關(guān)于三角形旁切圓半徑的一個(gè)不等式再研討

安徽省蕪湖市善瑞中學(xué) 許衛(wèi)國 （郵編：241070）

1 引言

設(shè)a、b、c、ra、rb、rc、R、r、s、Δ分別是△ABC的頂點(diǎn)A、B、C所對的邊長，旁切圓半徑，外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑，半周長與面積，∑表示求循環(huán)和.

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2019年12 期刊登了數(shù)學(xué)問題2520 如下：

在△ABC中，有

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2020年1 期刊登了問題提供者給出的利用柯西不等式證明的解答.本文給出不等式（1）的一個(gè)加強(qiáng)與逆向.

定理 在△ABC中，則有

2 三個(gè)引理

為證明不等式（3），先給出三個(gè)引理.

引理1在△ABC中，有

引理2[6]在△ABC中，有

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.

引理3[7]在△ABC中，有

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.

3 主要結(jié)論的證明

證明由三角形海倫面積公式及Δ=(sa)ra=(s-b)rb=(s-c)rc=sr，得

依據(jù)歐拉不等式R≥2r，18R2-3Rr-2r2-16R2=(2R+r)(R-2r)≥0，所以18R2-3Rr-2r2≥16R2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.利用引理2，有

不等式（2）右側(cè)得證.

依據(jù)歐拉不等式，有8R3-(4R3+6R2r+3Rr2+2r3)=(4R2+2Rr+r2)(R-2r)≥0，所以4R3+6R2r+3Rr2+2r3≤8R3，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.

利用引理3

由引理2、引理3 等號(hào)成立的條件及證明過程知，不等式（4）兩側(cè)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形.

4 討論

由歐拉不等式R≥2r，知1，所以不等式(2)的右側(cè)不等式比文[2]利用柯西不等式得到的不等式強(qiáng)，利用熟知的不等式：R，知所以不等式（2）的右側(cè)是不等式（1）的加強(qiáng).