近年來高考數(shù)學(xué)試題中概率與統(tǒng)計試題探析

黃鐘慧 廖小蓮

(湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院 417000)

在概率與統(tǒng)計客觀題和主觀題的解題中，我們通常要弄清楚所給題目所涉及到的概率類型是否與抽樣方法、互斥事件、獨立事件、古典概型、幾何概型等有關(guān)，針對不同的類型問題都有不同的解決方法，從而使未知變已知，來提高學(xué)生的解題效率.這些文獻(xiàn)主要探討利用概率的加法公式和概率的乘法公式求獨立事件的概率、利用古典概型和幾何概型的公式求古典概型和幾何概型的概率、利用表格數(shù)據(jù)求解平均值和方差并利用題干做出科學(xué)決策、利用計算分布列和數(shù)學(xué)期望作出科學(xué)決策、利用計算數(shù)據(jù)求出K2與臨界值表作對比并作出科學(xué)決策.通過閱讀文獻(xiàn)，我發(fā)現(xiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望是近幾年高考題目中概率與統(tǒng)計問題的熱點，這類問題主要考查學(xué)生理解題目的能力與思考問題能力，本文也有所體現(xiàn).在高考題中的概率與統(tǒng)計的選擇題中，通?？疾榈念}型有：抽樣方法、互斥事件、獨立事件、古典概型、幾何概型；在解答題中，通?？疾榈念}型有：樣本估計總體、獨立性檢驗、回歸方程、離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望值.

1 互斥事件與獨立事件的概率題型分析

一般地，事件A(或B)的發(fā)生不會影響事件B(或A)發(fā)生的概率，此時事件A和事件B稱作相互獨立事件，在一次隨機(jī)試驗中，事件A和事件B不能同時發(fā)生，則這兩個不能同時發(fā)生的事件叫做互斥事件.

例1(2021年全國Ⅰ卷理科第8題)有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次,每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則( ).

A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立

分析我們可以先寫出兩點數(shù)之和為8的基本事件，再寫出兩點數(shù)之和為7的基本事件.再根據(jù)獨立事件的概率公式求解.

小結(jié)本題考查事件獨立性的概念，易錯點在于考生獨立性事件概念理解不夠透徹，容易混淆獨立性概念與條件概率.

2 幾何概型與古典概型的概率題型分析

幾何概型的特點：(1)無限性，試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；(2)等可能性，每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概型.古典概型的特點：(1)有限性——試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；(2)等可能性——每個基本事件的出現(xiàn)可能性相等.

小結(jié)本題考查長度幾何概型的概率計算，可計算出基本事件與所要求事件所包含的長度、區(qū)域、面積、體積等，最后運用幾何概型的計算公式計算即可得出答案.

例3(2020年江蘇卷理科第4題)將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是____.

分析可以先寫出骰子先后拋擲2次點數(shù)之和所有的基本事件，再寫出點數(shù)之和為5的基本事件，最后利用古典概率的公式進(jìn)行計算.

解析設(shè)事件A為將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，骰子向上的點數(shù)之和為5.

小結(jié)本題考查古典概型的概率計算，可列舉出所有的基本事件，再從中數(shù)出滿足條件的基本事件的個數(shù)，最后利用古典概型的計算公式計算即可得出答案.

3 離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的概率題型分析

離散型隨機(jī)變量及其分布列可以一一列舉出隨機(jī)變量及其發(fā)生的概率，進(jìn)而得到概率分布列，有利于分析數(shù)據(jù)；相互獨立事件概率乘法公式可以反映獨立事件發(fā)生的概率；期望綜合了隨機(jī)變量的取值和取值范圍的概率，反映隨機(jī)變量的平均水平.

例4(2021年全國Ⅰ卷理科第18題)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答,若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題?并說明理由.

分析(1)通過理解隨機(jī)變量的分布列的定義和計算方法可以求出X的分布列；

(2)利用期望公式，分別求出回答A，B類問題的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)比較，作出決策.

解析(1)由題意得，A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分，那么X的所有可能取值為0，20，100.即

所以X的分布列為：

表1

(2)當(dāng)小明先選擇回答A類問題，由題意，得

E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.

當(dāng)小明先選擇回答B(yǎng)類問題，記Y為小明的總共得到的分?jǐn)?shù)，則Y的所有可能取值為0，80，100.

P(Y=0)=1-0.6=0.4，

P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12，

P(Y=100)=0.8×0.6=0.48，

所以Y的分布列為：

表2

E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.

因為57.6>54.4，所以E(X)

小結(jié)這道題考查分布列、期望并通過期望作出科學(xué)決策.針對求每一個隨機(jī)變量的概率從而得到分布列；針對求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的問題時，我們可以把分布列表格的數(shù)字，每一列相乘后相加即可求出數(shù)學(xué)期望.

概率與統(tǒng)計問題是高考數(shù)學(xué)中的重要考查內(nèi)容之一，我們需要牢牢掌握概率與統(tǒng)計方面相關(guān)的知識點.在解決概率統(tǒng)計問題時，我們首先要考慮這道題的類型，針對不同的類型有不同的解決方法.例如，在針對互斥事件、獨立事件的概率問題時，我們可以利用概率的加法和乘法公式解決這類問題.在針對離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的問題時，我們可以先理解X的含義，寫出X可能取得的所有值；其次求X取每個值的概率；再寫出X的分布列；最后根據(jù)分布列按照公式計算期望等.