以題促教 以法增效
——微專(zhuān)題“讓復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題不再煩惱”的教學(xué)設(shè)計(jì)

?浙江省寧波市北侖明港高級(jí)中學(xué)

郭利芳

1 微專(zhuān)題的認(rèn)識(shí)

依托主題明確、針對(duì)性極強(qiáng)的“微專(zhuān)題”進(jìn)行高三復(fù)習(xí)，可以促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生獲得清晰的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)研究方法，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也符合新課標(biāo)中以生為本和可持續(xù)發(fā)展的教學(xué)理念.

2 教學(xué)內(nèi)容背景

零點(diǎn)問(wèn)題是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，而復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)亦是一個(gè)難點(diǎn).它涉及內(nèi)外兩層函數(shù)，問(wèn)題的解決往往涵蓋數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想，所以，復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題具有關(guān)系復(fù)雜、綜合性強(qiáng)、難度大等特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力和分析能力都有較高的要求.本節(jié)課的主要教學(xué)思路是以方法為主、附以知識(shí)的應(yīng)用和能力的培養(yǎng)，通過(guò)例題的稚化、回歸、變式、拓展四個(gè)維度，在數(shù)學(xué)思想的滲透中歸納此類(lèi)問(wèn)題的常用解題策略，提升教學(xué)效果，實(shí)現(xiàn)以題促教、以法增效的目的.

3 教學(xué)案例設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)一：典例展現(xiàn).

A.3B.4C.5D.6

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生此題得分率較低，對(duì)他們來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，而零點(diǎn)又是高考熱點(diǎn)，因此，展開(kāi)復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的教學(xué)，符合學(xué)情和考情，即符合微專(zhuān)題的設(shè)計(jì)理念.

環(huán)節(jié)二：溫故知新.

(1)零點(diǎn)定義：對(duì)于函數(shù)y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點(diǎn).

(2)關(guān)系：函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)?方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn).

(3)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))常見(jiàn)解題策略：由內(nèi)到外、由外到內(nèi)，均體現(xiàn)著內(nèi)層函數(shù)的整體性.

設(shè)計(jì)意圖：以問(wèn)題帶動(dòng)知識(shí)的回憶，在知識(shí)的回顧過(guò)程中整理問(wèn)題的常用解法，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的積極性.

環(huán)節(jié)三：抽絲剝繭.

(1)稚化例題.

已知奇函數(shù)f(x)、偶函數(shù)g(x)的圖象分別如圖1、圖2所示，若方程f(g(x))=0，g(f(x))=0的實(shí)根個(gè)數(shù)分別為a，b，則a+b=______.

圖1 圖2

設(shè)計(jì)意圖：先從簡(jiǎn)單問(wèn)題出發(fā)，一來(lái)讓學(xué)生感受此類(lèi)問(wèn)題通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法定性判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，相比代數(shù)法計(jì)算出零點(diǎn)值要簡(jiǎn)單便捷；二來(lái)利用此題“以形助數(shù)”的方法，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解；三來(lái)促進(jìn)學(xué)生加深理解函數(shù)與方程之間的關(guān)系.

(2)回歸例題.

A.3B.4C.5D.6

解：令2x2+x=t，作出外層函數(shù)y=f(t)的圖象，定性判斷外層函數(shù)的零點(diǎn)情況；再作出內(nèi)層函數(shù)，觀察內(nèi)層函數(shù)2x2+x=t的圖象，定性判斷內(nèi)層函數(shù)零點(diǎn)情況.

故選答案：A.

設(shè)計(jì)意圖：在稚化引例的基礎(chǔ)上，學(xué)生對(duì)復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題已有方向，在解決復(fù)雜的引例時(shí)找回自信，并能根據(jù)函數(shù)圖象自然想到分類(lèi)討論標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而在數(shù)形結(jié)合思想的指引下成功解決問(wèn)題.整個(gè)過(guò)程較好地培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

(3)例題變式.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)變式的設(shè)計(jì)，不僅培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，也強(qiáng)化了學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解決復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法，較好地提升了學(xué)生邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)四：歸納提煉.

通過(guò)對(duì)例題的“抽絲剝繭”，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)求解復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))零點(diǎn)問(wèn)題的技巧.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生合作交流、歸納總結(jié)、梳理通法，掌握用數(shù)形結(jié)合的方法處理復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，加深函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論與轉(zhuǎn)化化歸思想的理解和應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的能力.

環(huán)節(jié)五：直擊熱點(diǎn).

(1)設(shè)函數(shù)f(x)=x2-x-1，若方程f(f(x))=t恰有三個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)t=______.

(3)已知函數(shù)f(x)=|x2-4x+3|，若方程[f(x)]2+bf(x)+c=0恰有7個(gè)不相同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是______.

設(shè)計(jì)意圖：鞏固知識(shí)，理解函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.

環(huán)節(jié)六：歸納總結(jié).

研究一個(gè)問(wèn)題——利用圖象解決復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題；

得出兩個(gè)步驟——內(nèi)外兼修；

運(yùn)用三個(gè)數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、分類(lèi)討論；

提升四個(gè)素養(yǎng)——邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象.

設(shè)計(jì)意圖：挖掘出本質(zhì)，提煉出主線，總結(jié)出一定的數(shù)學(xué)思想和方法，以期達(dá)到見(jiàn)微知著、以小見(jiàn)大、舉一反三和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

4 教學(xué)反思總結(jié)

本節(jié)課主要通過(guò)典型的復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)題目展開(kāi)，在抽絲剝繭中提煉出解決該類(lèi)問(wèn)題的通性通法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)以題促教、以法增效的目的.因此筆者認(rèn)為，微專(zhuān)題復(fù)習(xí)教學(xué)不應(yīng)只是簡(jiǎn)單地對(duì)同類(lèi)型的題目進(jìn)行堆砌，這樣只會(huì)增加學(xué)生的挫敗感，而應(yīng)挖掘出本質(zhì)，提煉出主線，總結(jié)出數(shù)學(xué)思想和方法，以期達(dá)到見(jiàn)微知著、以小見(jiàn)大、觸類(lèi)旁通和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的，讓學(xué)生在事半功倍中快樂(lè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)！