汪志鵬，戴 寧，雷鵬福

(南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

齒輪是機(jī)械設(shè)備常用的關(guān)鍵傳動(dòng)部件，往往具有不可替代性。隨著科技的發(fā)展，人們對(duì)零部件的輕質(zhì)特性提出了新的需求。在滿足齒輪性能要求的同時(shí)，如何盡可能地降低其質(zhì)量已成為工程上迫切需要解決的問(wèn)題。

現(xiàn)有的齒輪輕量化技術(shù)主要有結(jié)構(gòu)優(yōu)化、材料優(yōu)化與使用先進(jìn)制造工藝3類[1-2]。結(jié)構(gòu)優(yōu)化根據(jù)設(shè)計(jì)變量類型不同可分為尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化[3]，其中拓?fù)鋬?yōu)化難度最大，但其表現(xiàn)出了巨大的應(yīng)用潛力。拓?fù)鋬?yōu)化是通過(guò)有限元分析結(jié)果對(duì)模型體素單元進(jìn)行刪除，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)零件材料的最佳重分配[4-5]。國(guó)防科技大學(xué)的劉恩彩[6]通過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)和點(diǎn)陣填充實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)彈導(dǎo)引頭伺服框架的輕量化設(shè)計(jì)，提高了導(dǎo)彈的性能。太原理工大學(xué)的薛云偉[7]通過(guò)對(duì)航空齒輪的拓?fù)鋬?yōu)化，實(shí)現(xiàn)了齒輪的輕量化，使得飛機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)在正常工作的前提下，減輕了質(zhì)量，提高了飛機(jī)的飛行性能，改善了飛機(jī)的可操控性。邱卉穎[8]將拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)運(yùn)用于齒輪的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果表明輪輻部分體積比在一定范圍內(nèi)時(shí)，齒輪結(jié)構(gòu)具有較高的剛度，并且加工工藝得到改良。

隨著增材制造技術(shù)的快速發(fā)展，使用具有多孔形態(tài)的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)已成為實(shí)現(xiàn)輕量化設(shè)計(jì)的主要手段之一[9]，點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)除了具有基本的力學(xué)性能外，還具有輕質(zhì)、高比強(qiáng)度、高比剛度等優(yōu)點(diǎn)[10-11]。郭迎福等[12]采用復(fù)合材料對(duì)電池架進(jìn)行輕質(zhì)化設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了電池架減重42.6%，且電池架的靜、動(dòng)態(tài)特性都能滿足要求。晏夢(mèng)雪等[13]利用SLS(selective laser sintering)制備復(fù)合材料，材料的性能遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于金屬材料，具有更好的減震性能，實(shí)現(xiàn)了某火箭儀器支架的輕量化設(shè)計(jì)。

本文提出了一種將拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)和點(diǎn)陣填充技術(shù)相結(jié)合實(shí)現(xiàn)齒輪模型輕量化設(shè)計(jì)的方法，在強(qiáng)度下降不超過(guò)25%的前提下，實(shí)現(xiàn)齒輪輕量化。

1 齒輪拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

1.1 齒輪參數(shù)化建模

常用的齒輪有直齒齒輪、斜齒齒輪、錐齒輪等。本文選用直齒齒輪作為優(yōu)化設(shè)計(jì)的對(duì)象，其主要參數(shù)見(jiàn)表1。其他齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)方法與其相同。

表1 齒輪主要參數(shù)

1.2 齒輪有限元模型建立

當(dāng)齒輪模型建好之后，如圖1所示，將其導(dǎo)入分析軟件ANSYS19.0中進(jìn)行有限元力學(xué)分析與拓?fù)鋬?yōu)化。模型的拓?fù)鋬?yōu)化需要使其劃分的有限元體網(wǎng)格尺寸盡可能小，從而更加逼近模型原始幾何外形，提高拓?fù)鋬?yōu)化的精度，而這往往意味著高昂的計(jì)算成本，給計(jì)算機(jī)造成巨大的負(fù)擔(dān)。本文基于齒輪模型在軸向截面不變的特性將三維齒輪模型的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)化為二維齒輪軸向截面的材料分布優(yōu)化。

