張小紅，胡青青，王敬前，李小南

(1.陜西科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710021;2.陜西科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院,陜西 西安 710021;3.西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,陜西 西安 710071)

不確定性普遍存在, 也是許多學(xué)科關(guān)注的焦點。 概率論、 模糊集理論、 粗糙集理論等均是研究不確定性的數(shù)學(xué)理論[1-3], 而Heisenberg(海森堡)于1927年提出的不確定性原理(uncertainty principle)描繪了微觀世界的不確定性， 是量子力學(xué)的基礎(chǔ)[4-5]。 同時, 不確定性也是人工智能關(guān)注的核心問題之一[6]。 張鈸院士指出[7]: “要大力發(fā)展數(shù)據(jù)驅(qū)動和知識驅(qū)動融合的第三代人工智能”； 徐宗本院士最近也指出[8]: “新一代AI 必須深入研究知識推理與數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)的融合問題”, 而研究人類的知識表示必然要面對人類知識的不確定性。

模糊集的核心是程度化思想, 它用隸屬函數(shù)表達(dá)對象隸屬于模糊概念的程度; 而粗糙集基于知識粒的思想, 借助上、 下近似算子利用已有的“基本知識”(知識粒)來表達(dá)不確定性概念。 加拿大著名學(xué)者Y. Y. Yao教授在深入研究粗糙集(特別是決策粗糙集)的基礎(chǔ)上, 逐步建立起一套嶄新的理論, 稱為三支決策(three-way decision)理論[9-11]。 最初, “三支”源自粗糙集理論中的正域、 負(fù)域和邊界域的概念, 而現(xiàn)在三支決策理論中的“三支”具有更加廣泛的含義。 三支決策是一種符合人類認(rèn)知的決策模式, 它認(rèn)為: 人們在實際決策過程中, 對于具有充分把握接受或拒絕的事物能夠立即作出快速的判斷; 對于那些不能立即作出決策的事物, 人們往往會推遲對事物的判斷, 即延遲決策。 三支決策理論已得到廣泛而深入的研究, 它不僅是一種決策方法, 更是三元思維的哲學(xué), 是三分而治的思維范式, 是解決不確定性問題的新思路和新方法[12-15]。Y. Y. Yao還在文獻(xiàn)[16]中用大量生動的幾何元素和結(jié)構(gòu)闡釋了三支決策的豐富內(nèi)涵及其對AI的方法論指導(dǎo)意義。

本文將多種廣義模糊集(包括格值模糊集、直覺模糊集[17]、部分模糊集[18-19]、中智集[20-21]等)和三支決策的三分而治思想結(jié)合起來,首次提出三支模糊集的概念,系統(tǒng)研究其基本運算及性質(zhì),分析它與相關(guān)概念和理論的聯(lián)系與區(qū)別,并著重討論三支模糊集的典型應(yīng)用(由于內(nèi)容較多,將分I、II、III等多篇論文陸續(xù)發(fā)表)。

1 預(yù)備知識

首先回顧本文將用到的若干基本概念和術(shù)語。

設(shè)L是非空集合,≤是L上的二元關(guān)系,如果≤滿足自反性、反對稱性和傳遞性,則稱(L, ≤)是偏序集。對于偏序集(L, ≤),如果?a,b∈L,其上確界(記為a∨b)與下確界(a∧b)都存在,則稱(L, ≤)是一個格。如果格(L, ≤)有最小元和最大元,則稱(L, ≤)是有界格, 通常記為(L,∨,∧,0, 1),其中最小元、最大元分別記為0、 1。 任意子集都有上、 下確界的格稱為完備格。 顯然, 完備格必是有界格。 上、 下確界運算滿足分配律的格稱為分配格, 這里分配律指有限分配律(即對于有限個元素來說∨、 ∧的雙向分配律成立)。

設(shè)L是有界分配格,h:L→L是L上的一元運算且滿足:?a,b∈L,h(h(a))=a,h(a∨b)=h(a)∧h(b),h(a∧b)=h(a)∨h(b),則稱L為De Morgan代數(shù)。易知De Morgan代數(shù)中h是逆合映射(逆序?qū)蠈?yīng))。

定義1[22]設(shè)(L, ∨, ∧, 0, 1)是有界格， 符號′是M上的一元運算,稱(L,∨,∧,′, 0, 1)是廣義De Morgan代數(shù)(或GM-代數(shù)),如果滿足下列條件:?x,y∈L,

GM1:x=(x′)′;

GM2: (x∧y)′=x′∨y′;

GM3: 1′=0。

廣義De Morgan代數(shù)不必是分配格。

定義2設(shè)X,Y是非空集合, 若存在X的非空子集A, 有A到Y(jié)的映射f:A→Y, 則稱f是X到Y(jié)的部分映射。 此時, 若x∈X-A, 稱f在x處無定義。

