基于OBE理念的“數(shù)學(xué)分析”課程項(xiàng)目制教學(xué)模式研究

閆志忠

（北京理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 100081）

一、“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)現(xiàn)狀

成果導(dǎo)向教育理念（Outcomes-Based Education,OBE），簡(jiǎn)稱OBE理念，強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，以學(xué)生發(fā)展為目的，重視學(xué)生的學(xué)習(xí)成果?；贠BE理念，不少學(xué)者和教師進(jìn)行了OBE理念下“高等數(shù)學(xué)”的教學(xué)研究。例如，黃永輝等介紹了“數(shù)學(xué)分析”課程中的教學(xué)案例，挖掘了“數(shù)學(xué)分析”課程中蘊(yùn)含的思政元素，探討了基于OBE理念下“數(shù)學(xué)分析”課程思政的教學(xué)研究。張愛(ài)清等深刻分析了“高等數(shù)學(xué)”的教學(xué)現(xiàn)狀，將OBE理念融入“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)，從教師教學(xué)理念的更新、教學(xué)目標(biāo)的制訂、教學(xué)方法的改革、考核方式的完善等方面探討了“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)模式的改革。張杰等總結(jié)了“數(shù)學(xué)分析”課程的特點(diǎn)及在教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題，然后將OBE教學(xué)理念應(yīng)用于這門課程教學(xué)中，從課程大綱制定、啟發(fā)式教學(xué)模式、基于MATLAB科學(xué)計(jì)算軟件的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和課程評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)與方式等四個(gè)方面，闡述了OBE理念在“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)中的應(yīng)用。駱樺等探討了“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)與信科專業(yè)結(jié)合的教學(xué)模式。大類“數(shù)學(xué)分析”課程是理工科非數(shù)學(xué)本科專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)的一門重要的必修基礎(chǔ)課。如果把數(shù)學(xué)比喻成一個(gè)王國(guó)的話，那么數(shù)學(xué)分析就是這個(gè)王國(guó)的基礎(chǔ)語(yǔ)言。隨著人工智能、信息科技、科學(xué)計(jì)算及金融數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，“數(shù)學(xué)分析”的思想和方法幾乎滲入現(xiàn)代科技的所有領(lǐng)域，越來(lái)越多的行業(yè)迫切需要高深的現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)，而要運(yùn)用數(shù)學(xué)創(chuàng)造高技術(shù)，就必須掌握好“數(shù)學(xué)分析”這一重要的數(shù)學(xué)王國(guó)語(yǔ)言?，F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)正由工程層面的創(chuàng)新轉(zhuǎn)化為基礎(chǔ)理論層面的研究，而基礎(chǔ)理論層面的研究需要抽象思維、邏輯推理、科學(xué)計(jì)算和空間想象等能力。與其他學(xué)科相比，“數(shù)學(xué)分析”集中體現(xiàn)了對(duì)這些能力的培養(yǎng)。當(dāng)今誰(shuí)能占領(lǐng)數(shù)學(xué)最高地，誰(shuí)就能占領(lǐng)技術(shù)的最高地。數(shù)學(xué)在現(xiàn)代技術(shù)進(jìn)步中，扮演著越來(lái)越重要的角色。“數(shù)學(xué)分析”課程所講授的數(shù)學(xué)基本概念、理論和方法不僅為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，而且有利于提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，在培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立科學(xué)的世界觀、增強(qiáng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力、培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)等方面，具有不可替代的作用。

目前，在“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)中，教學(xué)方面存在的問(wèn)題是講解太細(xì)、太煩瑣、過(guò)于注重講授；學(xué)生方面的問(wèn)題是被動(dòng)接受知識(shí)、不愿意思考與交流，僅把“數(shù)學(xué)分析”課程學(xué)習(xí)當(dāng)作一項(xiàng)任務(wù)來(lái)完成，缺少學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。由于“數(shù)學(xué)分析”課程主要講授傳統(tǒng)的經(jīng)典數(shù)學(xué)理論，學(xué)生和教師已經(jīng)習(xí)慣了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，因此，其課程本身的重要性和特點(diǎn)決定了教學(xué)改革難度比較大。而且，傳統(tǒng)的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)比較注重培養(yǎng)和提高學(xué)生數(shù)學(xué)科學(xué)思維和科學(xué)素養(yǎng)，重點(diǎn)講解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)模型和科學(xué)思路，很少將數(shù)學(xué)理論知識(shí)與專業(yè)知識(shí)相結(jié)合，導(dǎo)致學(xué)生在大一學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)分析”時(shí)，由于缺少對(duì)自己專業(yè)課程的足夠認(rèn)識(shí)，并未理解該課程的應(yīng)用價(jià)值，造成一些學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)分析”課程重視程度不夠，學(xué)習(xí)積極性不高，學(xué)習(xí)動(dòng)力不足，學(xué)習(xí)效果不理想。因此，改革傳統(tǒng)的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式勢(shì)在必行。針對(duì)目前國(guó)內(nèi)大類書(shū)院制培養(yǎng)下的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)面臨的突出問(wèn)題，基于OBE理念，本文提出了以項(xiàng)目為載體、以數(shù)學(xué)為工具的“數(shù)學(xué)分析”項(xiàng)目制課程教學(xué)模式，將“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)與專業(yè)課程進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，根據(jù)學(xué)生的專業(yè)要求更新教學(xué)內(nèi)容，堅(jiān)持分層次教學(xué)，通過(guò)制訂不同的教學(xué)大綱，開(kāi)展專題研究，合理決定教學(xué)側(cè)重點(diǎn)等措施，使“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)與專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)緊密結(jié)合，為學(xué)生專業(yè)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，符合OBE教育理念和人才成長(zhǎng)規(guī)律。

