基于更新過(guò)程的多目標(biāo)預(yù)防維修優(yōu)化模型

楊荔賢 余 俊

（阿壩師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 阿壩 623000）

0 引言

維修模型經(jīng)常使用的準(zhǔn)則有3個(gè)：①維修費(fèi)用、不能工作時(shí)間和維修時(shí)間最小化；②收入、利潤(rùn)和可用性最大化；③達(dá)到要求的可靠性和安全性水平。在開(kāi)展維修活動(dòng)時(shí)，可能基于一項(xiàng)或多項(xiàng)準(zhǔn)則，使用單一的最優(yōu)化準(zhǔn)則建立起來(lái)的最優(yōu)預(yù)防維修模型已無(wú)法滿足現(xiàn)實(shí)需求，經(jīng)常要根據(jù)不同的需求和資源限制來(lái)作出不同的決策。金燕生等［1］研究?jī)蓚€(gè)不同型部件的冷貯備系統(tǒng)的預(yù)防維修策略，在一般分布情況下利用補(bǔ)充變量法，求出系統(tǒng)首次故障前的平均時(shí)間和可靠度。程曉絢等［2］在幾何過(guò)程理論的基礎(chǔ)上，考慮工作時(shí)間受限的情況，提出單部件可修系統(tǒng)的最優(yōu)更換策略。利用更新過(guò)程理論，計(jì)算出平均可用度、平均故障頻度等，并給出系統(tǒng)的期望效益函數(shù)。高俏俏等［3］研究了一種可修系統(tǒng)的維修策略，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)，修理設(shè)備對(duì)其進(jìn)行維修。利用更新過(guò)程和幾何過(guò)程理論，可計(jì)算出系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行后的單位時(shí)間內(nèi)的期望費(fèi)用。劉勤明等［4］以設(shè)備維修能力為約束條件，對(duì)庫(kù)存緩沖區(qū)的多目標(biāo)設(shè)備維修問(wèn)題進(jìn)行研究，在準(zhǔn)更新過(guò)程的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出設(shè)備的隨機(jī)故障次數(shù)，以最大設(shè)備可用度和最小生產(chǎn)總成本為目標(biāo)，構(gòu)建出不完美預(yù)防維修模型，并利用粒子群算法得到更新周期內(nèi)的庫(kù)存量和預(yù)防維修周期兩個(gè)決策變量的最優(yōu)值。劉學(xué)娟［5］利用加速失效時(shí)間模型和基本隨機(jī)回歸系數(shù)模型，在考慮協(xié)變量的影響下，建立模型來(lái)分析設(shè)備的退化過(guò)程，針對(duì)退化過(guò)程設(shè)置兩類更新閾值，一類是預(yù)防性維修更新閾值，另一類是故障更新閾值。運(yùn)用更新回報(bào)定理，對(duì)兩類更新周期內(nèi)的單位時(shí)間期望維修費(fèi)用進(jìn)行建模，并對(duì)模型進(jìn)行求解，可得設(shè)備的最優(yōu)監(jiān)測(cè)區(qū)間和最優(yōu)預(yù)防性維修閾值。Paprocka［6］研究了具有截?cái)嗾龖B(tài)分布故障率的預(yù)測(cè)維修策略，生產(chǎn)任務(wù)的優(yōu)化是通過(guò)選取的參數(shù)估計(jì)方法來(lái)比較不同作業(yè)車(chē)間調(diào)度問(wèn)題的描述擾動(dòng)，基于最大似然估計(jì)法能更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)調(diào)度問(wèn)題。

綜上所述，已有的大部分研究只是對(duì)維修策略中只有一個(gè)因素的單目標(biāo)或由兩個(gè)因素組成的多目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，并采用智能優(yōu)化算法求解模型，且對(duì)考慮因素的數(shù)學(xué)表達(dá)式大部分沒(méi)有推導(dǎo)過(guò)程。本研究利用更新極限定理，來(lái)推導(dǎo)出系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行后單位時(shí)間期望維修費(fèi)用、平均可靠度和穩(wěn)態(tài)可用度，并運(yùn)用極大模理想點(diǎn)法建立關(guān)于這三個(gè)目標(biāo)和一個(gè)決策變量，即預(yù)防維修周期的多目標(biāo)最優(yōu)化模型，并結(jié)合算例給出求解過(guò)程。

