一類(lèi)非線性偏微分方程的n-孤子解

李 偉

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 遼寧 錦州 121013)

0 引 言

非線性偏微分方程(組)的解法受到如數(shù)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)和生物學(xué)等各個(gè)學(xué)科工作者的廣泛重視,孤子是非線性的一個(gè)重要特征,在許多科學(xué)應(yīng)用中都有它的身影。許多系統(tǒng)的方法被用來(lái)求非線性偏微分方程(組)的孤子解。為了尋求它們的解法,科學(xué)家做了大量而有益的工作,同時(shí)得到了一些行之有效的求解方法,如分離變量法、反散射方法、Backlund變換法、Darboux變換法、tanh函數(shù)法、Riccati方程法[1-7]、Hereman-Nuseir方法[8]、Hirota的雙線性方法[9-15]等。本文借助于行波變換法[16],A=0且B=0為Af+B=0成立的條件獲得了(2+1)維Burgers方程[16]和Kdv方程的n-孤子解。

(2+1)維Burgers方程和Kdv方程如下:

1 (2+1)維Burgers方程

對(duì)于式(1),令

(3)

uyt=uxxy+2uxyux

(4)

首先將Cole-Hopf 變換

u=lnf(x,y,t)

(5)

代入式(4)得

f(fyt-fxxy)-fy(ft-fxx)=0

(6)

令

(7)

為了得到單孤子解,設(shè)

f=1+eθ1,θ1=p1x+q1y+r1t

(8)

(9)

其中p1,q1為任意常數(shù),將式(5)、式(8)和式(9)代入式(3)獲得式(1)的単孤子解為

(10)

尋找如下形式的雙孤子解:

(11)

其中:p1,p2,q1,q2為任意常數(shù);a12為待定常數(shù)。

將式(11)代入式(6)得

a12=0

(12)

將式(5)、式(11)和式(12)代入式(3)可得雙孤子解為

(13)

尋找如下形式的三孤子解

f=1+eθ1+eθ2+eθ3+a12eθ1+θ2+a13eθ1+θ3+a23eθ2+θ3+b123eθ1+θ2+θ3

(14)

將式(14)代入式(6)解b123,這里采取與求雙孤子解相同的方法解以b123為未知量的方程,不再具體表述過(guò)程,得

b123=0

(15)

將式(5)、式(14)和式(15)代入式(3)可得三孤子解為

(16)

2 KdV方程

首先將Cole-Hopf變換

u=2(lnf(x,t))xx

(17)

代入式(2)得

(18)

令

(19)

為了得到單孤子解,設(shè)

f=1+eθ1,θ1=p1x+r1t

(20)

(21)

其中p1為任意常數(shù)。

將式(20)和式(21)代入式(17)獲得式(2)的単孤子解為

u=2(ln(1+eθ1))xx

(22)

尋找如下形式的雙孤子解

(23)

其中p1,p2為任意常數(shù),a12為待定常數(shù)。

將式(23)代入式(18)得

(24)

將式(23)和式(24)代入式(17)可獲得式(2)的雙孤子解為

(25)

其中p1,p2為任意常數(shù)。

尋找如下形式的三孤子解

(26)

其中p1,p2為任意常數(shù),b123為待定常數(shù)。

將式(26)代入式(18)解b123,這里采取與求雙孤子解相同的方法解以b123為未知量的方程,不再具體表述過(guò)程,得

b123=a12a13a23

(27)

將式(26)和式(27)代入式(17)可獲得式(2)的三孤子解為

(28)

其中pi(i=1,2,3)為任意常數(shù)。

3 結(jié) 論

利用將Cole-Hopf 變換、A=0且B=0為Af+B=0成立的條件獲得了(2+1)維Burgers方程、Kdv方程的精確解,這種方法也用于解其他非線性偏微分方程(組)。精確解的獲得將為近似計(jì)算,定理分析等現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供必備的基礎(chǔ)。