注1在許多文獻(xiàn)中都使用部分映射、部分函數(shù)、部分運算等術(shù)語[23-26],其含義有細(xì)微差別,為避免混淆,本文采用上述嚴(yán)格定義。

定義3[17, 27]設(shè)U為論域(經(jīng)典集合), (L,∨,∧)是一個格，則映射A:U→L稱為集合U上的格值模糊集。當(dāng)L=[0, 1]時,格值模糊集A:U→L就是U上的Zadeh模糊集。當(dāng)L=L*={(x,y)∈ [0, 1]2|x+y≤1}時,其上的序關(guān)系如下定義:?(x1,y1),(x2,y2)∈L*,(x1,y1)≤(x2,y2)?x1≤x2且y1≥y2,格值模糊集A:U→L就是U上的直覺模糊集。

定義4[3]設(shè)U為論域、R是論域U上的等價關(guān)系,稱(U,R)為近似空間。用U/R表示由等價關(guān)系R確定的U的劃分。若X?U,分別稱集合

定義7[11]設(shè)U為論域,X,Y,Z?U。三元組〈X,Y,Z〉稱為論域U上的一個三劃分,如果滿足以下3個條件:

1)X∪Y∪Z=U;

2)X≠?,Y≠?,Z≠?;

3)X∩Y=?,X∩Z=?,Y∩Z=?。

2 三支模糊集及其基本運算

2.1 三支模糊集合的定義

定義8設(shè)U是非空集合(論域),L、M、N是格。三個部分映射

f:U→L,g:U→M,h:U→N

組成的整體〈f,g,h〉稱為一個三支模糊集(簡記為TFS)。通常用大寫字母A、B、C等表示三支模糊集。一個三支模糊集A可表示為:

A={〈x,fA(x),gA(x),hA(x)〉 |x∈U,fA(x)∈L,gA(x)∈M,hA(x)∈N}。

為便于敘述,引入如下術(shù)語:

1)若L=M=N,則稱〈f,g,h〉是格值三支模糊集(或L-三支模糊集,或常規(guī)三支模糊集)。

2)設(shè)〈f,g,h〉是三支模糊集,L=M=N=[0, 1],且?x∈U,f(x),g(x),h(x)均有定義,則稱〈f,g,h〉是普通三支模糊集。

3)設(shè)〈f,g,h〉是普通三支模糊集,若?x∈U,f(x)+g(x)+h(x)≤1,則稱〈f,g,h〉是依賴三支模糊集；若?x∈U,f(x)+g(x)+h(x)≥1,則稱〈f,g,h〉是擴(kuò)張三支模糊集。對于依賴三支模糊集〈f,g,h〉,若?x∈U,f(x),g(x),h(x) ∈{0, 1},f(x)+g(x)+h(x)=1,則稱〈f,g,h〉是三支集。

4)設(shè)〈f,g,h〉是常規(guī)三支模糊集,若f=g=h,則稱〈f,g,h〉是(退化)一支模糊集。注意,一支模糊集較Zadeh模糊集、格值模糊集廣泛(允許在某些點處隸屬度缺失)。

5)設(shè)〈f,g,h〉是常規(guī)三支模糊集,若g=h,則稱〈f,g,h〉是(退化)二支模糊集。注意,二支模糊集較直覺模糊集廣泛。

用TFS(U;L)表示U上L-三支模糊集構(gòu)成的分明集合;用TFS1(U)表示U上普通三支模糊集構(gòu)成的分明集合;用TFS2(U)表示U上依賴三支模糊集構(gòu)成的分明集合。

例2設(shè)(U,R)為近似空間,其中R對應(yīng)U中對象的某個屬性(仍用R表示),U中一些對象的R屬性值缺失。?X?U,用X0表示X中R屬性值缺失的元素構(gòu)成的分明集合。則〈f,g,h〉是一個常規(guī)三支模糊集,其中?x∈U,

例3設(shè)(U,R)為近似空間,A是論域U上的模糊集。楊海龍教授在文獻(xiàn)[30]中給出的粗糙模糊集的模糊三支決策,實際上就是一種三支模糊集,即由A可誘導(dǎo)一個如下的三支模糊集〈f,g,h〉:?x∈U,

容易驗證,此時f(x)+g(x)+h(x)未必小于等于1,即這里的〈f,g,h〉未必是依賴三支模糊集。不過,如下定義的三支模糊集〈f1,g1,h1〉是依賴三支模糊集:?x∈U,

容易驗證,當(dāng)A為分明集合時,上述三支模糊集〈f,g,h〉和〈f1,g1,h1〉均是三支集(三劃分)。

例4設(shè)(U,R)為模糊近似空間(R是論域U上的自反模糊關(guān)系),A是論域U上的模糊集。如下定義的三支模糊集〈f,g,h〉是模糊三支集:?x∈U,

