陳棟梁,皋 春
吳江盛澤中學(xué),江蘇 蘇州 215228
2021年蘇州市高三物理期中考試選擇題第10題如圖1所示,將質(zhì)量為2m的重物懸掛在輕繩的一端,輕繩的另一端系一質(zhì)量為m的小環(huán),小環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上,光滑定滑輪與直桿的距離為d。將小環(huán)從與定滑輪等高的A處靜止釋放,小環(huán)下滑過程中,下列說法正確的是( )
圖1 2021年蘇州市高三物理期中考試選擇題第10題
A.小環(huán)的機械能守恒
C.當輕繩與光滑直桿間夾角θ=60°時,小環(huán)的速度最大
誤解:需注意的是,小環(huán)加速度為零時,重物加速度不為零。不少人會誤認為小環(huán)加速度為零時,重物加速度也為零,從而得出繩子拉力T=2mg,θ=60°時小環(huán)速度最大的錯誤結(jié)論。
方法一:設(shè)小環(huán)在任意角度θ時的速度為v,由系統(tǒng)機械能守恒得:
則小環(huán)的速度為:
此速度表達式十分復(fù)雜,無法直觀得出速度的最大值及對應(yīng)的角度,用數(shù)學(xué)求極值也非常困難。
此求解方法雖然可以排除錯誤答案,但不易被學(xué)生理解,且同樣無法判定小環(huán)速度在哪個位置最大。因此,方法二的信服力不夠,學(xué)生很難深入理解此題的全面過程。
基于上述困難,教師可以采用大家都熟悉且方便使用的Excel數(shù)值分析工具和圖像繪制功能等可視化教學(xué)技術(shù),幫助和引導(dǎo)學(xué)生全面深入地理解復(fù)雜和抽象問題。
可視化教學(xué)是指運用一切可能的圖示、動畫、聲音、視頻和實驗等技術(shù)和手段對教學(xué)的所有環(huán)節(jié)進行設(shè)計和整合,進而實施教學(xué)的過程。在教學(xué)過程中充分利用知識和思維可視化理論,使凸顯內(nèi)涵要素的抽象或具體形態(tài)的外延可視化,使本來隱于頭腦中的思維過程外顯化、可視化。這樣,教師會更加容易地捕捉到學(xué)生錯誤概念的根源,從而更快捷、準確地建構(gòu)新的概念和規(guī)律。
原題中,無論用公式法,還是特殊值法,都不能使小環(huán)和重物隨時間的變化規(guī)律可視化。而利用Excel的數(shù)值分析工具和圖像繪制功能,能完整地顯示小環(huán)和速度隨時間變化的過程,且可以找到特殊位置的軌點,使大家對速度變化規(guī)律的理解更清晰、更深入。
圖2 小環(huán)和重物速度隨角度變化的曲線
圖像分析:
(1)圖2展現(xiàn)出的實際物理情境:在夾角θ從90°逐漸減小的過程中,小環(huán)和重物的速度都是先增大后減小。
(2)結(jié)合圖2和表1中的Excel計算數(shù)值可知,小環(huán)速度最大時θ=67.5°;重物速度最大時,對應(yīng)的夾角θ=52.2°。
表1 小環(huán)和重物速度隨角度變化的計算數(shù)據(jù)
小環(huán)和重物的加速度直接制約小環(huán)和重物的速度的變化規(guī)律,只有理解加速度的變化規(guī)律,才能更深入地理解速度的變化規(guī)律。因此,用Excel的數(shù)值分析工具和圖像繪制功能,完整展示加速度隨時間變化的規(guī)律顯得非常有必要。
在任意角度θ時,對小環(huán)和重物分別受力分析,由牛頓第二定律,可得:
圖3 小環(huán)和重物加速度隨角度變化的曲線
圖像分析:
(1)由圖3,結(jié)合題目實際情境,在夾角θ從90°逐漸減小的過程中,小環(huán)的加速度由g逐漸減小為零,再反向增加;重物的加速度從零開始,先增大至某值再逐步減小為零,然后反向增加。
(2)由圖3,結(jié)合表2中的Excel計算數(shù)值,我們發(fā)現(xiàn),小環(huán)加速度為零時,對應(yīng)的夾角θ=67.5°;重物加速度為零時,對應(yīng)的夾角θ=52.2°。即小環(huán)的加速度為零時,重物的加速度不為零。
表2 圖3對應(yīng)的計算數(shù)據(jù)
能量問題是伴隨動力學(xué)問題必然要討論的問題。經(jīng)上面的討論發(fā)現(xiàn),原題中60°不是小環(huán)速度最大對應(yīng)的角度,那是否是沒有意義的角度呢?通過Excel的數(shù)值和圖像功能,將小環(huán)和重物組成的系統(tǒng)動能之和進行可視化研究,發(fā)現(xiàn)了新的特殊結(jié)論。
