基于“問題串”設計發(fā)展學生數(shù)學建模核心素養(yǎng)*
——以“球賽積分表問題”為例

廣東省深圳實驗學校(518001) 唐麗艷

《義務教育數(shù)學課程標準(2022 年版)》[1]特別強調(diào)學生綜合實踐素養(yǎng)能力的培養(yǎng),由此推動育人模式的改革,并將“模型觀念”列為初中數(shù)學核心素養(yǎng),至此數(shù)學建模正式進入初中數(shù)學教學,數(shù)學建模具有綜合性強、與其他數(shù)學核心素養(yǎng)聯(lián)系緊密、相互交融的特點,是培養(yǎng)學生綜合實踐素養(yǎng)的重要途徑.

課程標準指出: 學生初步感知數(shù)學建模的基本過程,從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題,用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義[1]. 因初中學生普遍缺乏數(shù)學建?；顒咏?jīng)驗,面對實際問題往往無從下手,獨立開展數(shù)學建模活動很可能就變成漫無目的的探索,因此需要教師設計邏輯連貫、循序漸進的問題串引導學生有序開展數(shù)學建?；顒覽2]. 筆者在2019 年代表深圳市參加廣東省總工會、廣東省教育廳聯(lián)合主辦的第二屆廣東省中小學青年教師教學能力大賽,在上課環(huán)節(jié)中講授了“球賽積分表問題”,最終獲得廣東省初中數(shù)學決賽第一名,整個課堂以邏輯連貫、具有思維挑戰(zhàn)性的6 個問題串,引導學生開展系列化的數(shù)學學習活動,本文將結(jié)合該案例,探討數(shù)學建模教學中的問題串設計.

以下是教學過程設計:

1 教學內(nèi)容及其地位和作用

1.1 教學內(nèi)容

本節(jié)課內(nèi)容是人教版數(shù)學七年級上冊“第三章一元一次方程”第四節(jié)實際問題與一元一次方程—探究2 球賽積分表問題[3].

1.2 地位和作用

在學習了解一元一次方程和列簡單的方程解應用題后,本節(jié)課通過對球賽積分問題的探索,讓學生自主學習,合作交流,尋求問題的解決方法.

本節(jié)課內(nèi)容的教學涉及代數(shù)式和一元一次方程等數(shù)學概念的理解與運用,需要掌握運用問題中的等量關(guān)系列方程的基本方法,并對運用一元一次方程解決實際問題的基本步驟有所認識,在此基礎(chǔ)上向?qū)W生滲透方程的思想,發(fā)展學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模素養(yǎng).

2 教學目標及解析

2.1 教學目標

(1)通過用字母、代數(shù)式和方程表示球賽積分表問題中的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系,積累數(shù)學活動經(jīng)驗,發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng).

(2)通過用一元一次方程探究球賽積分表問題,明確列方程的基本方法,體會方程思想,發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng).

2.2 目標解析

教學目標(1)與(2)的確定,基于數(shù)學教學內(nèi)容中所蘊涵的概念與原理、思想與方法及數(shù)學素養(yǎng),這表明: 探究球賽積分表不僅僅是為了解決一個具體問題,更重要的是引導學生體會用字母表示數(shù)與變量,學習用代數(shù)式和方程去表示、刻畫實際問題中的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系,并將實際問題轉(zhuǎn)化為一元一次方程這個數(shù)學模型來求解,在此過程中落實“四基”“四能”,發(fā)展學生的數(shù)學建模素養(yǎng).

3 教學重點、難點

3.1教學重點用一元一次方程解決球賽積分表問題,體會方程思想.

3.2教學難點利用球賽積分表問題中的等量關(guān)系列出一元一次方程,發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng).

4 教學過程設計

導入: 觀看一段2019 年男籃世界杯比賽視頻.

【師生活動】

學生觀看視頻,教師以此引入課題.

【設計意圖】

以學生熟悉的場景引入課題,激發(fā)學生的學習興趣.

問題1 觀察下列表1,你能得出比賽的積分規(guī)則嗎? 即勝一場積幾分? 負一場積幾分?

表1 2019 年男籃世界杯小組賽A 組積分____榜

追問: 觀察下列表2,你能得出比賽的積分規(guī)則嗎? 即勝一場積幾分? 負一場積幾分?