二、與專業(yè)結(jié)合的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)實(shí)踐

以數(shù)學(xué)知識(shí)教育為重點(diǎn)，以素質(zhì)教育為核心，以能力培養(yǎng)為手段，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科優(yōu)勢(shì)，將“數(shù)學(xué)分析”基礎(chǔ)知識(shí)融入學(xué)生的專業(yè)知識(shí)中，建立適合專業(yè)特點(diǎn)的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)課程內(nèi)容體系和案例，努力實(shí)現(xiàn)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、科學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力的全面提升。

（一）把“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)內(nèi)容與專業(yè)知識(shí)相結(jié)合

我們?cè)谠O(shè)計(jì)“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)內(nèi)容體系時(shí)，有目的將某一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行外延，選擇專業(yè)相關(guān)例題，通過(guò)舉例將數(shù)學(xué)科學(xué)思維素養(yǎng)與專業(yè)知識(shí)有機(jī)融合，使學(xué)生理解“數(shù)學(xué)分析”課程在其專業(yè)課程中的實(shí)用價(jià)值，提升學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)分析”課程的重視，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。如針對(duì)信控專業(yè)和機(jī)電專業(yè)的學(xué)生，結(jié)合電容式加速度傳感器進(jìn)行授課，對(duì)傳感器件的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析。為培養(yǎng)學(xué)生的工程意識(shí)，近年來(lái)，在教學(xué)中嘗試引入工程實(shí)例，結(jié)合數(shù)學(xué)在工程技術(shù)中的應(yīng)用進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐。例如：通過(guò)熱力學(xué)中的波動(dòng)方程進(jìn)行“數(shù)學(xué)分析”課堂例題的真實(shí)化、專業(yè)化授課。

（二）以專業(yè)課程中的數(shù)學(xué)問(wèn)題作為案例開(kāi)展專題研究

在講授“數(shù)學(xué)分析”課程基礎(chǔ)知識(shí)之后，針對(duì)不同專業(yè)的學(xué)生有所側(cè)重地講述與專業(yè)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)模塊和專業(yè)實(shí)踐案例。通過(guò)數(shù)學(xué)概念引入、數(shù)學(xué)思想建立、數(shù)學(xué)方法的解決手段，以及數(shù)學(xué)與專業(yè)相對(duì)應(yīng)的專業(yè)案例，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念和專業(yè)知識(shí)的相通性，達(dá)到提高學(xué)生興趣、樹(shù)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心、鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)的目的。

（三）針對(duì)不同專業(yè)的學(xué)生制訂不同的授課計(jì)劃

根據(jù)各專業(yè)特點(diǎn)調(diào)整教學(xué)方法，擴(kuò)充和刪減教學(xué)內(nèi)容，精選補(bǔ)充最基本、最必要、最實(shí)用的內(nèi)容，制訂不同的授課計(jì)劃?！皵?shù)學(xué)分析”課程通常分為近代模塊、極限和函數(shù)連續(xù)模塊、微分學(xué)模塊、積分學(xué)模塊、級(jí)數(shù)和微分方程模塊、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)K等。

