王雨楠 劉昆

（中山大學(xué)航空航天學(xué)院，廣州 510275）

引言

磁懸浮軸承相比傳統(tǒng)軸承有許多優(yōu)點(diǎn)，如不存在機(jī)械接觸、無磨損、低功耗，在極端溫度和較高速度下運(yùn)行能力較好[1].因此電磁軸承已經(jīng)廣泛應(yīng)用于高速透平機(jī)械等工業(yè)領(lǐng)域以及磁懸浮飛輪等航天領(lǐng)域.電磁軸承有兩個(gè)主要的振動(dòng)源，轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡和傳感器噪聲.質(zhì)量不平衡是由于實(shí)際制造的材料與加工工藝限制，主軸的慣性軸與幾何軸線不重合，轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生不平衡振動(dòng)[2].傳感器擾動(dòng)是由于傳感器表面不均勻及其他非線性因素，導(dǎo)致在傳感器測量環(huán)節(jié)引入干擾，傳感器擾動(dòng)主要導(dǎo)致諧波干擾.

對于電磁軸承的振動(dòng)抑制主要有兩種：一種為不平衡補(bǔ)償，以“零轉(zhuǎn)子位移”為目的.另一種為自動(dòng)平衡，實(shí)現(xiàn)力或電流的最小補(bǔ)償[3].國內(nèi)外學(xué)者對此作了許多研究，Herzog等[4]提出一種具有自由極點(diǎn)位置的廣義陷波濾波器，可以處理不同轉(zhuǎn)速下的同頻不平衡信號(hào)，但是不能補(bǔ)償位移剛度力引起的振動(dòng).Shi等[5]提出一種基于LMS自適應(yīng)濾波算法的自適應(yīng)前饋法，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子最小位移補(bǔ)償.Liu等[6]提出一種開環(huán)軸承力補(bǔ)償方法來抑制不平衡振動(dòng)，采用自適應(yīng)陷波器識(shí)別位置信號(hào)中的同頻位移，但是并沒有考慮功率放大器的低通特性.這些方法主要針對同頻振動(dòng)，針對傳感器諧波噪聲引起的擾動(dòng)問題，Setiawan等[7]提出了一種自適應(yīng)的傳感器擾動(dòng)補(bǔ)償算法.它保證了轉(zhuǎn)子幾何中心的漸近穩(wěn)定，并利用持續(xù)激勵(lì)在線前饋消除擾動(dòng).Xu等[8]提出了一種基于重復(fù)控制器的諧波振動(dòng)力消除方法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法能有效地消除諧波電流.Cui等[9]提出利用改進(jìn)的重復(fù)控制器抑制主被動(dòng)磁懸浮控制力矩陀螺中的諧波電流，試驗(yàn)證明了該方法具有較好的抑制性能.張激揚(yáng)等[10]基于一種級(jí)聯(lián)相移陷波器對磁懸浮飛輪全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的傳感器諧波擾動(dòng)進(jìn)行了主動(dòng)抑制.Zhou等[11]提出針對奇次諧波的改進(jìn)重復(fù)控制器，消除PWM逆變器跟蹤誤差.

本文對磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的位移剛度系數(shù)kh和電流剛度系數(shù)ki進(jìn)行辨識(shí)，提出利用自適應(yīng)LMS算法實(shí)現(xiàn)對傳感器擾動(dòng)引起的八倍頻振動(dòng)進(jìn)行抑制，在此基礎(chǔ)上改進(jìn)一種隨轉(zhuǎn)子位移信號(hào)頻率變化而變化的變步長因子實(shí)現(xiàn)自動(dòng)平衡，利用廣義根軌跡分析插入自適應(yīng)LMS算法后系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并通過仿真分析驗(yàn)證了該方法的振動(dòng)抑制效果.

1 磁懸浮軸承系統(tǒng)建模

1.1 磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)考慮細(xì)長轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)子兩端分別安裝一個(gè)徑向磁軸承，分別產(chǎn)生沿轉(zhuǎn)子徑向的電磁控制力.圖1是轉(zhuǎn)子受電磁力作用的示意圖.