1 更新報(bào)酬過(guò)程和更新極限定理

更新報(bào)酬過(guò)程［7］如下所示：{N(t),t≥0}是由非負(fù)隨機(jī)變量X1,X2,……所產(chǎn)生的更新過(guò)程，假設(shè)Y n是第n個(gè)更新壽命X n中的報(bào)酬，且{(X n,Y n),n≥1}獨(dú)立同分布。令為(0,t]時(shí)間內(nèi)的總報(bào)酬，則稱{Y(t),t≥0}為更新報(bào)酬過(guò)程。

更新極限定理［7］如式（1）所示。

若E Y n和EX n有限，則

更新極限定理說(shuō)明了對(duì)長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行后求得的期望平均報(bào)酬等于一個(gè)周期內(nèi)得到的期望報(bào)酬除以該周期的期望時(shí)間。

1.1 基本模型及假設(shè)

假設(shè)部件的壽命分布函數(shù)為Φ(t)，當(dāng)部件突發(fā)故障時(shí)對(duì)其進(jìn)行小修，小修時(shí)間Y m服從一般分布，其均值為βm，部件經(jīng)小修后，能夠正常工作，且部件年齡不變。當(dāng)累計(jì)工作時(shí)間達(dá)到部件的指定年齡T時(shí)，需要對(duì)部件進(jìn)行預(yù)防維修，預(yù)防維修時(shí)間Y p，其服從均值為βp的一般分布，經(jīng)過(guò)預(yù)防維修后的部件恢復(fù)初始狀態(tài)，并能立即正常工作。故障小修每次費(fèi)用為cm，預(yù)防維修每次費(fèi)用為c p，(0,t]時(shí)間內(nèi)的期望工作時(shí)間為M T，(0,t]時(shí)間內(nèi)的期望維修費(fèi)用為M C，(0,t]時(shí)間內(nèi)的期望可靠度為M R；長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間的期望維修費(fèi)用為，t時(shí)刻的瞬時(shí)可用度為A(t)，極限平均可用度為，穩(wěn)態(tài)可用度為，失效率為γ(t)。在部件工作時(shí)間T內(nèi)，發(fā)生故障的平均次數(shù)為m(T)，可靠度函數(shù)為R(t)，平均可靠度為。

假設(shè)小修時(shí)間、預(yù)防維修時(shí)間及部件壽命等因素相互獨(dú)立。

再生點(diǎn)為部件的預(yù)防維修結(jié)束時(shí)刻，假設(shè)兩個(gè)相鄰的預(yù)防維修結(jié)束時(shí)刻之間的時(shí)間差是一個(gè)周期。很顯然，各周期獨(dú)立同分布，并形成一個(gè)更新過(guò)程，因此可運(yùn)用更新極限定理來(lái)推導(dǎo)相關(guān)表達(dá)式［8］。本研究是要求最優(yōu)的累計(jì)工作時(shí)間T（即預(yù)防維修周期T），使其能滿足多項(xiàng)準(zhǔn)則的最優(yōu)化問(wèn)題。部件的可能發(fā)展進(jìn)程見(jiàn)圖1。

圖1 部件的可能發(fā)展進(jìn)程

由上述分析可知，壽命的概率密度為Φ'()t，可得部件的失效率，見(jiàn)式（2）。

在部件工作時(shí)間T內(nèi)，發(fā)生故障平均次數(shù)見(jiàn)式（3）。

即周期長(zhǎng)為=T+Y p+Y m·m(T)，平均周期長(zhǎng)為T(mén)+βp+βm·m(T)。

1.2 穩(wěn)態(tài)可用度、長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間的期望維修費(fèi)用和平均可靠度的推導(dǎo)過(guò)程

若將工作時(shí)間看成其所在周期內(nèi)的報(bào)酬，則(0,t]時(shí)間內(nèi)的期望工作時(shí)間可看成(0,t]時(shí)間內(nèi)的總報(bào)酬，更新極限定理見(jiàn)式（4）。

這里將可靠度看成其所在周期內(nèi)的報(bào)酬，則(0,t]時(shí)間內(nèi)的期望可靠度可看成(0,t]時(shí)間內(nèi)的總報(bào)酬，更新極限定理見(jiàn)式（8）。

