郭凡逸， 孫志禮， 張勝男， 曹汝男

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 遼寧 沈陽 110819)

與傳統(tǒng)的剛性機(jī)構(gòu)相比，柔順機(jī)構(gòu)具有體積小、質(zhì)量輕、無裝配誤差、運(yùn)動(dòng)過程中無摩擦、無側(cè)隙等優(yōu)點(diǎn).因此，柔順機(jī)構(gòu)在醫(yī)療[1]、精密儀器[2]、快速伺服裝置[3]等許多應(yīng)用中得到了廣泛的應(yīng)用.柔順機(jī)構(gòu)由剛性模塊和柔順模塊串聯(lián)和并聯(lián)組成.為了實(shí)現(xiàn)大范圍的運(yùn)動(dòng)，位移放大器是柔順機(jī)構(gòu)中不可或缺的重要部分.

許多柔順機(jī)構(gòu)使用杠桿進(jìn)行位移的傳遞與放大[4].一些機(jī)構(gòu)采用多級(jí)杠桿的形式來增加放大率[5]，但這樣會(huì)增加機(jī)構(gòu)本身的復(fù)雜性.橋式機(jī)構(gòu)是一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的位移放大器[6-7].它具有緊湊的結(jié)構(gòu)以及高放大倍數(shù)，但是這種結(jié)構(gòu)也存在一些缺陷.集中質(zhì)量的存在將大大降低橋式機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能.菱形機(jī)構(gòu)作為一種特殊的橋式機(jī)構(gòu)，避免了集中質(zhì)量的問題[8].但無論機(jī)構(gòu)的約束條件是否改變，壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器會(huì)隨著機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象仍然存在.與橋式機(jī)構(gòu)相比，Scott-Russell機(jī)構(gòu)也存在類似的問題[9-10],這種位移放大機(jī)構(gòu)仍然具有集中質(zhì)量，從而導(dǎo)致較低的固有頻率.本文的微位移柔順放大機(jī)構(gòu)是一種無集中質(zhì)量的全柔順位移放大器[11]，在實(shí)現(xiàn)位移放大功能的同時(shí)又具有良好的動(dòng)態(tài)特性.

此外，關(guān)于柔順機(jī)構(gòu)的優(yōu)化也是研究的熱點(diǎn)問題.文獻(xiàn)[12]基于模糊邏輯的田口方法對(duì)位移放大比和一階固有頻率進(jìn)行了優(yōu)化.該方法彌補(bǔ)了田口法只能用于單目標(biāo)優(yōu)化的缺點(diǎn)，具有較快的收斂速度.遺傳算法也用于解決結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題[13]，該方法雖然可以直接搜索最優(yōu)參數(shù)，但求解時(shí)間較長(zhǎng).文獻(xiàn)[14-15]還提出了兩種基于響應(yīng)面法的優(yōu)化算法.該方法通過多項(xiàng)式擬合得到近似目標(biāo)函數(shù)，即求解多項(xiàng)式系數(shù)的過程.如果目標(biāo)函數(shù)的非線性程度較高，擬合出的響應(yīng)面會(huì)存在一些誤差，同時(shí)設(shè)計(jì)參數(shù)過多，也會(huì)增加響應(yīng)面擬合的困難.本文基于柔性梁的偽靜態(tài)模型建立了一種微位移柔順放大機(jī)構(gòu)參數(shù)化模型，并且得到了目標(biāo)函數(shù)的解析式.該解析模型包含了微位移柔順放大機(jī)構(gòu)的所有尺寸參數(shù)，通過模擬退火算法可以快速優(yōu)化其尺寸和形狀.同時(shí)考慮了負(fù)載與加工誤差因素，分析了輸出端存在負(fù)載時(shí)機(jī)構(gòu)在不同輸入位移下的放大率變化規(guī)律以及機(jī)構(gòu)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)處的加工誤差對(duì)輸出位移的影響.

