李博強(qiáng)，劉開培，林 焱，彭雅潔，黃道姍，林 芳，秦 亮

(1.武漢大學(xué)電氣與自動化學(xué)院，湖北 武漢 430072；2.國網(wǎng)福建省電力有限公司電力科學(xué)研究院，福建 福州 350007)

隨著電力電子設(shè)備與沖擊性負(fù)荷等非線性元件大規(guī)模接入配電網(wǎng)，配電網(wǎng)中的間諧波問題日益嚴(yán)重[1-4]。上述非線性元件大多并聯(lián)接入配電網(wǎng)，其產(chǎn)生的間諧波能夠引起并聯(lián)諧振，造成諧振過電壓、電力設(shè)備發(fā)熱燒毀等諸多問題[5-7]。因此對配電網(wǎng)的并聯(lián)諧振研究具有重要實際意義。

國內(nèi)外學(xué)者對并聯(lián)諧振進(jìn)行了大量的研究，其中阻抗頻譜分析法與模態(tài)分析法被廣泛應(yīng)用。阻抗頻譜分析法是一種傳統(tǒng)有效的并聯(lián)諧振分析方法[8-10]，能夠準(zhǔn)確地識別并聯(lián)諧振頻率，但是無法挖掘出更多的并聯(lián)諧振信息。目前，頻譜分析法主要應(yīng)用于配電網(wǎng)對地參數(shù)的測量中[11-12]，而在配電網(wǎng)并聯(lián)諧振分析的應(yīng)用較少。模態(tài)分析法通過“解耦”算法對節(jié)點導(dǎo)納矩陣或節(jié)點阻抗矩陣的特征值及特征向量進(jìn)行分析，能夠挖掘更多的配電網(wǎng)并聯(lián)諧振信息，近年來被廣泛應(yīng)用于配電網(wǎng)的并聯(lián)諧振分析中[13-15]。文獻(xiàn)[16]提出了基于模態(tài)分析法的并聯(lián)諧振分析方法，闡述了如何根據(jù)節(jié)點阻抗矩陣的特征值與特征向量得到配電網(wǎng)的并聯(lián)諧振信息；文獻(xiàn)[17]在此基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)節(jié)點分析法，解決了含有獨立恒壓源支路情況的并聯(lián)諧振分析問題；文獻(xiàn)[18]基于模態(tài)分析法，通過靈敏度分析方法量化了配電網(wǎng)元件對并聯(lián)諧振的貢獻(xiàn)程度；文獻(xiàn)[19]通過模態(tài)靈敏度分析方法對五母線測試系統(tǒng)進(jìn)行了并聯(lián)諧振靈敏度分析，發(fā)現(xiàn)不同位置的配電網(wǎng)元件對并聯(lián)諧振的貢獻(xiàn)程度具有顯著差異。

在間諧波源接入位置確定的情況下，計入間諧波源對地導(dǎo)納不會增加并聯(lián)諧振分析步驟。因此，為了盡可能地保證并聯(lián)諧振分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，并聯(lián)諧振分析需要計入配電網(wǎng)已有間諧波源的對地導(dǎo)納。因為生產(chǎn)需要，配電網(wǎng)存在待接入的間諧波源，這部分間諧波源接入位置并不確定，所以在并聯(lián)諧振分析中需要根據(jù)間諧波源的實際接入情況進(jìn)行節(jié)點導(dǎo)納矩陣的修正。修正節(jié)點導(dǎo)納矩陣較大程度地增加了并聯(lián)諧振分析步驟。因為間諧波源對地導(dǎo)納很小，所以在傳統(tǒng)并聯(lián)諧振分析中一般以理想電流源為間諧波源[16-17]，忽略了間諧波源對地導(dǎo)納，減少了并聯(lián)諧振分析步驟。盡管間諧波源對地導(dǎo)納幅值很小，直觀地看，忽略間諧波源對地導(dǎo)納不會對配電網(wǎng)節(jié)點導(dǎo)納矩陣造成明顯的影響，但是如果間諧波源對地導(dǎo)納對并聯(lián)諧振的貢獻(xiàn)程度較大，即使間諧波源對地導(dǎo)納很小，也可能明顯影響配電網(wǎng)并聯(lián)諧振。因此，在并聯(lián)諧振分析中忽略間諧波源對地導(dǎo)納存在著使并聯(lián)諧振分析結(jié)果準(zhǔn)確性嚴(yán)重下降的風(fēng)險。