運(yùn)用更新極限定理可得這三個(gè)指標(biāo)的表達(dá)式與能夠反映長(zhǎng)期運(yùn)行的系統(tǒng)性能，綜合考慮這三個(gè)因素來(lái)確定最優(yōu)預(yù)防維修周期T將更加符合實(shí)際。

2 極大模理想點(diǎn)法建立多目標(biāo)預(yù)防維修最優(yōu)化模型

將公式（4）（5）（8）按照穩(wěn)態(tài)可用度極大、長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間的期望維修費(fèi)用極小和平均可靠度極大準(zhǔn)則，建立包含三個(gè)目標(biāo)和一個(gè)決策變量，即預(yù)防維修周期T的多目標(biāo)最優(yōu)化模型，見(jiàn)式（9）。

針對(duì)多目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題的求解，先分別求解出每一個(gè)分目標(biāo)函數(shù)的極小值，各目標(biāo)函數(shù)在接近其極小值時(shí)，即取得理想點(diǎn)，從而獲得多目標(biāo)函數(shù)的解。為了體現(xiàn)各目標(biāo)在問(wèn)題中的重要程度不同，及各目標(biāo)對(duì)最優(yōu)預(yù)防維修周期T的影響，本研究采用理想點(diǎn)法中極大模理想點(diǎn)法［9］來(lái)求解上面多目標(biāo)問(wèn)題。

在進(jìn)行統(tǒng)一量綱處理后，各分量目標(biāo)函數(shù)記為F i(T)，i=1,2,3，F(xiàn)(T)=(F1(T),F2(T),F3(T))，并求得，i=1,2,3，則F*=(F1*,F2*,F3*)為模型的理想點(diǎn)。

理想點(diǎn)法就是將目標(biāo)與理想點(diǎn)之間的“距離”‖F(xiàn)(T)-F*‖作為評(píng)價(jià)函數(shù)，所以問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求解 數(shù) 值 極 小 化 問(wèn) 題，其 中‖F(xiàn)(T)-F*‖為向量F(T)-F*的模。極大模理想點(diǎn)法就是采用作為評(píng)價(jià)函數(shù)求解模型。于是，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為式（10）所示的等價(jià)輔助問(wèn)題。

運(yùn)用極大模理想點(diǎn)法求解模型的計(jì)算步驟如下所示。

①統(tǒng)一各分量目標(biāo)函數(shù)的量綱。取適當(dāng)?shù)恼龜?shù)α分別加入各分量目標(biāo)函數(shù)，得到新的各分量目標(biāo)函數(shù)：f i(T)+α＞0,?T≥0,i=1,2,3；計(jì)算T≥0時(shí)各分量目標(biāo)函數(shù)的極小值,以函數(shù)作為新的分量目標(biāo)函數(shù)。

③檢驗(yàn)理想點(diǎn)。當(dāng)T*1=T*2=T*3時(shí)，絕對(duì)最優(yōu)解T*=T*1，停止計(jì)算。否則轉(zhuǎn)步驟④。

④給出正權(quán)數(shù)。λ1,λ2,λ3＞0，且（注意要求所有λi＞0）。

⑤求解輔助非線性規(guī)劃問(wèn)題（10），得最優(yōu)解（T*,ω*），輸出T*。

3 算例分析

假設(shè)某部件的壽命服從η=4×10-4（尺度參數(shù)）、β=2（形狀參數(shù)）的威布爾分布。經(jīng)小修后，部件恢復(fù)工作，但修復(fù)后部件的年齡不變，故障小修時(shí)間Y m的均值βm=1 h。另外，當(dāng)該部件的累計(jì)工作時(shí)間達(dá)到指定年齡T時(shí)，對(duì)部件需要進(jìn)行預(yù)防維修，預(yù)防維修完成后，部件恢復(fù)如新，并立即進(jìn)入工作狀態(tài)，預(yù)防維修時(shí)間Y p的均值βp=5 h。每次預(yù)防維修的費(fèi)用c p=1 000元，每次故障小修的費(fèi)用cm=100元。為使穩(wěn)態(tài)可用度極大、長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間的期望維修費(fèi)用極小和平均可靠度極大，求取最優(yōu)的預(yù)防維修周期T*（單位：h）。