1.力學(xué)、機(jī)械專業(yè)：在講述數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，重視數(shù)學(xué)思想的滲透。例如，向工程力學(xué)和固體力學(xué)專業(yè)學(xué)生講授材料的強(qiáng)度、剛度和撓度等概念，以及風(fēng)阻尼器原理時(shí)，滲透數(shù)學(xué)分析微元法的思想。結(jié)合前沿研究課題，提煉并講授力學(xué)、機(jī)械專業(yè)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如，聲子晶體在波調(diào)控領(lǐng)域展現(xiàn)了超出常規(guī)材料的力學(xué)性能，其最重要的特性就是波帶隙特性，在聲學(xué)二極管、聲學(xué)斗篷、熱力學(xué)斗篷等方面具有潛在的重要應(yīng)用，在求帶隙時(shí)，從數(shù)學(xué)方面提煉由偏微分方程控制的波動(dòng)方程在聲子晶體中的傳播問(wèn)題，探討偏微分方程的特征值的求解問(wèn)題。此外，噪聲、振動(dòng)與聲振粗糙度控制技術(shù)（NVH技術(shù)）在現(xiàn)今的汽車制造技術(shù)中日趨重要，汽車的減振降噪是國(guó)內(nèi)各大汽車制造廠商面臨的巨大技術(shù)難題，因此，我們可以從減振降噪材料的應(yīng)用方面探討如何更好地實(shí)現(xiàn)汽車的減振降噪。汽車的減振降噪材料是聲子晶體，其帶隙特性能夠在汽車減振降噪中發(fā)揮屏蔽特定頻率聲波的重要作用。聲波帶隙是指在一定頻率范圍內(nèi)完全禁止聲波在材料中的傳播，這個(gè)頻率范圍就稱為帶隙。從數(shù)學(xué)中提煉的問(wèn)題就是對(duì)聲波方程，也就是偏微分方程進(jìn)行計(jì)算，從而得到特征方程，由此得到頻散圖，進(jìn)而對(duì)聲波帶隙進(jìn)行研究。

2.信息科學(xué)、計(jì)算機(jī)專業(yè)：結(jié)合計(jì)算機(jī)相關(guān)課程，使學(xué)生逐漸掌握一些常用的數(shù)學(xué)軟件，如Matlab和Mathematica，學(xué)會(huì)使用這些軟件求解函數(shù)表達(dá)式的極限、微分與積分、代數(shù)方程的根等，從而使學(xué)生在大學(xué)低年級(jí)就具有較熟練使用計(jì)算機(jī)的能力，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)課堂所學(xué)知識(shí)的理解，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并為信息科學(xué)、計(jì)算機(jī)專業(yè)后續(xù)課程“科學(xué)計(jì)算與信息處理”兩大方向的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。針對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生，可以向其介紹蒙特卡羅方法，該方法應(yīng)用于求解微分方程，與電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展有著很大的關(guān)系。在電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以前，如果進(jìn)行蒙特卡羅模擬需要重復(fù)進(jìn)行很多次試驗(yàn)，并記錄結(jié)果，十分浪費(fèi)資源且效率低下，但是在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之后，這些試驗(yàn)都可以通過(guò)生成隨機(jī)數(shù)在電子計(jì)算機(jī)上進(jìn)行模擬，大大增加了蒙特卡羅方法的效率。

早在20世紀(jì)40年代，就有學(xué)者注意到了可以使用蒙特卡羅方法求解一些復(fù)雜的微分方程，尤其是求解關(guān)于描述核粒子在介質(zhì)中傳輸?shù)牟柶澛匠?、Fokker-Planck方程及薛定諤方程，并且討論了蒙特卡羅方法求解這些問(wèn)題的可行性。在20世紀(jì)50年代，有學(xué)者應(yīng)用蒙特卡羅方法求解二維的位勢(shì)方程的初值問(wèn)題，并與精確解做比較。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，使用電子計(jì)算機(jī)進(jìn)行蒙特卡羅模擬越來(lái)越方便，運(yùn)用蒙特卡羅方法求解問(wèn)題不再像以前那樣缺乏效率，因此，運(yùn)用蒙特卡羅方法求解微分方程越來(lái)越受到關(guān)注。在20世紀(jì)60年代，有學(xué)者使用蒙特卡羅馬爾可夫鏈方法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)了求解拋物型偏微分方程的應(yīng)用，在一些文獻(xiàn)中，我們可以看到，在蒙特卡羅模擬的次數(shù)N=1000時(shí)，用蒙特卡羅馬爾可夫鏈方法得到的擴(kuò)散方程的數(shù)值解和精確解的誤差是很小的，而且文章中也說(shuō)明了這種蒙特卡羅模擬在當(dāng)時(shí)的簡(jiǎn)單計(jì)算機(jī)上十分容易實(shí)現(xiàn)。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，蒙特卡羅方法在求解微分方程方面得到了更加廣泛的應(yīng)用，一些學(xué)者依靠蒙特卡羅方法求解決熱傳導(dǎo)問(wèn)題，詳細(xì)地討論了在雙介質(zhì)條件下的格林函數(shù)，并且討論了在正弦熱源、均勻熱源及給定表面溫度時(shí)的熱傳導(dǎo)方程的求解并推廣到了三介質(zhì)情形，給出了相應(yīng)情形下的算例，可以看到蒙特卡羅方法適用于各種情形，而且蒙特卡羅方法計(jì)算的結(jié)果誤差都是可接受的，文章詳細(xì)討論了誤差的原因，同時(shí)展示了在電子計(jì)算機(jī)上是如何實(shí)現(xiàn)用蒙特卡羅方法求解熱傳導(dǎo)方程的。一些學(xué)者利用專用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行蒙特卡羅模擬求解Poisson方程，并且通過(guò)算例表明，在專用計(jì)算機(jī)上使用蒙特卡羅模擬求解Poisson方程時(shí)，得到的結(jié)果會(huì)比一般的電子計(jì)算機(jī)求解相同問(wèn)題時(shí)速度更快，并且解的精度會(huì)比一般的電子計(jì)算機(jī)上的解精度提高兩個(gè)小數(shù)點(diǎn)。通過(guò)引入蒙特卡羅方法與計(jì)算機(jī)發(fā)展的密切關(guān)系，使計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)方法與計(jì)算機(jī)的依賴關(guān)系，從而對(duì)計(jì)算機(jī)硬件方面的專業(yè)學(xué)習(xí)更有針對(duì)性和興趣性。