為探究計入間諧波源對地導(dǎo)納對并聯(lián)諧振分析的重要性，本文開展間諧波源對地導(dǎo)納對配電網(wǎng)并聯(lián)諧振影響研究。本文基于IEEE 33節(jié)點配電網(wǎng)模型建立并聯(lián)諧振測試系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)特定節(jié)點處間諧波源對地導(dǎo)納能夠明顯影響并聯(lián)諧振的現(xiàn)象。本文通過阻抗偏移評價間諧波源對地導(dǎo)納對配電網(wǎng)并聯(lián)諧振的影響程度，并進(jìn)行靈敏度分析，通過比較阻抗偏移與靈敏度分析結(jié)果，發(fā)現(xiàn)特定節(jié)點處的間諧波源對地導(dǎo)納虛部對并聯(lián)諧振的貢獻(xiàn)程度較高，解釋間諧波源對地導(dǎo)納能夠明顯影響并聯(lián)諧振的原因，證明并聯(lián)諧振分析計入間諧波源對地導(dǎo)納的必要性。

1 模態(tài)分析法

1.1 基于模態(tài)分析法的并聯(lián)諧振頻率識別

相較于傳統(tǒng)的頻譜分析法，模態(tài)分析法在識別并聯(lián)諧振頻率外還能夠挖掘更多的并聯(lián)諧振信息，如節(jié)點激勵諧振能力與觀測諧振能力[16-17]。因此，本文選用模態(tài)分析法開展研究。

在特定頻率下，定義節(jié)點阻抗矩陣對角化分解得到的特征值對角矩陣為模態(tài)阻抗矩陣。

(1)

式中h為頻率次數(shù)；n為配電網(wǎng)節(jié)點個數(shù)；Z(h)為頻率次數(shù)h下的節(jié)點阻抗矩陣，Ω；L(h)為頻率次數(shù)h下的左特征向量矩陣；λ(h)為頻率次數(shù)h下的模態(tài)阻抗矩陣，Ω；R(h)為頻率次數(shù)h下的右特征向量矩陣。其中，左特征向量矩陣L(h)與右特征向量矩陣R(h)的表達(dá)式分別為

(2)

(3)

式中Lm(h)、Ln(h)分別為頻率次數(shù)h下模態(tài)m、n的左特征向量；Rm(h)、Rn(h)分別為頻率次數(shù)h下模態(tài)m、n的右特征向量。

模態(tài)阻抗矩陣λ(h)為對角矩陣，每個主對角元表示一個模態(tài)阻抗，模態(tài)的個數(shù)與節(jié)點阻抗矩陣的階數(shù)一致。λ(h)的表達(dá)式為

λ(h)=diag(λ1(h),…,λm(h),…,λn(h))

(4)

式中λm(h)、λn(h)分別為頻率次數(shù)h下模態(tài)m、n的模態(tài)阻抗，Ω。

特定頻率下，配電網(wǎng)節(jié)點注入電流與節(jié)點電壓間滿足：

(5)

將式(5)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

(6)

(7)

由式(7)可知，模態(tài)分析法實現(xiàn)了各個模態(tài)之間的“解耦”，并聯(lián)諧振分析可以從各個模態(tài)的角度開展。在不同頻率下，如果將模態(tài)阻抗幅值最大的模態(tài)定義為關(guān)鍵模式，可以根據(jù)關(guān)鍵模式模態(tài)阻抗幅頻特性曲線，以曲線極大值的頻率為并聯(lián)諧振頻率，實現(xiàn)并聯(lián)諧振頻率的識別。