_表2____________________某次籃球聯(lián)賽積分榜

【師生活動】

教師給出問題后,讓學生思考如何得出本次比賽的積分規(guī)則.

學生觀察表1 波蘭隊的數(shù)據(jù)得出勝一場得2 分,科特迪瓦隊的數(shù)據(jù)得出負一場得1 分.

教師給出表2 即教科書中的某次籃球聯(lián)賽積分榜,追問學生,你能得出比賽的積分規(guī)則嗎?

學生觀察表2 最后一行可以得到,負一場積1 分,再利用其他任意一行的數(shù)據(jù)可以算出勝一場積2 分.

若學生無法得出積分規(guī)則,可讓學生回憶表1 獲取積分規(guī)則的過程,迫使學生遷移前面“先觀察特殊的數(shù)據(jù)”再觀察其他數(shù)據(jù)的經(jīng)驗.

同時,引導學生認識到,用兩行不同的數(shù)據(jù)即可得出積分規(guī)則.

【設計意圖】

引導學生觀察表1 和表2 數(shù)據(jù),利用兩隊數(shù)據(jù)得出積分規(guī)則,并認識到并沒有用上表1 和表2 中的全部數(shù)據(jù)解決問題,為問題2 打下鋪墊. 培養(yǎng)學生觀察圖表、分析圖表及獲取圖表信息的能力.

問題2 只用表2 中藍天隊和雄鷹隊的數(shù)據(jù),你能得出積分規(guī)則嗎?_________________________________

隊名比賽場數(shù)勝場數(shù)負場數(shù)積分藍天14 9 5 23雄鷹14 7 7 21

【師生活動】

教師給出問題后,讓學生嘗試解決問題,教師加以適當引導.

收集學生的解答進行點評,整理歸納學生可能的不同解法,并引導學生體會列方程的方法. 如果學生提供的解答單一,教師可啟發(fā)學生探究不同的方法. 在得出積分規(guī)則后,可進一步追問學生: 若利用表2 其他兩隊的數(shù)據(jù),你可以得出比賽的積分規(guī)則嗎? 讓學生分組探究,教師點評學生的探究結(jié)果.

追問: 給出前進隊和東方隊的數(shù)據(jù)可以求出積分規(guī)則嗎?

隊名比賽場數(shù)勝場數(shù)負場數(shù)積分_前進14 10 4 24__東方14 10 4 24__

學生發(fā)現(xiàn)這兩行數(shù)據(jù)一樣后,引導學生認識一行數(shù)據(jù)不能得出積分規(guī)則.

【設計意圖】

通過表2 信息獲取積分規(guī)則,體會方程思想,明確用一元一次方程解決實際問題的基本過程,發(fā)展學生數(shù)學抽象與數(shù)學建模素養(yǎng).

問題3 你能用代數(shù)式(或等式)表示某隊的總積分與勝場數(shù)(或負場數(shù))之間的數(shù)量關(guān)系嗎?

【師生活動】

與學生約定用m,n分別表示勝場數(shù)和負場數(shù).

讓學生分別用含有勝場數(shù)m或負場數(shù)n的代數(shù)式表示總積分.

追問: 某隊的總積分能等于17 嗎? 能等于13 嗎?

【設計意圖】

進一步引導學生分析表格數(shù)據(jù),學習用字母或代數(shù)式表示實際問題中的數(shù)量或數(shù)量關(guān)系;利用等量關(guān)系列出一元一次方程,并通過檢驗方程的解是否符合實際問題的意義,體會方程思想,明確檢驗是用數(shù)學模型解決實際問題的必要步驟.

問題4 某隊的勝場總積分能等于它的負場總積分嗎?

【師生活動】

讓學生在問題3 所獲結(jié)論的基礎(chǔ)上,建立一元一次方程,并通過求解方程、檢驗所得解是否符合實際意義進行判斷.

追問: 某隊勝場總積分能等于它的負場總積分的2 倍嗎? 教師在學生回答基礎(chǔ)上進行點評.