圖1 轉(zhuǎn)子受力分析Fig.1 Free-body diagram of the rotor

由牛頓第二定律和動(dòng)量矩定理可得到轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程：

式中，F(xiàn)AX、FBX為轉(zhuǎn)子沿 x方向的電磁力，F(xiàn)AY、FBY為轉(zhuǎn)子沿y方向的電磁力，α、β分別為轉(zhuǎn)子繞x、y軸旋轉(zhuǎn)的角位移，Ω為轉(zhuǎn)速，l為轉(zhuǎn)子長度，m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量.對磁軸承的磁力線性化可得：

式中，ki為電流剛度系數(shù)，kh為位移剛度系數(shù).

1.2 振動(dòng)源建模

磁懸浮飛輪懸浮控制系統(tǒng)中存在多個(gè)干擾源，不平衡干擾力是在轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)環(huán)節(jié)引入的振動(dòng)干擾.受到加工工藝和安裝誤差等因素影響，傳感器測量環(huán)節(jié)和磁力產(chǎn)生環(huán)節(jié)也會(huì)引入干擾.傳感器各環(huán)節(jié)引入的噪聲可以等效為測量面的不規(guī)則，可以稱之為傳感器擾動(dòng)（Sensor Runout），如圖2所示.

圖2 傳感器擾動(dòng)示意圖Fig.2 Sensor runout diagram

在轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)測量面的不規(guī)則會(huì)給懸浮控制系統(tǒng)引入周期干擾，這些干擾可以用轉(zhuǎn)子同頻和倍頻的傅里葉級(jí)數(shù)建模.傳感器擾動(dòng)在傳感器坐標(biāo)下表示為[12]：

式中，i為諧波次數(shù)，i=1，2，… n ； xai、xbi為磁軸承A、B兩端傳感器輸出信號(hào)的第i次諧波的幅值，θbi分別為相應(yīng)的初始相位.本文主要考慮傳感器擾動(dòng)的八次諧波.

1.3 參數(shù)辨識(shí)

對位移剛度系數(shù)khx和電流剛度系數(shù)kix進(jìn)行辨識(shí).當(dāng)轉(zhuǎn)子水平放置在試驗(yàn)臺(tái)上時(shí)，動(dòng)力學(xué)方程為：

圖3 垂直懸浮時(shí)轉(zhuǎn)子受力示意圖Fig.3 Force diagram of the rotor in vertical suspension

由于存在控制作用，偏置位移產(chǎn)生的位移剛度力與水平放置時(shí)相同，而控制電流中額外包含了克服重力而多出的部分.由式（10）減去式（6）得：受PID控制器中積分項(xiàng)作用，給定位移偏置指令后，最終穩(wěn)態(tài)的位移偏差為0.令給定的偏置位移指令相等，有：

測量得到 E[ivx（t）] 、E[ihx（t）] 、m和 θ，可以計(jì)算得到kix.為了提高精度，可以多點(diǎn)測量求均值，根據(jù)式（7）和式（13）可以得到khx.

2 基于自適應(yīng)LMS的主動(dòng)振動(dòng)控制

2.1 標(biāo)準(zhǔn)LMS算法

圖4給出了加入LMS自適應(yīng)算法的磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)懸浮控制結(jié)構(gòu)框圖.可以看出LMS濾波器加在了懸浮控制器之前的位置.圖5則給出了LMS算法結(jié)構(gòu)圖.

圖4 加入LMS自適應(yīng)算法的磁軸承結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Structure diagram of magnetic bearing based on LMS adaptive feedforward

圖5 LMS算法結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Structure of LMS algorithm

定義 X（t） =[sin（ω0t） cos（ω0t）]T為輸入信號(hào)向量，W（t） =[wL1（t） wL2（t）]T為權(quán)向量，d（t）為需要濾除的信號(hào)，Y（t） 為算法輸入信號(hào)，e（t） 為誤差信號(hào)，ω0為濾波角頻率，μ為步長.由圖5可以得到LMS算法的時(shí)域方程為：

該函數(shù)零點(diǎn)為 z0=e±jω0，當(dāng) d（t） 的頻率 f等于算法輸入信號(hào)頻率f0時(shí)，有H（z）=0，可以實(shí)現(xiàn)對d（t） 的濾波.