圖1 齒輪有限元模型

齒輪材料選用結(jié)構(gòu)鋼，其密度為7.85×103kg/m3，彈性模量為200 GPa，泊松比為0.3。劃分有限元網(wǎng)格時(shí)選用六面體單元，尺寸設(shè)為1.0 mm。將齒輪有限元模型分為非優(yōu)化域與優(yōu)化域，其中優(yōu)化域是指齒根圓以內(nèi)5 mm、齒輪內(nèi)孔以外10 mm的區(qū)間，其余區(qū)間均為非優(yōu)化域。

出于提高拓?fù)鋬?yōu)化精度和降低計(jì)算量的考慮，將優(yōu)化域的有限元網(wǎng)格單元尺寸設(shè)為0.5 mm，非優(yōu)化域設(shè)為1.0 mm。對(duì)齒輪有限元模型分尺寸劃分體網(wǎng)格后，有限元單元數(shù)量為18 754，節(jié)點(diǎn)數(shù)量為19 130。為避免求解過(guò)程中出現(xiàn)無(wú)法收斂的情況，對(duì)所生成網(wǎng)格進(jìn)行質(zhì)量分析，結(jié)果顯示網(wǎng)格質(zhì)量為0.9，符合有限元分析要求。

拓?fù)鋬?yōu)化是在有限元分析的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的，有限元分析時(shí)施加載荷和邊界條件的方式對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果起決定性作用。在正常工作情況下，齒輪以圓周運(yùn)動(dòng)的方式周期性運(yùn)轉(zhuǎn)，齒輪的每個(gè)齒都要與其他齒輪的齒相接觸從而傳遞動(dòng)力，在此過(guò)程中，齒輪受到垂直于齒輪嚙合面的壓力。因此，本文所采用的載荷加載方式為在齒輪每個(gè)齒的嚙合面上施加100 MPa的壓力，并將齒輪內(nèi)孔固定。如圖2所示，A為固定區(qū)域，B為施加載荷區(qū)域。

圖2 齒輪有限元模型邊界條件

1.3 齒輪拓?fù)鋬?yōu)化

拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)是基于模型有限元分析結(jié)果優(yōu)化模型材料分布的常用手段。當(dāng)齒輪有限元模型建立好后，即可在ANSYS19.0中使用求解器進(jìn)行模型分析，圖3所示為齒輪模型的應(yīng)力云圖。由圖可以看出，應(yīng)力集中處為固定區(qū)域，齒面未受較大應(yīng)力，從而導(dǎo)致材料浪費(fèi)。

圖3 齒輪應(yīng)力云圖

獲得齒輪模型分析結(jié)果后即可進(jìn)行后續(xù)拓?fù)鋬?yōu)化，目前常用的拓?fù)鋬?yōu)化方法有變密度法、均勻化法、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法、水平集方法等[14]。本文選用變密度法對(duì)齒輪模型進(jìn)行優(yōu)化處理，以結(jié)構(gòu)柔順度作為優(yōu)化時(shí)的目標(biāo)函數(shù)，柔順度越小，剛度越大，從而結(jié)構(gòu)抵抗變形的能力越好。以優(yōu)化結(jié)構(gòu)的體積分?jǐn)?shù)作為優(yōu)化時(shí)約束條件，其數(shù)學(xué)模型如下：

min:c(x)=UTKU

式中:c(x)為結(jié)構(gòu)柔順度;U為結(jié)構(gòu)位移向量；K為剛度矩陣；V(x)為優(yōu)化結(jié)構(gòu)的體積，x為單元密度；V0為結(jié)構(gòu)初始體積；f為結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)。拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖4所示。