注2這里的R要求是自反模糊關(guān)系,否則,這里的g(x)未必大于等于0。

例5設(shè)U為一幅彩色圖像的像素點組成的集合,?x∈U,f(x),g(x),h(x)分別表示像素點x對應(yīng)的R、G、B分量,則〈f,g,h〉是格L=[0,255]上的三支模糊集。當(dāng)圖像有破損時,一些像素點的R、G、B分量無法確定,即在這些點處三支模糊集〈f,g,h〉無定義。

例6設(shè)U={u1,u2,u3,u4,u5}表示某網(wǎng)上書店銷售的5本圖書,其網(wǎng)上銷售量基本相當(dāng)。根據(jù)用戶購買后的反饋,得到如下評價數(shù)據(jù)(見表1)。其中:好評率=好評數(shù)/反饋評價意見的用戶數(shù),差評率=該圖書差評數(shù)/5本圖書的總差評數(shù),不確定度=(中庸評價數(shù)+未評價數(shù))/用戶總數(shù)。

表1 用戶評價數(shù)據(jù)Tab.1 User evaluation data

依據(jù)上述數(shù)據(jù),可得到U上的三支模糊集{〈u1, 0.88, 0.3, 0.15〉,〈u2, 0.77, 0.26, 0.25〉,〈u3, 0.86, 0.38, 0.25〉,〈u4, 0.92, 0.29, 0.15〉,〈u5, 0.85, 0.34, 0.2〉}。

注3由于三個指標(biāo)采用不同的評價“基準(zhǔn)”,故該例中三個隸屬函數(shù)互相獨立,此例不是依賴三支模糊集。

例7在工業(yè)過程控制中,經(jīng)常要處理用模糊語言表達(dá)的數(shù)量值,比如“誤差”在推理規(guī)則中常用負(fù)大、負(fù)中、負(fù)小、零、正小、正中、正大等詞語表示,這些模糊詞語可用三支模糊集量化表達(dá)。若誤差變化范圍為[-6, 6],即取U=[-6, 6],則“負(fù)小”可用下述三支模糊集表示:

2.2 三支模糊集的包含關(guān)系

為了表達(dá)方便,對三支模糊集中未定義的隸屬度,后面將統(tǒng)一用符號“*”表示。設(shè)(L,∨,∧,0,1)是有界格,其上的序關(guān)系為≤。在L∪{*}上定義二元關(guān)系≤*如下:

?x,y∈L,x≤*y當(dāng)且僅當(dāng)x≤y;

0≤**≤*1;(?x∈L-{0, 1}) *||x。

其中“||”表示不可比。圖1直觀地表達(dá)了L∪{*}上的二元關(guān)系≤*。顯然,L∪{*}關(guān)于≤*仍是有界格。

圖1 格序關(guān)系的拓展Fig.1 Extension of the lattice order relation

設(shè)(L,∨,∧,0,1)是有界格,其上的序關(guān)系為≤。記集合

D(L)={(x1,x2,x3) |x1,x2,x3∈L};

D*(L)={(x1,x2,x3) |x1,x2,x3∈L∪{*}}。

如果x=(x1,x2,x3)∈D(L)或D*(L),則稱x1,x2,x3分別為x的第一、二、三分量。

定義9設(shè)(L,∨,∧,0,1)是有界格,其上的序關(guān)系為≤。分別定義D*(L)上的二元關(guān)系≤l和≤r如下:?x,y∈D*(L),

x≤ly?(x1≤*y1,x2≤*y2,x3≥*y3);

x≤ry?(x1≤*y1,x2≥*y2,x3≥*y3)。

定理1設(shè)(L,∨,∧,0,1)是有界格,則 (D*(L),≤l)及(D*(L),≤r)均是偏序集,且(D*(L),∨l,∧l, 0l, 1l)及(D*(L),∨r,∧r, 0r, 1r) 均是有界格,其中:?x,y∈D*(L),

x∨ly=(x1∨y1,x2∨y2,x3∧y3);

x∧ly=(x1∧y1,x2∧y2,x3∨y3);

0l=(0, 0, 1);1l=(1, 1, 0);

x∨ry=(x1∨y1,x2∧y2,x3∧y3);

x∧ry=(x1∧y1,x2∨y2,x3∨y3);