1.2 關(guān)鍵模式模態(tài)阻抗靈敏度分析

關(guān)鍵模式模態(tài)阻抗對配電網(wǎng)元件參數(shù)的靈敏度能夠反映配電網(wǎng)元件對并聯(lián)諧振的貢獻(xiàn)程度。

頻率次數(shù)h下的配電網(wǎng)節(jié)點導(dǎo)納矩陣對角化分解結(jié)果為

(8)

式中Y(h)為頻率次數(shù)h下的節(jié)點導(dǎo)納矩陣，S；Λ(h)為頻率次數(shù)h下的模態(tài)導(dǎo)納矩陣，S。

Λ(h)與λ(h)為互逆矩陣，Λ(h)表達(dá)式為

Λ(h)=diag(Λ1(h),…,Λm(h),…,Λn(h))

(9)

式中Λm(h)為頻率次數(shù)h下模態(tài)m的模態(tài)導(dǎo)納，S。

假設(shè)某一導(dǎo)納元件并聯(lián)接入配電網(wǎng)，在頻率次數(shù)h下其參數(shù)表達(dá)為

α(h)=G(h)+jB(h)

(10)

式中α(h)為導(dǎo)納參數(shù)，S；G(h)為α(h)實部，S；B(h)為α(h)虛部，S。

假設(shè)配電網(wǎng)并聯(lián)諧振的頻率次數(shù)為f，關(guān)鍵模式為模態(tài)i，根據(jù)文獻(xiàn)[18-19]可以得到關(guān)鍵模式模態(tài)導(dǎo)納幅值的靈敏度表達(dá)式為

(11)

其中，

(12)

式(11)、(12)中Si(f)為Λi(f)對α(f)的靈敏度；Rik(f)為頻率次數(shù)為f、模態(tài)i下節(jié)點k對應(yīng)的右特征向量元素；Lik(f)為頻率次數(shù)為f、模態(tài)i下節(jié)點k對應(yīng)的左特征向量元素；Sr(f)為Si(f)的實部；Sj(f)為Si(f)虛部；Λr(f)為Λi(f)的實部，S；Λj(f)為Λi(f)的虛部，S。

最終根據(jù)λi(f)與Λi(f)之間的倒數(shù)關(guān)系，可以得到關(guān)鍵模式模態(tài)阻抗幅值|λi(f)|對導(dǎo)納元件參數(shù)的歸一化靈敏度，即

(13)

式中SG為|λi(f)|對G(f)的歸一化靈敏度；SB為|λi(f)|對B(f)的歸一化靈敏度。

2 間諧波源對地導(dǎo)納對配電網(wǎng)并聯(lián)諧振影響分析

2.1 并聯(lián)諧振測試系統(tǒng)建立

為了開展間諧波源對地導(dǎo)納對配電網(wǎng)并聯(lián)諧振影響研究，本文以IEEE 33節(jié)點配電網(wǎng)模型為基礎(chǔ)[20]，建立并聯(lián)諧振測試系統(tǒng)，如圖1所示，0號節(jié)點為系統(tǒng)電源接入點，不接入間諧波源，0號節(jié)點外其他節(jié)點的負(fù)載均采用電阻電感串聯(lián)模型。并聯(lián)諧振測試系統(tǒng)的元件基頻參數(shù)如表1所示。

圖1 并聯(lián)諧振測試系統(tǒng)Figure 1 Parallel resonance test system

表1 并聯(lián)諧振測試系統(tǒng)基頻參數(shù)Table 1 Fundamental frequency parameters of parallel resonance test system

本文以交流電弧爐為接入并聯(lián)諧振測試系統(tǒng)的間諧波源，依據(jù)文獻(xiàn)[21]中的交流電弧爐模型，間諧波源并聯(lián)支路的基頻阻抗參數(shù)如表2所示。

表2 間諧波源內(nèi)阻抗基頻參數(shù)Table 2 Inter-harmonic source internal impedance fundamental frequency parameter Ω