圖4 齒輪結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)示意圖

由圖可知，優(yōu)化域內(nèi)的孔邊界非常粗糙，需要對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步處理。由于齒輪模型的每個(gè)齒的法向力加載方式一致，因此每個(gè)齒沿齒心方向孔的個(gè)數(shù)、形狀及尺寸都相同，基于此，本文對(duì)其中一個(gè)齒沿齒心方向?qū)?yīng)的孔的邊界進(jìn)行處理，然后采用沿軸向陣列的方式實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)齒輪進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的后處理?？紤]到齒輪在工作過(guò)程中有時(shí)需要做不定向的圓周轉(zhuǎn)動(dòng)，在處理孔邊界時(shí)應(yīng)保證孔具有對(duì)稱性。由于本文所優(yōu)化的直齒輪齒數(shù)為24，因此需要對(duì)處理好的單個(gè)齒對(duì)應(yīng)的孔邊界沿軸向陣列24次，圓周陣列的圓心角設(shè)為15°。

獲得經(jīng)光順邊界的齒輪拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果后，將該模型導(dǎo)入有限元軟件中，并依據(jù)1.1節(jié)所介紹的參數(shù)與流程建立有限元模型并進(jìn)行求解。圖5所示為拓?fù)鋬?yōu)化后的有限元模型的應(yīng)力云圖，由圖可知，齒輪所受應(yīng)力可沿著拓?fù)鋬?yōu)化所保留的材料順利傳入齒輪內(nèi)部。

圖5 優(yōu)化后齒輪應(yīng)力云圖

2 齒輪點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

2.1 點(diǎn)陣單元設(shè)計(jì)

點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)除具有高比強(qiáng)度、高比剛度等優(yōu)越的力學(xué)性能外，在能量吸收、能量?jī)?chǔ)存等方面也有許多優(yōu)良的特性，目前已廣泛應(yīng)用在航空航天及醫(yī)療等領(lǐng)域。

點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)類型多樣，其功能特性與拓?fù)錁?gòu)型密切相關(guān)，國(guó)內(nèi)外對(duì)胞元構(gòu)型進(jìn)行了大量研究，并且獲得了不同胞元構(gòu)型的力學(xué)性能。Ushijima等[15]對(duì)體心立方(BCC)胞元和面心立方(FCC)胞元的力學(xué)特性進(jìn)行了研究，提出了計(jì)算其力學(xué)性能的方法。陳立明等[16]運(yùn)用均質(zhì)化等效數(shù)學(xué)模型來(lái)分析點(diǎn)陣夾層力學(xué)性能，并用所得結(jié)果對(duì)有限元仿真結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。

點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)通常通過(guò)增材技術(shù)制造，打印過(guò)程中需要其自支撐，符合要求的點(diǎn)陣單元如圖6所示。

圖6 點(diǎn)陣單元

圖6(a)為BCC單元，具有一定的抗拉和抗壓能力，但抗扭轉(zhuǎn)能力一般；圖6(b)為BCCZ單元，在BCC單元的基礎(chǔ)上加了4根桿增加了其單向承載能力，力學(xué)性能優(yōu)于BCC單元，但抗扭轉(zhuǎn)能力沒(méi)有得到較大提高；圖6(c)為FCC單元，其抗拉、抗壓和抗彎能力較強(qiáng)，但抗扭轉(zhuǎn)能力相對(duì)BCCZ較差；圖6(d)為金剛石單元，其綜合力學(xué)性能較好，抗扭轉(zhuǎn)能力也較強(qiáng)。考慮到齒輪在工況下所受載荷以扭轉(zhuǎn)為主，齒輪的載荷主要是純扭轉(zhuǎn)載荷，需要選擇一種抗扭轉(zhuǎn)能力較強(qiáng)的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)類型，故本文選用金剛石單元。

