岑海鳳，許苑，李濤，陳坤, 鄭溫劍，李志剛

(1.廣東電網(wǎng)公司廣州供電局，廣州 510620； 2.華南理工大學 電力學院，廣州 510640)

0 引 言

機組組合(Unit Commitment, UC)是電力系統(tǒng)短期發(fā)電調(diào)度的重要任務之一。在UC問題中，一般將減少系統(tǒng)發(fā)電成本作為優(yōu)化目標，在滿足負荷需求、備用需求等約束條件的前提下，確定各時段各機組的啟停狀態(tài)和出力大小。安全約束機組組合(Security-Constrained Unit Commitment，SCUC)進一步考慮了系統(tǒng)基態(tài)與預想故障下的網(wǎng)絡安全約束，可提高發(fā)電計劃的安全性[1]。為了改善求解效率，通?？蓪CUC問題分解為UC主問題與網(wǎng)絡安全校驗子問題來處理[2]。

由于考慮了潮流方程，UC在數(shù)學上是一個非凸的混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題，求解十分困難。直流潮流(DC Power Flow, DCPF)模型是目前UC廣泛采用的模型[3-5]。它針對UC非凸性的來源，對潮流等式約束進行了線性近似，計算效率高，但難以將其應用于與電壓、無功相關(guān)的研究領(lǐng)域。且當線路電阻電抗比R/X比較大或網(wǎng)絡電壓偏離額定值比較大時，DCPF模型所得到的結(jié)果誤差大[6]。針對DCPF模型的不足，許多學者對考慮了交流潮流(AC Power Flow, ACPF)約束的UC進行了研究[7-8]。但因為問題本身的非凸性，目前所采用的方法難以求得全局最優(yōu)解，不能保證求解的質(zhì)量。而隨著凸優(yōu)化理論的發(fā)展，出現(xiàn)了將潮流等式約束進行凸松弛處理，從而轉(zhuǎn)換為凸優(yōu)化問題求解的方法[9]。該方法可以保證求解的質(zhì)量，但在松弛不精確的情況下，其所得到的解沒有實際物理意義。針對DCPF模型的不足與應用ACPF的局限性，不少學者對考慮了電壓與無功的線性化潮流模型進行了研究[10-11]。線性化潮流模型基于泰勒級數(shù)展開等數(shù)學變換，可以準確地逼近ACPF，目前已在最優(yōu)潮流問題中得到了應用[12-13]。

線路潮流與節(jié)點電壓在N-1條件下的安全校核是最為常見的網(wǎng)絡安全校驗問題[14-15]。為了掌握N-1線路開斷后的系統(tǒng)狀態(tài)，通常可以利用支路開斷分布系數(shù) (Line Outage Distribution Factor，LODF)[16-17]或靈敏度分析法[18]來計算。LODF以DCPF模型為基礎，憑借其可通過基態(tài)斷線線路的有功潮流計算故障后網(wǎng)絡的有功潮流分布。但是LODF同樣不能計算故障后的電壓與無功分布。而靈敏度分析法雖然可提供節(jié)點電壓、線路有功和無功潮流等全面的運行數(shù)據(jù)，但其中的靈敏度系數(shù)與系統(tǒng)故障前的運行狀態(tài)有關(guān)，難以應用于UC問題中。針對上述問題，文中提出了一種可計算故障后的電壓和無功分布、僅與網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)相關(guān)的改進支路開斷分布系數(shù)(Modified Line Outage Distribution Factors，MLODF)。文中主要創(chuàng)新點如下：