2.2 間諧波源對地導(dǎo)納對并聯(lián)諧振影響現(xiàn)象

本文在研究過程中，以并聯(lián)諧振測試系統(tǒng)中存在一個接入位置變化的間諧波源為例，在不同接入位置的條件下，分析間諧波源對地導(dǎo)納對配電網(wǎng)并聯(lián)諧振的影響。考察的并聯(lián)諧振頻率范圍為0～12.5 p.u.。

在未接入間諧波源時，配電網(wǎng)的基頻節(jié)點導(dǎo)納矩陣形式為

(14)

當(dāng)僅在節(jié)點k接入間諧波源時，修正后的配電網(wǎng)基頻節(jié)點導(dǎo)納矩陣為

(15)

式中YH(1)為基頻下的間諧波源對地導(dǎo)納，S。

通過表2可知，間諧波源的內(nèi)阻抗幅值較大，因此其對地導(dǎo)納的實部與虛部都很小，修正后的節(jié)點導(dǎo)納矩陣與原節(jié)點導(dǎo)納矩陣相比差別很小。直觀地看，間諧波源對地導(dǎo)納不會對配電網(wǎng)并聯(lián)諧振產(chǎn)生明顯影響。

本文以忽略間諧波源對地導(dǎo)納的關(guān)鍵模式模態(tài)阻抗幅頻特性為基準(zhǔn)曲線，然后將間諧波源依次接在5、9、17號節(jié)點上，將3種間諧波源接入情況對應(yīng)的幅頻特性曲線與基準(zhǔn)曲線作對比，對比結(jié)果如圖2所示。

根據(jù)圖2可以得到4條曲線對應(yīng)的并聯(lián)諧振頻率分別為：f1=9.5 p.u.、f2=9.6 p.u.、f3=10.4 p.u.、f4=10.9 p.u.。當(dāng)5號節(jié)點接入間諧波源時，其對應(yīng)的幅頻特性曲線與基準(zhǔn)曲線之間幾乎沒有偏差，間諧波源對地導(dǎo)納沒有對配電網(wǎng)并聯(lián)諧振造成明顯影響。然而，當(dāng)間諧波源接入到17號節(jié)點時，其對應(yīng)的幅頻特性曲線與基準(zhǔn)曲線之間出現(xiàn)了明顯的偏差，此情況說明盡管間諧波源對地導(dǎo)納很小，但是在特定節(jié)點處仍然能夠明顯影響并聯(lián)諧振。這一現(xiàn)象反映出了計入間諧波源對地導(dǎo)納對保證并聯(lián)諧振分析結(jié)果準(zhǔn)確性的意義。

2.3 關(guān)鍵模式模態(tài)阻抗靈敏度分析

本文將通過靈敏度分析解釋間諧波源對地導(dǎo)納能夠?qū)ε潆娋W(wǎng)并聯(lián)諧振產(chǎn)生明顯影響的原因。

由圖2的基準(zhǔn)曲線可以得出，不計入間諧波源對地導(dǎo)納時，并聯(lián)諧振測試系統(tǒng)的并聯(lián)諧振頻率f1=9.5 p.u.。在不同的間諧波源接入情況下，根據(jù)式(13)能夠計算得到f=9.5 p.u.條件下的SG與SB。

同時，本文在此處定義阻抗偏移，以阻抗偏移為評價間諧波源對地導(dǎo)納對配電網(wǎng)并聯(lián)諧振影響程度的指標(biāo)。阻抗偏移的表達(dá)式為

Δ|λ|=(|λ0i(f)|-|λki(f)|)/|λki(f)|

(16)

式中 |λ0i(f)|為當(dāng)不計入間諧波源對地導(dǎo)納時，在頻率次數(shù)為f情況下的關(guān)鍵模式模態(tài)阻抗幅值，Ω；|λki(f)|為當(dāng)在節(jié)點k接入間諧波源并計入間諧波源對地導(dǎo)納，在頻率次數(shù)為f情況下的關(guān)鍵模式模態(tài)阻抗幅值，Ω。