圖4 系統(tǒng)動能之和隨角度變化的曲線
圖像分析:
(1)由圖4,結(jié)合題目實際情境,在夾角θ從90°逐漸減小的過程中,系統(tǒng)動能之和是先增大后減小。
(2)由圖4,結(jié)合Excel計算數(shù)值,容易發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)動能最大時夾角θ恰好為60°。所以,雖然60°不是小環(huán)速度最大時的角度,但卻是系統(tǒng)動能最大時的角度。
原題中,只討論了小環(huán)和重物在特殊質(zhì)量時的變化規(guī)律。為使學(xué)生更深入地理解該物理問題,可以引導(dǎo)他們可視化探究小環(huán)和重物在不同質(zhì)量比時的速度變化規(guī)律。
設(shè)小環(huán)質(zhì)量為m,重物質(zhì)量為m,在任意角度θ時小環(huán)的速度為v,重物的速度為v,由系統(tǒng)機械能守恒,得:
將兩個速度無量綱化,并約化質(zhì)量后,可得:
圖5 不同質(zhì)量比下小環(huán)速度隨角度變化的曲線
圖6 不同質(zhì)量比下重物速度隨角度變化的曲線
圖像分析:
(1)結(jié)合圖5、圖6和題目實際情境,當質(zhì)量比k<1.0時,夾角θ從90°逐漸減小的過程中,小環(huán)和重物的速度都是先增大后減小。但同一質(zhì)量比下小環(huán)和重物的最大速度對應(yīng)的角度并不一致。
(2)當質(zhì)量比k=1.0時,小環(huán)和重物的速度都是一直增加的,最后趨于一個穩(wěn)定值。
(3)當質(zhì)量比k>1.0時,小環(huán)和重物的速度是一直增加的,且越增越快。
原題只討論了小環(huán)和重物在特殊質(zhì)量時的變化規(guī)律。為使學(xué)生更深入地理解該物理問題,可以引導(dǎo)他們對小環(huán)和重物在不同質(zhì)量比時的加速度隨時間的變化規(guī)律進行可視化探究。設(shè)小環(huán)質(zhì)量為m,重物質(zhì)量為m,任意角度θ時小環(huán)的速度為 v,加速度為 a,重物的速度為 v,加速度為a。由受力分析、牛頓第二定律、加速度牽連和系統(tǒng)機械能守恒,可得:
圖7 不同質(zhì)量比下小環(huán)加速度隨角度變化的曲線
圖8 不同質(zhì)量比下重物加速度隨角度變化的曲線
圖像分析:
(1)圖7可得的實際物理情境:當質(zhì)量比k<1.0時,夾角θ從90°逐漸減小的過程中,小環(huán)的加速度由g逐漸減小為零,再反向逐漸增加。這說明小環(huán)先加速后減速,中間會出現(xiàn)速度最大值;當質(zhì)量比k≥1.0時,小環(huán)的加速度一直向下減小,即小環(huán)一直處于加速狀態(tài)。
(2)圖8可得的實際物理情境:當質(zhì)量比k<0.5時,夾角θ從90°逐漸減小的過程中,重物的加速度由0.518g逐漸減小為零,再反向逐漸增加;當質(zhì)量比為0.5≤k≤1.0時,夾角θ從90°逐漸減小的過程中,重物的加速度由0.518g逐漸減小為零,再反向逐漸增加,再減小,最后趨于不變。這表明當重物較輕時先向上加速,再向上減速;當質(zhì)量比k>1.0時,夾角θ從90°逐漸減小的過程中,加速度由0.518g逐漸減小為零,再反向,大小逐漸增加,接著又逐漸減小為零,然后再變向并逐漸增加,最后趨于不變。這表明當重物較重時會多次出現(xiàn)加速和減速過程。
用Excel的數(shù)值分析方法和圖像功能,用可視化的手段,描述物理量的變化規(guī)律,操作方便、簡單,易于師生課堂教學(xué)使用,并具有以下優(yōu)點:
(1)可以精準地找出復(fù)雜物理表達式中物理量的極值(常規(guī)手段或通過表達式無法直接得出,例如小環(huán)和重物的速度、加速度、總動能等物理量的極值問題);
(2)可以完整、形象地描述物理量的變化規(guī)律,尤其是不同情形下的物理量的變化規(guī)律(例如不同質(zhì)量比情形下,各物理量的變化規(guī)律),從而深入理解物理規(guī)律和本質(zhì);
(3)可以創(chuàng)造性地引導(dǎo)學(xué)生探究不同物理量之和的變化規(guī)律(例如系統(tǒng)動能之和的極值問題)。