0r=(0, 1, 1);1r=(1, 0, 0)。

注4因論文篇幅所限,本文略去所有結(jié)論的證明。

定義10設(shè)(L,∨,∧,0,1)是有界格,其上的序關(guān)系為≤。定義D*(L)上的二元關(guān)系≤t如下:?x,y∈D*(L),

x≤ty? (x1<*y1,x3≥*y3)或 (x1=y1，x3>*y3)或(x1=y1,x3=y3,x2≤*y2)。

定理2設(shè)(L,∨,∧,0,1)是有界格,則 (D*(L),≤t)是有界偏序集,其中0t=(0, 0, 1),1t=(1, 1, 0)分別是最小元和最大元。進(jìn)而,(D*(L),∨t,∧t, 0t, 1t)是有界格,其中:?x,y∈D*(L),

可以依據(jù)定義9、10給出三支模糊集的3種包含關(guān)系,下面以第3種為例給出論述。

定義11設(shè)U為論域,(L,∨,∧,0,1)是有界格,TFS(U;L)是U上L-三支模糊集構(gòu)成的分明集合,A,B∈TFS(U;L)。 稱A包含于B, 記為A?tB,如果?x∈U,

(fA(x),gA(x),hA(x))≤t(fB(x),gB(x),hB(x))。

定理3設(shè)U為論域,(L,∨,∧,0,1)是有界格,TFS(U;L)是U上L-三支模糊集構(gòu)成的分明集合。則?A,B,C∈TFS(U;L),

1)A?tA;

2)A?tB,B?tA?A=B;

3)A?tB,B?tC?A=C。

2.3 三支模糊集的并、交、補(bǔ)運算

定義12設(shè)U為論域,(L,∨,∧,0,1)是有界格,TFS(U;L)是U上L-三支模糊集構(gòu)成的分明集合。?A,B∈TFS(U;L),定義其并、交運算如下:?x∈U,

1) 若(fA(x),gA(x),hA(x))≤t(fB(x),gB(x),hB(x)),則

(A∪tB)(x)=(fB(x),gB(x),hB(x));

(A∩tB)(x)=(fA(x),gA(x),hA(x))。

2) 若(fA(x),gA(x),hA(x))與(fB(x),gB(x),hB(x))在序關(guān)系≤t下不可比,則

(A∪tB)(x)=(fA(x)∨fB(x), 0,hA(x)∧hB(x));

(A∩tB)(x)=(fA(x)∧fB(x), 1,hA(x)∨hB(x))。

定理4設(shè)A,B,C∈TFS(U;L),則

1)A∩tA=A,A∪tA=A;

2)A∩tB=B∩tA,A∪tB=B∪tA;

3) (A∩tB)∩tC=A∩t(B∩tC);

(A∪tB)∪tC=A∪t(B∪tC);

4)A∩t(B∪tA)=A,A∪t(B∩tA)=A;

5)A?tB?A∪tB=B,A?tB?A∩tB=A。

定義13設(shè)U為論域,TFS1(U)為U上普通三支模糊集構(gòu)成的分明集合,A∈TFS1(U)。定義A的補(bǔ)集(記為Act)如下:?x∈U,

Act(x)=(hA(x), 1-gA(x),fA(x))。

定理5設(shè)A,B∈TFS1(U)。則

1) (Act)ct=A;

2)A?tB?Bct?tAct;

3) (A∩tB)ct=Act∪tBct;

4) (A∪tB)ct=Act∩tBct。

定理6設(shè)U為論域,TFS1(U)為U上普通三支模糊集構(gòu)成的分明集。則(TFS1(U),∪t,∩t,ct, 0t, 1t)是廣義De Morgan代數(shù)。

下面的例子說明,由于運算∪t,∩t的分配律未必成立,故定理6中的結(jié)論不能修改為De Morgan代數(shù)。

例8設(shè)x=(0.3, 0.8, 0.2),y=(0.7, 0.5, 0.3),z=(0.6, 0.8, 0.25)。則

(x∧ty)∨tz=(0.6, 0.8, 0.25);

(x∨tz)∧t(y∨tz)=(0.6, 1, 0.25);

(x∧ty)∨tz≠(x∨tz)∧t(y∨tz)。

對于論域U上的依賴三支模糊集,由于其特殊性(隸屬度均取自[0,1],且?x∈U,f(x)+g(x)+h(x)≤1),故其并、交運算需要專門定義(以保證分別對應(yīng)上、下確界)。

定義14設(shè)U為論域,TFS2(U)是U上依賴三支模糊集構(gòu)成的分明集合。?A,B∈TFS2(U),定義其并、交運算如下:?x∈U,

1) 若(fA(x),gA(x),hA(x))≤t(fB(x),gB(x),hB(x)),則

(A∪dB)(x)=(fB(x),gB(x),hB(x));

(A∩dB)(x)=(fA(x),gA(x),hA(x))。

2) 若(fA(x),gA(x),hA(x))與(fB(x),gB(x),hB(x))在序關(guān)系≤t下不可比,則

(A∪dB)(x)=(fA(x)∨fB(x), 0,hA(x)∧hB(x));