首先，該算例中相鄰兩個(gè)預(yù)防維修結(jié)束時(shí)刻之間的時(shí)間構(gòu)成一個(gè)更新過(guò)程。威布爾分布的壽命分布函數(shù)是所以，可靠度，故障率即部件工作時(shí)間T內(nèi)發(fā)生故障的平均次數(shù)為m(T)=；平 均 周 期

根據(jù)公式（9）建立多目標(biāo)最優(yōu)化模型，見(jiàn)式（11）。

根據(jù)極大模理想點(diǎn)法求解公式（11），步驟如下。

①統(tǒng)一各分量目標(biāo)函數(shù)量綱。各分量目標(biāo)函數(shù)f1(T)、f2(T)、f3(T)分別加1（各分量的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)閒 i(T)+1＞0,?T≥0,i=1,2,3），求f i(T)+1在T≥0上的極小值(i=1,2,3)：0.020 5，并由，i=1,2,3來(lái)構(gòu)造新的分量目標(biāo)函數(shù)，見(jiàn)式（12）。

③檢驗(yàn)理想點(diǎn)。因?yàn)門(mén)*1≠T*2≠T*3，所以轉(zhuǎn)步驟④。

④給出正權(quán)數(shù)。λ1,λ2,λ3＞0，且=（1注意要求所有λi＞0）。

⑤根據(jù)式（10）構(gòu)造輔助非線性規(guī)劃問(wèn)題，由式（12）（13）可得非線性規(guī)劃問(wèn)題（14）。

分別代入幾組不同的權(quán)重來(lái)求解非線性規(guī)劃問(wèn)題（14），輸出T*。

首先每個(gè)權(quán)重的改變對(duì)最優(yōu)結(jié)果產(chǎn)生的影響較大，當(dāng)代表穩(wěn)態(tài)可用度的λ1和代表維修費(fèi)用的λ2在三個(gè)權(quán)重中最大時(shí)，所得的最優(yōu)預(yù)防維修周期都較大；當(dāng)代表平均可靠度的λ3在三個(gè)權(quán)重中最大時(shí)，所得的最優(yōu)預(yù)防維修周期都較小。這是因?yàn)椴考陂L(zhǎng)期運(yùn)行過(guò)程中，若考慮穩(wěn)態(tài)可用度，即要保證部件處于正常狀態(tài)的時(shí)間比例大，則不宜經(jīng)常維修；若考慮維修費(fèi)用，要讓部件維修費(fèi)用較小，顯然也不易經(jīng)常維修；若考慮平均可靠度，則要避免部件失效才能保證較高的平均可靠度，通過(guò)較頻繁的預(yù)防維修可實(shí)現(xiàn)這一目的。所以，當(dāng)三個(gè)目標(biāo)同時(shí)考慮，且穩(wěn)態(tài)可用度或維修費(fèi)用所占權(quán)重又較大時(shí)，所得的最優(yōu)預(yù)防維修周期就會(huì)較大；當(dāng)三個(gè)目標(biāo)同時(shí)考慮，且平均可靠度所占權(quán)重又較大時(shí)，所得的最優(yōu)預(yù)防維修周期就會(huì)較小。當(dāng)穩(wěn)態(tài)可用度的權(quán)重相同，增大平均可靠度的權(quán)重時(shí)（因λ1+λ2+λ3=1，所以此時(shí)代表維修費(fèi)用的權(quán)重λ2逐漸減?。?，明顯可看出所得的最優(yōu)預(yù)防維修周期就變?。划?dāng)維修費(fèi)用的權(quán)重相同，增大穩(wěn)態(tài)可用度的權(quán)重時(shí)（因λ1+λ2+λ3=1，所以此時(shí)代表平均可靠度的權(quán)重λ3逐漸減?。?，明顯可看出所得的最優(yōu)預(yù)防維修周期就變大。

在系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行的過(guò)程當(dāng)中，需要根據(jù)不同的需求和資源限制作出不同的決策時(shí)，可以運(yùn)用本研究的方法調(diào)整相關(guān)因素的權(quán)重來(lái)得到滿意的結(jié)果。