1 柔性梁的動(dòng)剛度矩陣

微位移柔順放大機(jī)構(gòu)由一些柔性梁組合而成，將每根柔性梁當(dāng)作一個(gè)單元，則第i個(gè)柔性梁?jiǎn)卧诰植孔鴺?biāo)系下的受力與幾何尺寸如圖1所示.

圖1 柔性梁?jiǎn)卧氖芰εc幾何尺寸

柔性梁?jiǎn)卧衘，k兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有沿著x，y方向移動(dòng)和繞著z方向轉(zhuǎn)動(dòng)3個(gè)方向自由度.局部坐標(biāo)系下剛度矩陣為

(1)

對(duì)矩陣中的每個(gè)元素應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)展開：

(2)

那么節(jié)點(diǎn)力與位移的關(guān)系為

Fi=KiUi.

(3)

將梁兩端局部坐標(biāo)系下的力與位移分別轉(zhuǎn)化為參考坐標(biāo)系中的力和位移，則式(3)變?yōu)?/p>

(4)

(5)

(6)

其中：Ri是坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣；Pi是坐標(biāo)平移矩陣.則第i個(gè)梁?jiǎn)卧趨⒖甲鴺?biāo)系下的剛度矩陣為

(7)

將式(7)代入式(4)并將其改寫成分塊矩陣的形式：

(8)

圖2 局部坐標(biāo)系與參考坐標(biāo)系

2 微位移柔順放大機(jī)構(gòu)的偽靜態(tài)模型

位移放大機(jī)構(gòu)的模型如圖3所示，其工作原理是在輸入端輸入微小位移，通過組合柔性梁的變形在輸出端輸出放大后的位移.輸入、輸出位移都是沿著Y方向的，而X方向位移與Z方向的轉(zhuǎn)動(dòng)都是不需要的.因此將其設(shè)計(jì)成軸對(duì)稱形狀，從而消除輸出端的不必要的位移.

圖3 微位移柔順放大機(jī)構(gòu)

在進(jìn)行靜/動(dòng)態(tài)分析時(shí)，首先要將模型離散化.在本文中，將位移放大器離散成10根柔性梁，整個(gè)模型共有8個(gè)節(jié)點(diǎn)，由于節(jié)點(diǎn)I與A最后都等效到節(jié)點(diǎn)O(參考坐標(biāo)系原點(diǎn))上.機(jī)構(gòu)的受力分析如圖4所示.對(duì)于任意節(jié)點(diǎn)，其所受的合外力等于與其相連的梁施加在其上的力，依據(jù)此關(guān)系，列出整個(gè)模型的方程：

O節(jié)點(diǎn)模型方程為

(9)

B節(jié)點(diǎn)模型方程為

(10)

D節(jié)點(diǎn)模型方程為

(11)

E節(jié)點(diǎn)模型方程為

(12)

F節(jié)點(diǎn)模型方程為

(13)

H節(jié)點(diǎn)模型方程為

(14)

將方程(9)～(14)寫成矩陣的形式為

(15)

放大率Ar為

Ar=yout/yin.

(16)

3 結(jié)構(gòu)優(yōu)化

本文主要通過調(diào)整柔性梁的寬度與厚度來優(yōu)化機(jī)構(gòu)的放大率.優(yōu)化過程中改變其中某一柔性梁的尺寸參數(shù)，則與其對(duì)稱的柔性梁的尺寸參數(shù)也隨之改變，那么只需要優(yōu)化一半的模型，提高了計(jì)算效率，同時(shí)優(yōu)化后的模型仍然是嚴(yán)格對(duì)稱的.

圖4 微位移柔順放大機(jī)構(gòu)受力分析

機(jī)構(gòu)原始構(gòu)型尺寸參數(shù)如表1所示，假設(shè)材料各處的彈性模量都相同，E=71 GPa，密度ρ=2 810 kg/m3，泊松比μ=0.33，所有柔性梁的截面尺寸也都相同，ti=0.5 mm，wi=10 mm.在輸入端(節(jié)點(diǎn)O)輸入一定的力或位移，通過該柔順位移放大機(jī)構(gòu)，從輸出端(節(jié)點(diǎn)E)輸出放大后的位移.本機(jī)構(gòu)只放大Y方向的位移，X與Z方向的位移是不需要的，因此在輸入端只有輸入位移yin.