(A∩dB)(x)=(fA(x)∧fB(x), 1-(fA(x)∧fB(x))-(hA(x)∨hB(x)),hA(x)∨hB(x))。

下面通過三支集(三劃分)為例說明前述交運算的合理性。如前所述(定義7及例1),利用特征函數(shù)可以很容易說明:“三支集”與“三劃分”沒有本質(zhì)區(qū)別。設(shè)U為論域,X?U,記X的特征函數(shù)為mX,其中對任意x∈U,

對于U上的兩個三劃分〈X1,Y1,Z1〉,〈X2,Y2,Z2〉, 按正域、邊界域、負(fù)域的語義,定義它們的交運算的自然方式是:

〈X1,Y1,Z1〉∩〈X2,Y2,Z2〉=

〈X1∩X2,U-((X1∩X2)∪Z1∪Z2),Z1∪Z2〉。

如果將這兩個三劃分看作三支集,上述運算正好對應(yīng)定義14中的交運算,即

〈mX1,mY1,mZ1〉∩t〈mX2,mY2,mZ2〉=

〈mX1∩X2,mU-((X1∩X2)∪Z1∪Z2),mZ1∪Z2〉

這一事實從一個側(cè)面表明,定義14具有合理性。

3 三支模糊邏輯與推理

3.1 三支模糊關(guān)系

定義15設(shè)U,V是非空集合,(L,∨,∧, 0, 1)是有界格,D*(L)={(x1,x2,x3) |x1,x2,x3∈L∪{*}}。U×V到D*(L)的一個三支模糊關(guān)系R是指U×V上的三支模糊集,即

R={〈(u,v),fR(u,v),gR(u,v),hR(u,v)〉 | (u,v)∈U×V},

其中，fR,gR,hR:U×V→L∪{*}。

將U×V上的全體三支模糊關(guān)系記作TFR(U×V,L);當(dāng)L=[0,1]時簡記為TFR(U×V);當(dāng)L=[0,1]且所有隸屬度都有定義時簡記為TFR1(U×V),即普通三支模糊關(guān)系。

定義16設(shè)U,V,W是非空集合,(L,∨,∧, 0, 1)是有界格,R∈TFR(U×V,L),S∈TFR(V×W,L)。R與S的合成R°S定義為:R°S∈TFR(U×W,L),?(u,w)∈U×W,

∧t(fS(v,w),gS(v,w),hS(v,w)))

三支模糊關(guān)系與集對分析(set pair analysis,簡記為SPA)有密切聯(lián)系。集對分析理論由我國學(xué)者趙克勤于1989年提出[31], 其主要的數(shù)學(xué)工具是聯(lián)系數(shù)。“集對”是由一定聯(lián)系的兩個集合組成的基本單位,對“集對”中的2個集合作特性分析時,采用“同”“異”“反”的三分法思想,比較對象之間的同一性、差異性(既不同一也不對立,與同一有差異、與對立也有差異,如中介、不確定、不確知、數(shù)據(jù)缺失等)、對立(矛盾)性,進(jìn)而用“聯(lián)系數(shù)”形式地表示為U=A+Bi+Cj,這里j表示對立,i表示差異。從這些描述可以看出,“集對”就是前述三支模糊關(guān)系中的序?qū)?u,v)∈U×V,“同”“異”“反”正好對應(yīng)fR(u,v),gR(u,v),hR(u,v),因此，用三支模糊關(guān)系可以表達(dá)集對分析思想,同時也可借鑒集對分析中的方法研究三支模糊集(這是很有意義的課題,將在后續(xù)論文中探究)。

3.2 三支模糊蘊涵算子

作為[0, 1]上模糊蘊涵算子的推廣,這里引入三支模糊蘊涵算子的概念,將限制在D([0, 1])上討論,即

D([0, 1])={(x1,x2,x3) |x1,x2,x3∈[0, 1]}。

三支模糊蘊涵算子是指D([0, 1])×D([0, 1])到D([0, 1])上的映射,仍用符號“→”來表示。這里使用D([0, 1])上的序關(guān)系≤t,即(參見定義10):?x,y∈D([0, 1]),

x≤ty?(x1y3)或(x1=y1,x3=y3,x2≤y2)。

定義17設(shè)“→”是D([0, 1])×D([0, 1])到D([0, 1])上的映射,如果滿足以下條件,則稱“→”是三支模糊蘊涵:

1) 0t→0t=0t→1t=1t→1t=1t,

1t→0t=0t;

2) ?x,y,z∈D([0, 1]),

x≤ty?z→x≤tz→y;

x≤ty?y→z≤tx→z。

例9以下D([0, 1])×D([0, 1])到D([0, 1])上的映射(除算子2)外，見注6)均是三支模糊蘊涵:

1) Zadeh型三支模糊蘊涵算子

x→y=xct∨t(x∧ty),?x,y∈D([0, 1])。

2) Mamdani型三支模糊蘊涵算子

x→y=x∧ty,?x,y∈D([0, 1])。

3) Kleene-Denes型三支模糊蘊涵算子

x→y=xct∨ty,?x,y∈D([0, 1])。

4)R0型三支模糊蘊涵算子

?x,y∈D([0, 1]),當(dāng)x≤ty時x→y=1t;否則,x→y=xct∨ty。

5) G?del型三支模糊蘊涵算子

?x,y∈D([0, 1]),當(dāng)x≤ty時x→y=1t;否則,x→y=y。

3.3 三支模糊推理的TCRI方法

借鑒Zadeh的模糊推理CRI方法,本節(jié)運用三支模糊關(guān)系合成運算及三支模糊蘊涵給出一種新的模糊推理方法,簡記為TCRI。

一般的模糊推理模型如下:

其中A,A′是U上的三支模糊集;B,B′是V上的三支模糊集。稱上述形式為三支模糊假言推理,簡記為TFMP。

求解TFMP問題的TCRI方法的步驟如下:

1) 選取論域U上的三支模糊集A={〈x,fA(x),gA(x),hA(x)〉 |x∈U},A′={〈x,fA′(x),gA′(x),hA′(x)〉 |x∈U},及論域V上的三支模糊集B={〈x,fB(x),gB(x),hB(x)〉 |x∈V},B′={〈x,fB′(x),gB′(x),hB′(x)〉 |x∈V}分別表示命題A,A′及B,B′。

2) 選取一個三支模糊蘊涵算子→,把規(guī)則A→B轉(zhuǎn)化為U×V上的一個三支模糊關(guān)系R。

3) 將A′與上述三支模糊關(guān)系R進(jìn)行復(fù)合即得B′=A′°R=A′°(A→B)。

4) 最后將所有推理結(jié)果以某種方法聚合(比如取三支模糊集的并運算)而得到結(jié)論。當(dāng)然,也可以先將所有規(guī)則聚合(比如取三支模糊集的并運算)為一條超規(guī)則,然后求解在這條超規(guī)則下的推理結(jié)果。

4 三支模糊集的應(yīng)用

4.1 三支集在數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用

針對不完備決策信息表,本節(jié)通過三支集及其運算(三支集交運算采用定義14),給出基于三支集的知識約簡方法。

算法1基于三支集的不完備決策信息表的屬性約簡算法

輸入 不完備決策表DT=〈U,A∪j5i0abt0b〉

輸出 屬性集A的三支約簡。

步驟1構(gòu)造每個屬性a∈A所對應(yīng)的三支集Ba=〈fa,ga,ha〉,如下所示,對任意x∈U,

步驟2計算屬性集A中所有的可約元(規(guī)定在三支集族{Ba:a∈A}中,若某個三支集可由其他幾個三支集的交運算得到,則稱其為一個三支可約元);

步驟3從屬性集A中剔除所有三支可約元,則得到屬性集A的三支約簡,記為Reduct(A)。

若將算法1中研究對象“屬性集A”改為“論域U”,則通過類似的方法可以得到論域U的三支約簡,記為Reduct(A)。

因此,可將上述約簡方法用于不完備信息下的決策問題,具體方法如算法2所示。

算法2基于三支集的不完備決策信息表的決策規(guī)則提取算法

輸入 不完備決策表DT=〈U,A∪j5i0abt0b〉,決策目標(biāo)y

輸出 決策目標(biāo)y的決策值

步驟1利用算法1,計算屬性集A的三支約簡Reduct(A);

步驟2利用算法2,計算論域U的三支約簡Reduct(U);

步驟3根據(jù)步驟1和步驟2得到的約簡后的決策表DT=〈Reduct(U),Reduct(A)∪j5i0abt0b〉,并對其進(jìn)行補(bǔ)齊和去重,從而得到相應(yīng)的決策規(guī)則,實現(xiàn)對決策目標(biāo)y的決策。

基于算法1和算法2,以下給出三支集在知識約簡與決策中的應(yīng)用實例。

例10設(shè)(U,A∪j5i0abt0b)為不完備決策信息表(見表2),其中U={x1,…,x6},A={a1,…,a4},ai(xj)為樣本xj在條件屬性ai下的屬性值。

則根據(jù)決策信息表,將通過算法2利用三支集及相應(yīng)的運算對新的樣本x7進(jìn)行決策:

步驟1利用三支集對屬性進(jìn)行約簡,過程如下所示:對任意ai∈A,xj∈U,令

表2 不完備決策信息表Tab.2 Incomplete decision information table

則屬性a1對應(yīng)的三支集為:

同理可得屬性a2,a3和a4對應(yīng)的如下三支集,

規(guī)定三支集族{Ba1,Ba2,Ba3,Ba4}中,若某個三支集可由其他幾個三支集的交得到,則稱其為三支可約元。由于Ba3=Ba1∩dBa2,則Ba3為一個三支可約元。故稱{Ba1,Ba2,Ba4}為一個三支約簡,即{a1,a2,a4}為決策信息表的一個屬性約簡。

步驟2利用三支集對對象進(jìn)行約簡,過程如下所示:對任意ai∈A,xj∈U,令

則對象x1對應(yīng)的三支集為:

同理可得對象x2，…，x6對應(yīng)的如下三支集,

因此, 在三支集族{Cx1, …,Cx6}中, 由于Cx3=Cx1∩dCx5,則Cx3為一個三支可約元。 故稱{Cx1,Cx2,Cx4,Cx5,Cx6}為一個三支約簡, 即{x1,x2,x4,x5,x6}為決策表的一個對象約簡。

步驟3根據(jù)步驟1和步驟2得到的約簡后的決策信息表,如表3所示。

表3 約簡后的決策信息表Tab.3 Reduced decision information table

利用基于類別的最大概率值方法將表3補(bǔ)齊,并刪除條件屬性值與決策屬性值相同的對象,得到表4。

由表4可得到如下決策規(guī)則。

規(guī)則1若 (a1=1,a2=0,a4=1) 或

(a1=1,a2=0,a4=0),則d=1。

規(guī)則2若 (a1=1,a2=1,a4=0) 或

(a1=0,a2=1,a4=0),則d=0。

假設(shè)新的對象x7在各個條件屬性下的取值為a1(x7)=1,a2(x7)=0,a3(x7)=0,a4(x7)=1。據(jù)規(guī)則1可知,x7所對應(yīng)的決策屬性值為1。

表4 補(bǔ)齊與去重后的決策信息表

注5本例直接利用三支集處理不完備決策信息系統(tǒng),避免了完備化后再處理數(shù)據(jù)所帶來的信息損失。本例中主要是根據(jù)決策信息表的特點提出了一種三支集的構(gòu)造方法,在實際應(yīng)用中可根據(jù)數(shù)據(jù)的特點構(gòu)造其他類型的三支模糊集。所提出的三支模糊集可以擴(kuò)充現(xiàn)有的屬性約簡和決策方法。

4.2 三支模糊集在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用

水位控制系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于能源、化工等諸多領(lǐng)域,本節(jié)針對單容水箱水位控制過程,建立三支模糊推理模型,利用Matlab深入比較和分析傳統(tǒng)模糊推理與三支模糊推理下的控制仿真效果。

4.2.1 不同推理方法的推理結(jié)果比較分析

設(shè)水位偏差e、偏差變化率ec和控制量u的取值域均為[-6,6],表示其模糊大小的語言值用7個三支模糊集表示:NB、 NM、 NS、 ZE、 PS、 PM、 PB。圖2給出了NS(負(fù)小)對應(yīng)的三支隸屬函數(shù)。

圖2 e的三支模糊集NS的隸屬函數(shù)Fig.2 Membership functions of three fuzzy subset NS of e

構(gòu)建三支模糊控制器,模糊控制規(guī)則沿用文獻(xiàn)[32]中的表1,采用Mamdani型三支模糊蘊涵算子(見例9)。e、ec按步長0.5取值,分別用CRI方法、TCRI方法進(jìn)行推理,得到控制量u的精確值,如圖3、圖4所示。

圖3 CRI方法的推理結(jié)果Fig.3 Inference results of CRI

圖4 TCRI方法的推理結(jié)果Fig.4 Inference results of TCRI

由圖3、圖4可知,首先,TCRI方法可以獲得合理結(jié)果。其次,從圖3、圖4的A圖可以看出,TCRI方法的推理輸出曲線比較平滑且變化最為平緩;CRI方法的推理輸出曲線不是那么平整,輸出響應(yīng)則顯得相對較快。最后,從圖3、圖4的B圖可以看出,TCRI方法的推理結(jié)果在u=0附近,曲面U可以近似為二次拋物面,u的變化小,對輸入的響應(yīng)不靈敏,這是系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差的根本原因,但系統(tǒng)的穩(wěn)定性較好; CRI方法的推理結(jié)果在u=0附近,u的變化大,對輸入的響應(yīng)較靈敏,控制系統(tǒng)靈敏度高。

