例析質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律在連接體問題中的應(yīng)用

許冬保

(江西省九江第一中學(xué) 332000)

在動(dòng)力學(xué)問題中，若質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)的加速度不盡相同，原則上應(yīng)用隔離法處理有關(guān)問題.若使用整體法，則需要根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律來建立方程.在一般教輔資料中均有介紹，本文不作贅述.以下例談質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律在連接體問題中的拓展應(yīng)用.

1 質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律

在質(zhì)點(diǎn)系中，若質(zhì)點(diǎn)的加速度不同，根據(jù)力的獨(dú)立作用原理，可以導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律的形式

2 質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律在連接體問題中的應(yīng)用

2.1 平動(dòng)連接體問題(加速度大小相等、方向不同的質(zhì)點(diǎn)系)

例1利用圖1所示實(shí)驗(yàn)裝置及打點(diǎn)計(jì)時(shí)器(圖中未畫出)來驗(yàn)證“在小車質(zhì)量不變的情況下，小車的加速度與作用力成正比”的結(jié)論，并直接以鉤碼所受重力mg作為小車受到的合外力，則實(shí)驗(yàn)中應(yīng)采取的改進(jìn)措施是什么？鉤碼的質(zhì)量m與小車的質(zhì)量M之間應(yīng)滿足的條件是什么？

圖1

解析據(jù)題意，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法是直接以鉤碼所受重力mg作為小車受到的合外力，需要考慮兩方面的問題：第一方面是必須消除摩擦力因素的影響，因此需要平衡(或補(bǔ)償)摩擦力；第二方面是小車的牽引力等于繩對小車的拉力，該拉力小于鉤碼所受重力，顯然繩子的拉力近似等于鉤碼所受重力mg需要滿足一定的條件.分析如下：

設(shè)小車質(zhì)量為M，小車所受牽引力為F，由牛頓第二定律，有

F=Ma

mg-F=ma

顯然，當(dāng)M?m時(shí)，F(xiàn)≈mg.

因此，實(shí)驗(yàn)時(shí)若直接以鉤碼所受重力mg作為小車受到的合外力，需要采取的改進(jìn)措施是平衡(或補(bǔ)償)摩擦力，且使得小車的質(zhì)量M遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于鉤碼的質(zhì)量m.

點(diǎn)評(píng)小車及鉤碼運(yùn)動(dòng)的加速度大小相等但方向不同，可否用質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律求解？我們可以將原實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行等效變換，如圖2所示，鉤碼所受重力為動(dòng)力，則有mg=(M+m)a，再隔離其中一個(gè)物體為對象列式，可得同樣的結(jié)果.

圖2

例2 如圖3所示為阿特武德機(jī)的示意圖，它是早期測量重力加速度的器械，由英國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家阿特武德于1784年制成.他將質(zhì)量同為M的重物用繩連接后，放在光滑的輕質(zhì)滑輪上，處于靜止?fàn)顟B(tài).再在一個(gè)重物上附加一質(zhì)量為m的小重物，這時(shí)，由于小重物的重力而使質(zhì)點(diǎn)系做初速度為零的緩慢加速運(yùn)動(dòng)并測出加速度.若不計(jì)空氣阻力，求質(zhì)點(diǎn)系的加速度大小.

圖3

解析設(shè)繩中的張力為T，加速度為a.由牛頓第二定律，有

(m+M)g-T=(m+M)a

T-Mg=Ma

點(diǎn)評(píng)此類問題一般用隔離法分析列式，若用質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律求解，同樣可將質(zhì)點(diǎn)系等效為如圖4所示的情形，顯然，(m+M)g-Mg=(m+2M)a，所得結(jié)果同上.

圖4

2.2 轉(zhuǎn)動(dòng)連接體問題(加速度大小不等、方向共線的質(zhì)點(diǎn)系)

例3 如圖5，用長為L的輕繩(輕繩不可伸長)連接的甲、乙兩物塊(均可視為質(zhì)點(diǎn))，放置在水平圓盤上，甲、乙連線的延長線過圓盤的圓心O，甲與圓心O的距離也為L，甲、乙兩物塊的質(zhì)量均為m，與圓盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，物塊與圓盤間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，甲、乙始終相對圓盤靜止，則下列說法中正確的是( ).

圖5

D.輕繩最大彈力為μmg

解析由題給信息知，乙做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力是甲的兩倍，而甲、乙兩物塊受到圓盤的最大靜摩擦力相等，因此，乙最先達(dá)到最大靜摩擦力，隨圓盤轉(zhuǎn)速增大，繩中開始出現(xiàn)張力，直到甲亦達(dá)到最大靜摩擦力，此為臨界狀態(tài).對應(yīng)圓盤的最大角速度及繩中最大彈力.

考察甲、乙兩物塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小不等、但方向相同.設(shè)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度為ω.選取指向圓心的方向?yàn)檎较?，則由質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律，有

μmg+μmg=mLω2+2mLω2

設(shè)繩中最大張力為F，選擇甲(或乙)物塊為研究對象，由牛頓第二定律，有

選項(xiàng)B、C正確.

點(diǎn)評(píng)兩物塊均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，考慮到兩物塊的加速度不同，通常是選用隔離法來處理.分別對甲、乙兩物塊，由牛頓第二定律，有μmg-F=mLω2，μmg+F=2mLω2.聯(lián)立求解，結(jié)果同上.比較可知，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律求角速度非常簡潔.

例4如圖6，在水平圓盤上放有質(zhì)量為m、m和2m可視為質(zhì)點(diǎn)的三個(gè)物體A、B、C，圓盤可繞中心軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，且角速度可調(diào)，三物與圓盤的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ.已知A、B、C三個(gè)物體與軸O共線，且OA=OB=BC=r，現(xiàn)將三個(gè)物體用輕質(zhì)細(xì)線相連，保持細(xì)線伸直且無張力，然后讓圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢的加速轉(zhuǎn)動(dòng)，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，取重力加速度為g，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，下列說法正確的是( ).

圖6

A.A所需要的向心力增加最快

解析在三個(gè)物體中，C所需要的向心力最大，即C所需要的向心力增加最快，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B、C間細(xì)線出現(xiàn)張力的條件是

2μmg<2m·2r·ω2

質(zhì)點(diǎn)系剛要滑動(dòng)時(shí)，物體A、B、C所受摩擦力均達(dá)最大值，此時(shí)，A所摩擦力方向一定背離圓心指向外側(cè).選取圖6中此時(shí)指向圓心向左的方向?yàn)槭噶空较?，由質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律，有

μmg+2μmg+μmg=mrω2+4mrω2-mrω2

綜上，無論是平動(dòng)連接體問題，還是轉(zhuǎn)動(dòng)連接體問題，在應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律建立方程的過程中，要通過變換、等效使加速度方向共線，簡化為一維情形.