表1 微位移放大機(jī)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

各柔性梁的寬度wi變化是5.0～15.0 mm，無負(fù)載(Fout=0)時(shí)， 各柔性梁寬度對(duì)機(jī)構(gòu)放大率的影響如圖5所示.從圖中可看出，只有w5與放大率的關(guān)系是相反的，且其對(duì)放大率的影響也是最顯著的，其余參數(shù)與放大率都呈正向的關(guān)系；w1與w2對(duì)放大率的影響幾乎一致；w3與w4的曲線比較平穩(wěn)，它們的變化幾乎對(duì)放大率沒有影響.

圖5 各柔性梁?jiǎn)卧獙挾葘?duì)放大率的影響

各柔性梁的厚度ti變化是0.3～1.0 mm，無負(fù)載(Fout=0)時(shí)，各柔性梁厚度對(duì)機(jī)構(gòu)放大率的影響如圖6所示，圖6b為圖6a的局部放大圖.由圖可知，t5對(duì)放大率的影響是最顯著的；t1與t2對(duì)放大率的影響幾乎一致，t3與t4對(duì)放大率的影響也基本相同，放大率對(duì)這4個(gè)參數(shù)均不敏感.

圖6 各柔性梁?jiǎn)卧穸葘?duì)放大率的影響

優(yōu)化后，各柔性梁?jiǎn)卧叽缛绫?所示.

表2 柔性梁?jiǎn)卧叽?/p>

優(yōu)化后的模型與原始模型輸出位移對(duì)比如圖7所示.優(yōu)化后機(jī)構(gòu)的輸出位移與原始模型相比有了明顯的提高.可以看出隨著輸入位移的增加，有限元仿真的結(jié)果與理論結(jié)果差距越來越大，這是由于偽靜態(tài)模型忽略了梁變形時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)力剛化效應(yīng).但是在輸入位移較小時(shí)，梁的變形也較小，這種應(yīng)力剛化效應(yīng)并不顯著，所以理論模型仍然是準(zhǔn)確的.

圖7 優(yōu)化模型與原始模型輸出位移對(duì)比

當(dāng)輸入位移xin=10 μm與負(fù)載Fout=0時(shí)，原始模型與優(yōu)化模型的位移放大率如表3所示.

表3 優(yōu)化模型與原始模型放大率對(duì)比

放大率隨負(fù)載的變化如圖8所示.負(fù)載與放大率呈線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，而且當(dāng)輸入位移越小，這種負(fù)相關(guān)越明顯.隨著輸出位移的增加，負(fù)載對(duì)放大率的影響逐漸減小.

圖8 放大率與負(fù)載的關(guān)系

4 加工誤差對(duì)輸出位移的影響

當(dāng)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)存在加工誤差時(shí)，柔順位移放大機(jī)構(gòu)也將不再完全對(duì)稱，輸出端將產(chǎn)生兩個(gè)額外方向的位移xout與θout.假設(shè)節(jié)點(diǎn)D的加工誤差為ΔxD與ΔyD，節(jié)點(diǎn)F的加工誤差為ΔxF與ΔyF，那么相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)D與節(jié)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(xD+ΔxD，yD+ΔyD)與(xF+ΔxF，yF+ΔyF)，假設(shè)ΔxD=ΔxF且ΔyD=ΔyF，那么由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱關(guān)系，節(jié)點(diǎn)D與節(jié)點(diǎn)F的加工誤差對(duì)輸出位移的影響程度是完全一致的，因此只需要研究一半的模型加工誤差對(duì)輸出位移的影響.為了研究不同節(jié)點(diǎn)的加工誤差對(duì)輸出位移影響程度，故將各節(jié)點(diǎn)在X與Y方向的加工誤差限制在±50 μm.

