關(guān)鍵就是“全概率公式”，我們可以用全概率公式來描述動(dòng)態(tài)的概率問題.

4 總結(jié)與反思

全概率公式是目前高中數(shù)學(xué)新教材的新增內(nèi)容，在新課標(biāo)和新高考中必然會(huì)居于重要地位.在學(xué)習(xí)中，要首先明確條件概率的概念和公式，在此基礎(chǔ)上才能夠?qū)θ怕使郊由罾斫?進(jìn)一步地，要學(xué)會(huì)劃分樣本空間，學(xué)會(huì)“執(zhí)果索因”，才能夠在一個(gè)具體問題中知道什么時(shí)候應(yīng)用全概率公式，能夠做到“理解并記憶”.最后要明確全概率公式在一些更加復(fù)雜的問題中，可以描述動(dòng)態(tài)的概率過程，明確其“工具性”，這樣能夠在實(shí)際問題中建立應(yīng)用全概率公式的基本意識(shí).希望大家對(duì)全概率公式不再感到陌生，要敢用，會(huì)用，掌握好統(tǒng)計(jì)與概率，為后續(xù)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)開辟道路.