在不同的間諧波源接入節(jié)點條件下，SG、SB及Δ|λ|的分布結(jié)果如圖3所示。

圖3 靈敏度與阻抗偏移分布對比Figure 3 Comparison of sensitivity and impedance deviation distribution

由圖3可知，不論間諧波源接入點如何變化，SG始終趨近于0，可以說明間諧波源對地導(dǎo)納的實部幾乎不會對并聯(lián)諧振造成影響。當(dāng)間諧波源接入點為14號節(jié)點時，SB=0.762 2，取到最大值。本文以14號節(jié)點處的SB為基值，對各節(jié)點間諧波源對地導(dǎo)納歸一化靈敏度進(jìn)行標(biāo)幺化處理，標(biāo)幺值結(jié)果如表3所示。

表3 間諧波源對地導(dǎo)納虛部歸一化靈敏度標(biāo)幺值結(jié)果Table 3 Results of normalized sensitivity per unit of admittanceimaginarypart of the inter-harmonic sources to ground

本文以各節(jié)點間諧波源對地導(dǎo)納歸一化靈敏度標(biāo)幺值為評價間諧波源對地導(dǎo)納對并聯(lián)諧振貢獻(xiàn)程度的量化指標(biāo)。當(dāng)間諧波源接入點為1～6號節(jié)點及18～32號節(jié)點時，SB的標(biāo)幺值在0～0.25之間，對地導(dǎo)納虛部對配電網(wǎng)并聯(lián)諧振貢獻(xiàn)程度極小。此時，|Δ|λ||極小，對地導(dǎo)納虛部對并聯(lián)諧振幾乎沒有影響，該情況對應(yīng)的幅頻特性曲線(如圖2中5號節(jié)點)與基準(zhǔn)曲線之間的偏差極小。當(dāng)間諧波源接入點為7號節(jié)點時，SB的標(biāo)幺值在0.25～0.5之間，間諧波源對地導(dǎo)納對配電網(wǎng)并聯(lián)諧振的貢獻(xiàn)程度較小。當(dāng)間諧波源接入點在8～11號節(jié)點時，SB的標(biāo)幺值在0.5～0.75之間，間諧波源對地導(dǎo)納虛部對并聯(lián)諧振的貢獻(xiàn)程度較大，在這種間諧波源接入情況下，|Δ|λ||較大，該情況對應(yīng)的幅頻特性曲線(如圖2中9號節(jié)點)與基準(zhǔn)曲線之間的偏差較大。當(dāng)間諧波源接入點在12-17號節(jié)點時，SB的標(biāo)幺值增大到0.75～1.0的范圍內(nèi)，盡管對地導(dǎo)納虛部較小，但對并聯(lián)諧振的貢獻(xiàn)程度極大，此時|Δ|λ||增大到0.7～1.3的范圍內(nèi)，該情況對應(yīng)的幅頻特性曲線(如圖2中的17號節(jié)點)與基準(zhǔn)曲線之間出現(xiàn)了明顯偏差。

3 分析結(jié)果驗證

3.1 間諧波源對地導(dǎo)納對并聯(lián)諧振影響驗證

根據(jù)文2.3節(jié)的結(jié)果，當(dāng)在17號節(jié)點接入間諧波源時，SG=-0.008 3，SB=0.702 0，Δ|λ|=1.181 1，f4=10.9 p.u.，間諧波源對地導(dǎo)納能夠?qū)ε潆娋W(wǎng)并聯(lián)諧振產(chǎn)生明顯影響。本文以17號節(jié)點接入間諧波源情況為例，驗證間諧波源對地導(dǎo)納對配電網(wǎng)并聯(lián)諧振的影響。