假設(shè)節(jié)點(diǎn)j的原始坐標(biāo)為(xj，yj)，當(dāng)節(jié)點(diǎn)j存在加工誤差Δxj與Δyj，那么節(jié)點(diǎn)j的坐標(biāo)表示為

(17)

相應(yīng)地，柔性梁?jiǎn)卧膸缀螀?shù)也會(huì)發(fā)生改變，表4表示加工誤差存在時(shí)，各柔性梁?jiǎn)卧膸缀螀?shù)變化.

表4 梁?jiǎn)卧獛缀螀?shù)

當(dāng)輸入位移yin=10 μm且負(fù)載為0時(shí)，優(yōu)化模型的節(jié)點(diǎn)A，B，C，D，E的加工誤差對(duì)輸出位移的影響如圖9所示.實(shí)線代表xout，虛線代表θout.首先，加工誤差與輸出位移近似呈線性關(guān)系，且誤差的增大必然導(dǎo)致輸出位移的增大，但方向不同.當(dāng)直線斜率為正時(shí)，表明X方向上誤差增加的方向與輸出位移增加的方向一致；當(dāng)直線的斜率為負(fù)時(shí)，表示X方向上誤差增加的方向與輸出位移增加的方向相反.當(dāng)三角形點(diǎn)在頂部時(shí)，說明Y方向上的加工誤差的增加方向與輸出位移的增加方向一致.當(dāng)正方形點(diǎn)在頂部時(shí)，表示Y方向上的加工誤差的增加方向與輸出位移的增加方向相反.在圖9e中三條線是堆疊在一起的，這說明無論ΔyE如何變化，都不會(huì)產(chǎn)生xout與θout. 這是由于ΔyE的變化并不會(huì)影響結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性.值得注意的是，直線的斜率大小并不能作為對(duì)于加工誤差影響程度的判據(jù)，因?yàn)楦髯鴺?biāo)軸的單位不同.由圖可知，ΔxE對(duì)θout的影響是最大的；ΔxD對(duì)xout的影響最大.

圖9 加工誤差與輸出位移的關(guān)系

5 固有頻率

柔順放大機(jī)構(gòu)的整體動(dòng)態(tài)剛度矩陣G如式(15)所示，通過求解矩陣行列式得到結(jié)構(gòu)的固有頻率：

det(G)=0

(18)

優(yōu)化模型的前三階固有頻率如表5所示.通過比較結(jié)果可以看出，這種偽靜態(tài)模型可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)模型的固有頻率，且相對(duì)誤差小于1%.前三階固有頻率所對(duì)應(yīng)的振型如圖10所示.由于本位移放大機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方向是沿著Y軸的，所以1階與3階固有頻率為主運(yùn)動(dòng)方向的頻率，也是可能產(chǎn)生共振的頻率.而2階振型是沿著x軸振動(dòng)，因此在沿著Y軸的激勵(lì)下，該振型并不會(huì)被激發(fā).

表5 優(yōu)化模型的固有頻率

圖11 優(yōu)化模型的振型

6 結(jié) 論

1) 基于動(dòng)剛度矩陣與矩陣位移法建立了微位移柔順放大機(jī)構(gòu)的偽靜態(tài)參數(shù)化模型，同時(shí)也得到了放大率的解析式.以放大率為目標(biāo)，通過模擬退火算法優(yōu)化柔性梁的厚度與寬度，得到了一種新的機(jī)構(gòu)，這種機(jī)構(gòu)的放大率相比原始構(gòu)型提高了9%，同時(shí)這種機(jī)構(gòu)的固有頻率達(dá)到了409 Hz.

2) 隨著負(fù)載的增加，機(jī)構(gòu)的放大率逐漸降低；當(dāng)輸入位移增加時(shí)，負(fù)載對(duì)機(jī)構(gòu)放大率的影響減弱.節(jié)點(diǎn)的加工誤差使機(jī)構(gòu)的輸出端產(chǎn)生額外兩個(gè)方向的位移，且機(jī)構(gòu)的頂點(diǎn)與輸出端的X方向加工誤差對(duì)輸出位移的影響最大.