【設計意圖】

加強學生用一元一次方程解決實際問題的數(shù)學意識,積累數(shù)學活動經(jīng)驗,體會用數(shù)學模型解決實際問題的基本步驟,發(fā)展學生的數(shù)學抽象與數(shù)學建模素養(yǎng).

想一想觀察表2,你還能得到這次比賽的哪些信息呢?

引導學生思考,表格中每隊的比賽場數(shù)都是14,這場比賽的賽制是什么呢? 引出雙循環(huán)賽,并用具體實例介紹雙循環(huán)賽的基本規(guī)則及計算比賽場數(shù)的方法.

【設計意圖】

介紹籃球比賽規(guī)則,讓學生了解雙循環(huán)賽比賽場數(shù)的計算方法,為問題5 打下鋪墊.

問題5 你能否在下面的表格中添加最少的數(shù)據(jù),使其他小組的同學根據(jù)你給出的數(shù)據(jù)復原表2?

表3 某次籃球聯(lián)賽積分榜

【師生活動】

讓學生分組研討,再讓各組填好教師發(fā)下的表格供展示交流.

【設計意圖】

幫助學生進一步提升用一元一次方程探究實際問題的能力,體會用數(shù)學模型解決實際問題的好處.

問題6 用一元一次方程解決實際問題的步驟是怎樣的?

【師生活動】

教師結(jié)合已經(jīng)解決的問題,引導學生歸納概括列方程的基本方法.

教師引導學生得出以下用一元一次方程解決實際問題步驟的圖示:

【設計意圖】

小結(jié)本節(jié)課學習內(nèi)容,幫助學生進一步認識用一元一次方程解決實際問題必須經(jīng)歷的步驟,加深對方程思想、數(shù)學建模的認識.

5 教學反思

“用問題引導學習”是教學的一條基本準則,提高設問能力也是教師提升教學過程設計水平的關(guān)鍵. 區(qū)別于傳統(tǒng)的數(shù)學活動,數(shù)學建?；顒泳哂袑W生活動經(jīng)驗淺、入手難度大、綜合要求高、思維發(fā)散強等特征,問題串的設計應該注意以下幾點:

5.1 問題串設計應注重教學的整體性

完整的數(shù)學建?；顒影ā皢栴}情境——問題分析與簡化——建立模型——求解模型——模型分析與檢驗——模型應用”等環(huán)節(jié),問題串的設計應該將數(shù)學建模的各個要素和環(huán)節(jié)不露痕跡地體現(xiàn)在教學過程中,引導學生經(jīng)歷完整的數(shù)學建模過程,積累數(shù)學建模活動經(jīng)驗,形成數(shù)學建模的“一般套路”.“球賽積分表問題”中,通過設計6 個邏輯連貫、具有思維挑戰(zhàn)性的問題串, 將數(shù)學建模的各個過程無縫連接起來,較好地體現(xiàn)了教學的整體性.

5.2 問題串設計應立足學生的認知水平

數(shù)學建模入手難度大、綜合性強,學生缺乏相關(guān)經(jīng)驗,教師在問題串設計時一定要充分考慮學生的現(xiàn)有知識、能力水平和生活經(jīng)驗. 比如在拋出“球賽積分表問題”之前先觀看籃球視頻,可以激發(fā)學生好奇心. 在問題串設置的基礎(chǔ)上,以互動追問的形式給予學生啟發(fā),幫助學生逐步解決問題,一步一步引導學生在解決實際問題的過程中形成一個整體框架,體現(xiàn)了數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展過程的合理性與思維過程的合理性.

5.3 問題串設計應注重開放性

數(shù)學建模具有高度開放性,已知條件不清晰,需要建模者根據(jù)情況自己提出假設,簡化或者約束問題條件. 數(shù)學建模沒有標準方法和標準答案,合理的方法和結(jié)論就是好的模型, 因此數(shù)學建模教學中的問題串設計要格外注重開放性,給學生自主探究留足空間. 開放性問題能夠促進學生討論交流,充分發(fā)揮學生的主體作用,激發(fā)學生的創(chuàng)新思維. 比如案例中的問題5 有較強的開放性,學生可以有不同的選擇和方案,從實際課堂效果來看,學生的表現(xiàn)亮點頻現(xiàn),正是這些問題的拋出將課堂不斷推向高潮,起到“畫龍點睛”的作用.