2.2 點(diǎn)陣單元參數(shù)選擇

點(diǎn)陣單元主要參數(shù)有胞元尺寸和桿徑大小，不同胞元尺寸和桿徑大小對(duì)齒輪力學(xué)性能影響較大，因此通過(guò)力學(xué)仿真確定兩種參數(shù)。

首先對(duì)不同胞元尺寸的金剛石單元進(jìn)行仿真，分別設(shè)計(jì)3 mm×3 mm×3 mm、4 mm×4 mm×4 mm、6 mm×6 mm×6 mm，桿徑為0.6 mm的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，施加扭轉(zhuǎn)載荷，分析結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同點(diǎn)陣胞元結(jié)構(gòu)位移云圖

對(duì)金剛石桿徑大小進(jìn)行仿真，建立尺寸為4 mm×4 mm×4 mm的胞元結(jié)構(gòu)，桿徑分別為0.5 mm、0.6 mm、0.7 mm，有限元分析結(jié)果如圖8所示。

由圖7和圖8可以看出，在桿徑大小相同的情況下，胞元尺寸越小，則胞元數(shù)量越多，該點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能越優(yōu)異；在胞元尺寸相同的情況下，桿徑越大，則點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能越優(yōu)異。但是隨著胞元數(shù)量和桿徑的增加，胞元結(jié)構(gòu)質(zhì)量越大，孔隙率下降。綜合分析，在保證齒輪力學(xué)性能的基礎(chǔ)上，要求齒輪結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小，則胞元尺寸為4 mm×4 mm×4 mm、桿徑為0.6 mm較為適宜。

圖8 不同桿徑的胞元結(jié)構(gòu)位移云圖

2.3 點(diǎn)陣單元填充與仿真

借助于3-matic軟件進(jìn)行金剛石單元的設(shè)計(jì)和填充，胞元尺寸為4 mm×4 mm×4 mm，桿徑為0.6 mm，用金剛石點(diǎn)陣填充齒輪拓?fù)鋬?yōu)化后材料被去除的區(qū)域，填充后的模型如圖9所示。

圖9 填充點(diǎn)陣單元

填充模型設(shè)計(jì)好后，對(duì)初始齒輪模型、拓?fù)鋬?yōu)化模型和填充模型分別設(shè)定1 000 rad/s的轉(zhuǎn)速、中心軸固定的加載方式進(jìn)行性能分析。由于點(diǎn)陣單元數(shù)量巨大，分析較為困難，因此采用將填充模型的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為梁?jiǎn)卧?，并與實(shí)體綁定的等效方式進(jìn)行分析，得到3個(gè)模型的應(yīng)力云圖與應(yīng)變?cè)茍D如圖10所示。

圖10 不同齒輪結(jié)構(gòu)的仿真分析結(jié)果

由圖10和表2可以看出，拓?fù)鋬?yōu)化模型填充金剛石點(diǎn)陣后，最大應(yīng)力和最大位移均下降，力學(xué)性能優(yōu)于優(yōu)化模型，體積相較于初始模型減少了28%。

表2 齒輪力學(xué)性能

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)將拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)與點(diǎn)陣填充技術(shù)相結(jié)合實(shí)現(xiàn)齒輪的輕量化設(shè)計(jì)，使得所設(shè)計(jì)的齒輪在強(qiáng)度下降不超過(guò)25%的要求下，質(zhì)量減少了28%。通過(guò)本文的研究可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)不但使齒輪的應(yīng)力分布更加均勻，而且提高了其疲勞壽命。由于金剛石點(diǎn)陣具有較強(qiáng)的抗扭轉(zhuǎn)能力，填充金剛石點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)后齒輪結(jié)構(gòu)的整體性能得到提升，運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)抗扭轉(zhuǎn)能力更強(qiáng)。在實(shí)際工程應(yīng)用中，其他許多具有優(yōu)越力學(xué)性能的點(diǎn)陣單元能否替代金剛石單元，還需要進(jìn)一步地研究和探討。