(1) 文中對于一種線性化潮流模型，推導了其對應的MLODF。利用該MLODF可準確逼近線路斷線后系統(tǒng)的節(jié)點電壓、線路有功和無功分布；

(2)文中提出了一種基于MLODF的SCUC模型，該模型較傳統(tǒng)基于LODF的模型可提供更為安全的發(fā)電計劃。

文中首先對MLODF進行了推導；接著描述了基于MLODF的SCUC模型；然后介紹了模型的求解方法；最后通過算例分析說明所提出模型的性能。

1 MLODF的推導

對于一種線性化潮流模型，這節(jié)展示了其對應MLODF的推導過程。

在靜態(tài)安全分析中，通常使用靈敏度分析法對線路開斷的場景進行模擬。靈敏度分析法將支路開斷視為正常運行情況下的一種擾動，通過節(jié)點注入功率的變化量來模擬線路開斷的影響。圖1對支路nm開斷的場景進行了模擬。

如圖1(a)、圖1(b)所示，線路開斷前、后應滿足的功率平衡方程式分別為式(1)、式(2)：

(1)

(2)

如圖1(c)所示，模擬線路開斷時，假設除斷線線路外，其余線路潮流應與斷線后的潮流一致。此時列寫節(jié)點功率平衡方程式有：

(3)

將式(3)減去式(2)可得：

(4)

式中ΔPn+jΔQn、ΔPm+jΔQm分別為模擬線路開斷前后節(jié)點n、m的注入功率變化量。

在文獻[10]中，采用了下列線性表達式來逼近支路潮流：

Pij=gij(Vi-Vj)-bij(θi-θj)

(5)

Qij=-bij(Vi-Vj)-gij(θi-θj)

(6)

(7)

(8)

整合式(7)和式(8)，可得到節(jié)點注入功率的表達式：

(9)

式中Y=G+jB為節(jié)點導納矩陣；Y=G+jB為不包含并聯(lián)元件的節(jié)點導納矩陣；Ysh=Gsh+jBsh表示節(jié)點并聯(lián)元件向量。

通過對式(9)執(zhí)行一階泰勒級數(shù)展開，可以計算節(jié)點注入功率與節(jié)點電壓間的靈敏度系數(shù)：

(10)

在模擬線路nm開斷時，當給定節(jié)點注入功率變化量ΔP、ΔQ時，可以通過靈敏度系數(shù)求解節(jié)點電壓變化量ΔV、Δθ：

(11)

其中：

(12)

根(11)，可以計算節(jié)點n、m的電壓變化量：

(13)

整合(7)、式(8)和式(13)，可以得到故障前線路nm潮流、故障后線路nm潮流以及故障前后節(jié)點n、m注入功率變化量：

(14)

將式(4)帶入式(14)得：

(15)

根據(jù)式(11)和式(15)，可通過故障前線路nm潮流計算故障前后各節(jié)點電壓的變化量：

(16)

定義αi,nm、βi,nm、εi,nm、γi,nm為故障前線路nm的潮流與故障前后節(jié)點i電壓變化量間的靈敏度系數(shù)。因此可將故障后節(jié)點i的電壓表示為：

(17)

(18)

此外，故障后線路ij的潮流可表示為：

(19)

其中：

(20)

類似地，ΔQij、ΔPji、ΔQji也能通過故障前線路nm的潮流計算得到。

2 SCUC的數(shù)學模型

2.1 優(yōu)化目標

文中SCUC的優(yōu)化目標是最小化系統(tǒng)的發(fā)電成本。而火電機組的發(fā)電成本可用下列線性函數(shù)來描述：

(21)

2.2 約束條件

(1)節(jié)點功率平衡約束

(22)

(23)

(2)旋轉(zhuǎn)備用約束

(24)

(25)

(26)

rdg,t-pg,t≤0

(27)

(28)

(3)爬坡約束

-RDg≤pg,t-pg,t-1≤RUg

(29)

式中RUg和RDg為單個時段中機組的爬坡容量與滑坡容量。

(4)機組狀態(tài)變量間的邏輯約束

ug,t-ug,t-1=xg,t-gg,t

(30)

(31)

(32)

ug,t∈{0,1},0≤xg,t≤1,0≤yg,t≤1

(33)