當(dāng)17號節(jié)點接入間諧波源時，基于傳統(tǒng)的阻抗頻譜分析法可以對17號節(jié)點的自阻抗進(jìn)行頻譜分析，通過比較不計入對地導(dǎo)納與計入對地導(dǎo)納情況的自阻抗頻譜分析結(jié)果，可以驗證間諧波源對地導(dǎo)納是否對配電網(wǎng)并聯(lián)諧振產(chǎn)生明顯影響。17號節(jié)點自阻抗頻譜分析結(jié)果如圖4所示。

圖4 自阻抗頻譜分析Figure 4 Self-impedance spectrum analysis

由圖4可知，在不計入對地導(dǎo)納與計入對地導(dǎo)納時，并聯(lián)諧振頻率分別為f1=9.5 p.u.、f4=10.9 p.u.，與圖2的結(jié)果相吻合。頻譜分析結(jié)果反映出間諧波源對地導(dǎo)納能夠使并聯(lián)諧振頻率發(fā)生明顯偏移，這驗證了間諧波源對地導(dǎo)納能夠?qū)ε潆娋W(wǎng)并聯(lián)諧振產(chǎn)生明顯影響。

3.2 間諧波源對地導(dǎo)納影響并聯(lián)諧振原因驗證

為驗證間諧波源對地導(dǎo)納影響并聯(lián)諧振的主要原因是間諧波源對地導(dǎo)納的虛部，并且實部對并聯(lián)諧振幾乎沒有影響，分別繪制不計入對地導(dǎo)納、只計入對地導(dǎo)納實部不計入虛部、只計入對地導(dǎo)納虛部不計入實部、同時計入對地導(dǎo)納實部與虛部4種情況對應(yīng)的關(guān)鍵模式模態(tài)阻抗的幅頻特性曲線，結(jié)果如圖5所示。

圖5 幅頻特性曲線對比圖2Figure 5 Comparison chart (2) of amplitude-frequency characteristic curve

由圖5可知，間諧波源對地導(dǎo)納實部對并聯(lián)諧振的影響程度很小，并且不會使并聯(lián)諧振頻率發(fā)生偏移。而計入間諧波源對地導(dǎo)納虛部，幅頻特性曲線與基準(zhǔn)曲線相比有明顯的偏移，并聯(lián)諧振頻率發(fā)生了明顯的變化。這驗證了間諧波源對地導(dǎo)納的虛部是影響并聯(lián)諧振的主要原因，實部幾乎不影響并聯(lián)諧振。

4 結(jié)語

本文發(fā)現(xiàn)了間諧波源對地導(dǎo)納能夠明顯影響配電網(wǎng)并聯(lián)諧振的現(xiàn)象，通過靈敏度分析對其原因進(jìn)行了研究，得到了如下結(jié)論：

1)盡管間諧波源對地導(dǎo)納幅值很小，但是特定節(jié)點處的間諧波源對地導(dǎo)納能夠?qū)ε潆娋W(wǎng)并聯(lián)諧振產(chǎn)生明顯影響；

2)特定節(jié)點處SB較大，間諧波源對地導(dǎo)納虛部對并聯(lián)諧振的貢獻(xiàn)程度較大，這是間諧波源對地導(dǎo)納虛部能夠明顯影響并聯(lián)諧振的主要原因；

3)各節(jié)點處SG均趨近于0，間諧波源對地導(dǎo)納實部幾乎不影響并聯(lián)諧振；

4)忽略間諧波源對地導(dǎo)納使并聯(lián)諧振分析結(jié)果準(zhǔn)確性嚴(yán)重下降的風(fēng)險真實存在，在配電網(wǎng)并聯(lián)諧振分析的工程實踐中，針對待接入的間諧波源，計入其對地導(dǎo)納并根據(jù)其可能的接入情況進(jìn)行節(jié)點導(dǎo)納矩陣修正對保證并聯(lián)諧振分析結(jié)果的準(zhǔn)確性具有重要意義；

5)間諧波源對地導(dǎo)納對配電網(wǎng)并聯(lián)諧振的影響與間諧波源接入位置有關(guān)，在工程實踐中可以通過選擇合理的間諧波源接入位置避免配電網(wǎng)并聯(lián)諧振發(fā)生。