2.2 變步長LMS算法

固定步長LMS算法只能對某些固定轉(zhuǎn)動(dòng)頻率具有好的補(bǔ)償效果，對于不同的旋轉(zhuǎn)頻率，需要選擇合適的步長因子，才能有效地濾除振動(dòng)干擾.文獻(xiàn)[14]分析了幾種變步長LMS算法的濾波效果，提出一種變步長改進(jìn)算法，步長因子為

式中，fr為實(shí)時(shí)監(jiān)測到的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)頻率，μ1為一個(gè)很小的正參數(shù)，γ為加權(quán)系數(shù)，一般在20-30之間.但是式子中有兩個(gè)調(diào)節(jié)參數(shù)，對于高速旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子，需要調(diào)節(jié)的參數(shù)越多，在試驗(yàn)中的不利因素越多，因此文獻(xiàn)[15]在此基礎(chǔ)上提出改進(jìn)的變步長LMS算法，步長因子為：

μ′1是一個(gè)很小的值，只有一個(gè)需要調(diào)節(jié)的參數(shù).

3 仿真分析

搭建SIMULINK模型對上述算法進(jìn)行仿真.表1給出了仿真中用到的系統(tǒng)參數(shù).

表1 模型參數(shù)Table 1 Parameter of the model

采用PID控制器，其傳遞函數(shù)的具體形式為：

式中，kP是比例系數(shù)，kI是積分系數(shù)，kD是微分系數(shù)，N表示微分器的深度.功放模型簡化為一階慣性環(huán)節(jié)，即：

式中，kw為功放增益，τ為功放時(shí)間常數(shù).

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

式中，m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量，ki為電流剛度系數(shù)，kh為位移剛度系數(shù).位移傳感器用比例增益表示：

繪出加入基于LMS陷波器的磁懸浮軸承系統(tǒng)轉(zhuǎn)速根軌跡的主導(dǎo)零極點(diǎn)如圖6所示，從圖中可知系統(tǒng)在低轉(zhuǎn)速時(shí)存在不穩(wěn)定極點(diǎn).可以考慮在低頻時(shí)不加補(bǔ)償，轉(zhuǎn)速達(dá)到一定值后再加入補(bǔ)償.

圖6 根軌跡圖Fig.6 Diagram of root locus

考慮正弦信號(hào)xsd=A cos（8Ωt+θ） .可以看出，該信號(hào)的頻率是轉(zhuǎn)速的8倍，將其作為傳感器擾動(dòng)，加入系統(tǒng)后進(jìn)行仿真.在仿真開始前3s內(nèi)，不啟動(dòng)LMS算法，3s時(shí)啟動(dòng)LMS算法，仿真結(jié)果如圖7和圖8所示，仿真中的轉(zhuǎn)速Ω=2000rpm.

圖7 電流收斂過程時(shí)間關(guān)系曲線Fig.7 The simulation results of the coil currents

圖8 位移收斂過程時(shí)間關(guān)系曲線Fig.8 The simulation results of the displacement signal

從仿真結(jié)果可以看出，對于傳感器擾動(dòng)引起的八倍頻擾動(dòng)，加入LMS反饋補(bǔ)償后，轉(zhuǎn)子的位移和電流都迅速收斂到極低值地?cái)_動(dòng)進(jìn)行了抑制.

4 結(jié)論

本文對磁懸浮轉(zhuǎn)子存在傳感器諧波噪聲情況下的振動(dòng)控制問題進(jìn)行了研究，通過引入自適應(yīng)LMS反饋補(bǔ)償，減小了電流和位移信號(hào)中的八倍頻擾動(dòng)，提出了一種改進(jìn)型的隨轉(zhuǎn)速變化的變步長因子，能夠?qū)崟r(shí)對變轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)子實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抑制，通過仿真研究驗(yàn)證了該方法具有較好的抑制效果.但是本文只針對八倍頻擾動(dòng)進(jìn)行了研究，對于其他倍頻擾動(dòng)的同步抑制還有待研究.