其中，MDg為機組最小停機時間。

(5) 無功出力約束

(34)

(6)基態(tài)網(wǎng)絡安全約束

(35)

(36)

(7) N-1網(wǎng)絡安全約束：

(37)

(38)

3 模型的求解

由于電力網(wǎng)絡中線路眾多，需要考慮的N-1安全約束數(shù)目也很多。然而絕大多數(shù)的N-1安全約束是不起作用約束，可以在優(yōu)化模型中忽略。為了減少處理的N-1安全約束數(shù)目，文中借鑒了文獻[3]的方法，通過反復校驗添加的方式來處理N-1安全約束。具體流程圖如圖2所示。

圖2 處理N-1安全約束的流程圖

首先求解基態(tài)的UC問題，意味著需要將約束式(22)～式(36)加入至模型中。根據(jù)求解結(jié)果，可以得到基態(tài)下的線路潮流和節(jié)點電壓。然后，可通過式(37)利用MLODF計算各條線路斷線后的網(wǎng)絡潮流。接著，對所有N-1故障進行安全校驗，若所有故障后的線路潮流和節(jié)點電壓均滿足式(38)，則說明目前的UC結(jié)果能夠滿足N-1準則，得到了最終解；若不滿足，則需要以式(37)、式(38)的形式將相應的線路約束和電壓約束加入至模型中求解。而求解完包含N-1安全約束的SCUC問題后，還需根據(jù)式(37)重新分析故障后的網(wǎng)絡潮流，以判斷是否有額外的N-1約束需要加入求解的模型中。就這樣通過反復地校驗、添加約束，直至得到的解滿足所有N-1安全校驗為止。

4 算例分析

文中SCUC的調(diào)度周期為24 h。這節(jié)首先對6個測試系統(tǒng)進行N-1故障分析來說明MLODF的準確性；接著對比了6節(jié)點系統(tǒng)和118節(jié)點系統(tǒng)中不同模型的SCUC結(jié)果的安全性；最后通過分析118節(jié)點系統(tǒng)中的SCUC結(jié)果來說明所提出模型的安全性。

文中采用了文獻[13]的方法將約束式(36)和式(38)線性化，從而將SCUC轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)線性規(guī)劃問題。所有的優(yōu)化問題通過在軟件MATLAB R2018a上調(diào)用求解器Gurobi 8.1.1[20]來求解。

4.1 MLODF準確性分析

表1 不同線性化潮流模型的誤差

假設DCPF模型的電壓幅值均為額定電壓。

由表1可以看出，MLODF與ACPF的電壓、有功潮流的誤差均小于DCPF。因為MLODF在DCPF的基礎上考慮了電壓與無功的影響，因此其對ACPF的近似效果更好。此外，從表1中的第4列和第7列可以看出，MLODF 與原始線性化潮流模型的誤差數(shù)量級大致為1e-15。這體現(xiàn)了文中MLODF推導過程的正確性。

4.2 MLODF與LODF的安全性對比

為了說明文中提出的基于MLODF的模型(M1)較傳統(tǒng)基于LODF的模型(M2)的優(yōu)越性，本節(jié)對6節(jié)點系統(tǒng)和118節(jié)點系統(tǒng)進行了測試，對比了兩種模型的SCUC結(jié)果。

6節(jié)點系統(tǒng)包含了3臺發(fā)電機與7條輸電線路。系統(tǒng)的線路參數(shù)、發(fā)電機特性數(shù)據(jù)和負荷數(shù)據(jù)均取自文獻[19]。網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

圖3 6節(jié)點系統(tǒng)網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖

圖4展示了M1模型和M2模型的SCUC中各機組的啟停狀態(tài)。其中前者的發(fā)電成本為111 328.590$，后者的為109 560.502$。

圖4 6節(jié)點系統(tǒng)各機組的啟停狀態(tài)