4.2.2 不同推理方法控制效果分析

1)跟蹤能力對比分析

利用上述推理方法對單容水箱液位控制系統(tǒng)[33]進(jìn)行仿真控制,仿真結(jié)果如圖5、圖6所示。

圖5 無擾動時CRI方法的控制效果Fig.5 Control effect of CRI without disturbance

圖6 無擾動時TCRI方法的控制效果Fig.6 Control effect of TCRI without disturbance

同時,為進(jìn)一步量化不同方案下系統(tǒng)在跟蹤輸入時的動態(tài)響應(yīng)性能,對實驗中兩種策略下系統(tǒng)的超調(diào)量(σ%)和調(diào)節(jié)時間(ts)進(jìn)行計算,調(diào)節(jié)時間采用2%的誤差帶。系統(tǒng)動態(tài)特性的量化指標(biāo)如表5所示。

表5 不同推理方法下系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)

2)抗擾能力對比分析

為衡量控制器的抗擾能力,在7s≤t≤9s時分別對各控制端施加單位階躍擾動,各控制器的階躍干擾響應(yīng)曲線分別如圖7、圖8所示。

圖7 有擾動時CRI方法的控制效果Fig.7 Control effect of CRI with disturbance

圖8 有擾動時TCRI方法的控制效果Fig.8 Control effect of TCRI with disturbance

為進(jìn)一步量化不同方案下系統(tǒng)的抗擾能力, 對兩種控制策略下系統(tǒng)的振蕩幅值(m)和恢復(fù)時間(s)進(jìn)行計算, 系統(tǒng)的抗擾量化指標(biāo)如表6所示。

實驗結(jié)果表明：①由仿真曲線(見圖5、圖6)及量化數(shù)據(jù)(見表5)可知,TCRI的指標(biāo)都明顯優(yōu)于CRI,即TCRI具有更好的跟蹤能力。②由仿真曲線(見圖7、圖8)及量化數(shù)據(jù)(見表6)可知,在TCRI控制下,擾動引起的系統(tǒng)振蕩幅度小,系統(tǒng)恢復(fù)至設(shè)定值所用時間短,即TCRI控制具備更強(qiáng)的抗干擾能力。

表6 抗擾指標(biāo)量化表Tab.6 Immunity index quantification table

注6在傳統(tǒng)模糊集理論中， Mamdani蘊涵嚴(yán)格意義上不是模糊蘊涵算子， 但由于其在模糊控制中經(jīng)常被使用， 因此， 通常被列入常見的模糊蘊涵之列。 類似地， 本文也沿用這種做法， 但需要指出例9中算子2)不完全滿足定義17中的條件。

5 結(jié)語

基于三支決策、粗糙集及多種廣義模糊集理論,本文首次提出三支模糊集的概念,討論了三支模糊集的包含關(guān)系和并/交運算,并通過不完備信息表的數(shù)據(jù)分析、單容水箱的液位控制兩個具體例子展示了三支模糊集的初步應(yīng)用。

需要說明的是, 三支模糊集是一個非常寬泛的概念, 它與許多廣義模糊集有密切關(guān)系, 除了前文提到的外, 還有三維模糊集[34]、 Picture模糊集[35]、 3-極模糊集[36]、 三元模糊集[37]等。 本文突出展示了三支模糊集與這些概念的不同之處, 體現(xiàn)在廣泛性(比如隸屬度值可以有缺失, 即用“部分映射”取代映射)、 新的包含關(guān)系和并/交運算(對應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)是廣義De Morgan代數(shù)而非De Morgan代數(shù))、 豐富而有說服力的語義解釋(回答了為什么需要3個隸屬函數(shù),比如當(dāng)正、 反、 中立在不同基準(zhǔn)上進(jìn)行評價時自然產(chǎn)生3個模糊集, 比如模糊粗糙集的正域、 負(fù)域、 邊界域本身就是3個經(jīng)典模糊集等)、 可用性(本文給出了應(yīng)用實例)。

本文只是三支模糊集的初步研究,后續(xù)還將陸續(xù)討論三支模糊集的多種新運算、基于3I方法的三支模糊推理(對文獻(xiàn)[38]中方法的進(jìn)一步拓展),以及三支模糊集的更多應(yīng)用(包括在數(shù)據(jù)分析與挖掘、不確定決策、圖像處理、神經(jīng)模糊控制等方面的應(yīng)用)。

致謝：本文的研究思想多年前就已基本成型,許多同行給予了支持和指點;本文初稿在2020年第二屆陜西省智能數(shù)據(jù)分析暨第八屆三支決策與粒計算研討會(空軍工程大學(xué)主辦)進(jìn)行了報告,此次發(fā)表時吸收了與會專家提出的寶貴意見;同時,三支決策理論的創(chuàng)始人Y.Y.Yao教授對本文的寫作給予了熱情指導(dǎo),謹(jǐn)在此一并表示感謝!