（四）合理規(guī)劃教學(xué)側(cè)重點(diǎn)

以往“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)由于兼顧各專業(yè)學(xué)習(xí)的局限性，就一些專業(yè)學(xué)生而言部分知識(shí)學(xué)非所用，并且存在理論脫離實(shí)際，重理論學(xué)習(xí)、輕能力培養(yǎng)等現(xiàn)象。這就需要在教學(xué)內(nèi)容的改革中注重專業(yè)知識(shí)及教學(xué)內(nèi)容的選擇，在保持“數(shù)學(xué)分析”課程內(nèi)容體系基本完整的前提下，在充分了解課程內(nèi)容與學(xué)生所學(xué)專業(yè)課程的聯(lián)系情況的基礎(chǔ)上，針對(duì)不同專業(yè)的理工科學(xué)生，有所側(cè)重地安排“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)內(nèi)容，構(gòu)建合理科學(xué)的“數(shù)學(xué)分析”與專業(yè)課程相結(jié)合的特色知識(shí)模塊。

三、實(shí)踐效果

教師結(jié)合各專業(yè)特點(diǎn)給出一些有意義和有價(jià)值的論文題目，這些題目是從專業(yè)中提取出來(lái)的研究課題，學(xué)生通過(guò)圖書(shū)館查閱文獻(xiàn)資料，分析、歸納、總結(jié)后寫成論文作為平時(shí)成績(jī)依據(jù)。通過(guò)結(jié)合專業(yè)情況進(jìn)行“數(shù)學(xué)分析”實(shí)踐教學(xué)，取得了一定效果：（1）通過(guò)修訂教學(xué)大綱、制訂不同專業(yè)教學(xué)計(jì)劃、改革教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法等措施，滿足了不同層次、不同專業(yè)學(xué)生的需要。（2）“數(shù)學(xué)分析”課程教師與專業(yè)學(xué)院教師合作優(yōu)選出完整的專業(yè)實(shí)際問(wèn)題，編制了包括數(shù)學(xué)問(wèn)題提出、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握和專業(yè)學(xué)習(xí)問(wèn)題極大幫助的案例庫(kù)，對(duì)學(xué)生學(xué)好專業(yè)知識(shí)具有事半功倍的作用。（3）“數(shù)學(xué)分析”課程面向?qū)I(yè)、突出應(yīng)用的教學(xué)模式，為兄弟院校和物理等其他課程教學(xué)提供了借鑒。經(jīng)過(guò)一年的教學(xué)實(shí)踐，筆者對(duì)結(jié)合專業(yè)知識(shí)的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)效果進(jìn)行了調(diào)查分析，調(diào)查對(duì)象是北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院、徐特立學(xué)院和求是書(shū)院大約1000名學(xué)生。調(diào)查結(jié)果顯示，絕大部分學(xué)生認(rèn)為在“數(shù)學(xué)分析”課程中有機(jī)融合專業(yè)知識(shí)和案例，能夠調(diào)動(dòng)上課積極性，提高學(xué)習(xí)效率，具體分析結(jié)果如圖1所示。

圖1 結(jié)合專業(yè)知識(shí)的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)效果調(diào)查結(jié)果

通過(guò)與專業(yè)有機(jī)融合的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)實(shí)踐，面向?qū)I(yè)，以專業(yè)為導(dǎo)向，突出應(yīng)用，倡導(dǎo)“從專業(yè)中來(lái)，到專業(yè)中去”的教學(xué)理念，極大方便了后繼專業(yè)課程的教學(xué)，促進(jìn)了學(xué)生綜合素質(zhì)的提高。