由圖4可看出，當使用M2模型時，G3機組在1-9時段內(nèi)沒有啟動。這主要是由于以下兩個原因引起的：(1) M2模型沒有考慮無功功率平衡約束。G1機組的無功出力上限為50 Mvar，而對于時段1、8和9，系統(tǒng)總的無功負荷分別為50.37 Mvar、51.06 Mvar和53.71 Mvar。為了滿足系統(tǒng)的無功需求，采用M1模型時會在相應時刻啟動較為便宜的G3機組與G1機組一同承擔負荷;(2) M2模型沒有考慮系統(tǒng)可能發(fā)生的電壓越限問題。對于時段2-7，當僅有G1機組啟動時，若線路1-2發(fā)生斷線，此時節(jié)點2的電壓往往會低于電壓下限值。此時需啟動G3機組來改善網(wǎng)絡的功率分布以提高節(jié)點2的電壓。

為了進一步說明M1模型較M2模型的安全性，下文對118節(jié)點系統(tǒng)進行了測試。118節(jié)點系統(tǒng)包含了54臺發(fā)電機與186條輸電線路。系統(tǒng)的線路參數(shù)、發(fā)電機特性數(shù)據(jù)和負荷數(shù)據(jù)均取自文獻[19]。圖5展示了基于M1模型和基于M2模型的SCUC中各機組的啟動時段。其中前者的發(fā)電成本為803 693.693$，后者的為794 533.039$。

圖5 118節(jié)點系統(tǒng)各機組的啟動時段

由圖5可以看出，M1模型較M2模型需額外啟動4臺機組，它們分別為連接在節(jié)點8的3號機組、連接在節(jié)點32的14號機組、連接在節(jié)點36的16號機組和連接在節(jié)點59的24號機組。當不啟動3號機組時，基態(tài)下線路8-5為無功重載線路。當線路8-5開斷后，故障前線路上的潮流主要往短線路8-30轉(zhuǎn)移，這會造成線路8-30視在功率過載。此時通過啟動3號機組可以改善網(wǎng)絡潮流分布。若14號與16號機組總處于停機狀態(tài)時，隨著網(wǎng)絡無功負荷的增加，部分時段中節(jié)點31和節(jié)點39、節(jié)點40的電壓會低于下限值。因此M1模型會在相應時段啟動這兩個機組以提高附近節(jié)點的電壓。此外，由于在8-24時段僅啟動21號機組不能滿足節(jié)點59的無功負荷需求，因此M1模型會在相應時段啟動24號機組來承擔無功負荷。

從上述兩個算例可以看出，由于M1模型考慮了電壓和無功分布，基于M1模型的SCUC結(jié)果可解決潛在的電壓越限和視在功率越限問題。因此較傳統(tǒng)的M2模型，M1模型可提供更為安全的發(fā)電計劃。

4.3 MLODF安全性分析

為了探究基于MLODF的SCUC結(jié)果對于實際N-1線路開斷故障的承受能力，這節(jié)對118節(jié)點系統(tǒng)進行了測試。仿真時將SCUC結(jié)果中的相關(guān)變量(PQ節(jié)點的注入功率、Vθ節(jié)點的電壓和 PV節(jié)點的電壓幅值和有功注入功率)固定后進行ACPF計算，分析了線路開斷后的系統(tǒng)狀態(tài)。

將SCUC結(jié)果在線路N-1故障下進行ACPF校驗，發(fā)現(xiàn)有48處線路潮流越限(在所有N-1故障中占比為0.518%)、有152處節(jié)點電壓越限(在所有N-1故障中占比為1.224%)。其中線路潮流越限的情況主要發(fā)生在線路65-68開斷時，線路47-69與線路49-69的潮流發(fā)生越限。電壓越限的情況主要有兩種。一種發(fā)生在線路37-39開斷時，節(jié)點39與節(jié)點40的電壓低于下限值；另一種發(fā)生在線路100-103開斷時，節(jié)點110、111與112的電壓低于下限值。對越限情況的嚴重程度進行分析，計算得到的平均潮流越限量為10.177 MV·A(占線路視在功率容量的5.356%)、平均電壓越限量為0.023 2 p.u.。由于越限量大，此時SCUC結(jié)果不能在這些故障發(fā)生時保障系統(tǒng)的安全性。而對于其他98%以上的N-1故障，SCUC結(jié)果可以保障線路潮流和節(jié)點電壓在安全的限值之內(nèi)。因此基于MLODF的SCUC結(jié)果能在絕大多數(shù)N-1故障下保障系統(tǒng)的安全性。

為了進一步分析嚴重故障對于模型準確度的影響，圖6～圖8展示了在峰荷時段17、對電壓與線路潮流準確度影響最大的斷線場景下的網(wǎng)絡潮流分布。由圖6可以看出，此時節(jié)點39和節(jié)點40發(fā)生了電壓越限。這是由于當線路37-39開斷后，節(jié)點39和節(jié)點40上的無功負荷不能通過近距離的連接在36號節(jié)點上的機組直接承擔，從而引發(fā)了節(jié)點電壓下降。在圖中可觀察到此時的節(jié)點電壓已經(jīng)偏離額定電壓，即偏離了近似時的假設條件，從而導致了誤差的增大。而從圖7可看出，即使在嚴重故障場景下，該模型仍對線路有功功率保持了良好的逼近效果。由圖8可以看出，此時105號線路47-69與106號線路49-69發(fā)生了潮流越限。這主要是因為此時模型對線路無功功率近似效果差造成的。線路47-69與線路49-69均為長線路，支路電抗大。當線路65-68開斷時，連接在節(jié)點49、節(jié)點69的發(fā)電機組均處于啟動狀態(tài)。此時節(jié)點49、節(jié)點69電壓分別為0.959 p.u.和1.012 p.u.，而節(jié)點47與節(jié)點49相連，作為負荷節(jié)點，其電壓要低于節(jié)點49。由于線路47-69與線路49-69電抗大、電壓差值大，所以線路的無功損耗大。通過式(7)和式(8)可知，文中所采用的線性化潮流模型忽略了支路損耗。所以此時模型對相關(guān)線路無功功率的逼近效果差，從而導致了其與相關(guān)線路視在功率間的誤差增大。

圖6 時段17線路37-39開斷時系統(tǒng)電壓分布

圖7 時段17線路65-68開斷時系統(tǒng)有功功率分布

圖8 時段17線路65-68開斷時系統(tǒng)視在功率分布

從上述的分析可以看出，少數(shù)N-1故障在交流潮流校驗下發(fā)生越限是由于節(jié)點電壓偏離額定電壓或線路無功損耗增大造成的。在這些故障情景下，實際的網(wǎng)絡潮流偏離了線性化潮流模型節(jié)點電壓為額定電壓、忽略支路損耗的假設，因此此時模型誤差變大，進一步導致了交流潮流校驗越限。

5 結(jié)束語

文中針對一種線性化潮流模型推導了與之對應的MLODF，并將MLODF應用到了SCUC中。算例的結(jié)果表明：

(1)MLODF較DCPF對ACPF的近似效果更好。此外，它保持了原有線性化潮流模型的精度，這說明了推導過程的正確性；

(2)基于MLODF的SCUC模型考慮了無功和電壓約束。較傳統(tǒng)基于LODF的模型，它能提供更為安全的發(fā)電計劃；

(3)對于絕大多數(shù)N-1故障，基于MLODF的SCUC結(jié)果可以保障線路潮流和節(jié)點電壓在安全的限值之內(nèi)。

需要指出，部分線路開斷時，可能會出現(xiàn)系統(tǒng)電壓偏離額定值或線路無功損耗過大的情況。此時MLODF模型的精度降低，得到的SCUC結(jié)果不夠理想。因此，下一步的工作內(nèi)容主要在于如何進一步地提高模型的準確度。