對2022年高考乙卷理科數(shù)學(xué)第20題的多角度探析

金 毅

(內(nèi)蒙古呼和浩特市第二中學(xué) 010000)

1 試題呈現(xiàn)

(1)求E的方程；

2 試題探析

圖1

探析1 (常規(guī)解法)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，其方程可設(shè)為y=k(x-1)-2.

(3k2+4)x2-(6k2+12k)x+3k2+12k=0.

所以直線NH方程為

當(dāng)x=0時(shí)，可得

由上可知，直線過點(diǎn)(0,-2).

點(diǎn)評常規(guī)解法的關(guān)鍵是以點(diǎn)M的坐標(biāo)為主，用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示點(diǎn)T,H的坐標(biāo)，進(jìn)而表示NH的直線方程.故常規(guī)解法的根本是要依托幾何關(guān)系找到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示方程，進(jìn)而完成解答.

因?yàn)辄c(diǎn)P(1,-2)在此直線上，可得恒等式

①

②

可得直線NH的方程為

根據(jù)①，事實(shí)上

所以直線方程可以寫為

當(dāng)x=0時(shí)，根據(jù)②，

所以直線過定點(diǎn)(0,-2).

點(diǎn)評本解法從橢圓的參數(shù)方程入手，首先用參數(shù)方程表示直線MN，因?yàn)辄c(diǎn)P在此直線上，所以可得到兩個(gè)恒等式，之后寫出直線NH方程，借助剛才得到的兩個(gè)恒等式，化簡了直線NH的斜率和縱截距的表達(dá)式，最后算出定值.

比較系數(shù)，可得

所以點(diǎn)H,A,N共線，直線NH過定點(diǎn)A(0，-2).

點(diǎn)評這個(gè)方法較好地發(fā)揮了直線參數(shù)方程的優(yōu)勢，用帶有直線參數(shù)的坐標(biāo)來表示向量.之后，通過對向量的運(yùn)算以及比較系數(shù)，證明了向量線性表達(dá)式中系數(shù)和為1，進(jìn)而證明三點(diǎn)共線.

(4m2+3)y2+(8m-12)y+4=0.

可得直線NH的方程為(y1-y2)x-(3y1-x1-x2)y-(x1y2+x2y1-3y1y2)=0.又x1y2+x2y1-3y1y2=(2m-3)y1y2+(y1+y2)=0.

所以可得NH通過點(diǎn)A(0，-2).

點(diǎn)評本解法的優(yōu)點(diǎn)在于平移之后簡化了直線方程，這直接簡化了后續(xù)的計(jì)算量，比常規(guī)解法更加省時(shí)省力，解題時(shí)不妨一試.

探析5 (仿射變換)在用此方法解題之前，先給出幾個(gè)引理.為方便證明題目，引理中所涉及點(diǎn)與題目中的點(diǎn)對應(yīng)一致.

引理1 過圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一點(diǎn)P′(x0,y0)引圓的切線，切點(diǎn)為A′,B′，則直線A′B′的方程(切點(diǎn)弦方程)為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

引理2 給定一組調(diào)和點(diǎn)列N′,C,M′,P′，過這條直線外取一點(diǎn)A′，則稱射線A′N′,A′C,A′M′,A′P′為一組調(diào)和線束.

引理3給定一個(gè)圓，以及圓外一點(diǎn)P′，過點(diǎn)P′作這個(gè)圓的切線P′A′,P′B′(A′,B′為切點(diǎn))以及割線P′M′N′，那么A′N′,A′C,A′M′,A′P′是調(diào)和線束，從而N′,C,M′,P′是調(diào)和點(diǎn)列.

引理4 給定一組調(diào)和線束A′N′,A′C,A′M′,A′P′，過點(diǎn)M′作M′K∥A′P′,且M′K交A′C于點(diǎn)T′，則KT′=T′M′.(作任一調(diào)和線束的平行線，該線被其它線束平分)

其中，引理1來自于文獻(xiàn)[1]，引理2,3,4均來自于文獻(xiàn)[2]中定義4、性質(zhì)4、性質(zhì)7，限于篇幅，本文不再證明.

圖2

又因?yàn)镠′T′=T′M′，所以點(diǎn)H′與點(diǎn)K重合.故得到N′，H′，A′三點(diǎn)共線，則根據(jù)仿射變換的性質(zhì)，直線在仿射后仍然為直線，所以N，H，A三點(diǎn)共線.

點(diǎn)評探析5揭示了本題的背景之一：調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束.如果在解決此題之前對這部分知識有相關(guān)的了解，那么解決本題時(shí)即可提前預(yù)知結(jié)論.

3 試題推廣與探析

根據(jù)探析5，我們可以看到，本題與調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束有關(guān)，我們將從探析5出發(fā)，研究調(diào)和線束的一些解析幾何性質(zhì).

探析6(初步推廣，探析斜率關(guān)系)

證明命題1可用探析1至4的思路來研究，限于篇幅，我們使用探析4的思路.

由韋達(dá)定理，可得

探析7(深入推廣，探析一般情形)

圖3

因?yàn)檎{(diào)和點(diǎn)列均在同一直線上，

當(dāng)斜率不存在時(shí)易知結(jié)論成立，過程略.

點(diǎn)評命題3,4為命題5奠定了基礎(chǔ)，命題5將調(diào)和點(diǎn)列這種線段的比例數(shù)量關(guān)系逐漸轉(zhuǎn)化為斜率表達(dá)式，斜率本質(zhì)是用來刻畫幾何中的位置關(guān)系的關(guān)鍵量.

分別設(shè)調(diào)和線束AN,AQ,AM,AP的傾斜角為θ1,θ2,θ3,θ4，其斜率分別為k1,k2,k3,k4，根據(jù)三角形外角關(guān)系，

所以(k2-k1)(k4-k3)=(k3-k2)(k4-k1)成立.

我們還可以得到以下類似結(jié)論，作為背景知識，以供大家參考.

4 進(jìn)一步思考與總結(jié)

全國乙卷這道圓錐曲線問題以深刻的背景，清晰的表達(dá)，向我們呈現(xiàn)了一個(gè)圖形鮮明，解法多樣，層次多樣的數(shù)學(xué)問題.本題深刻地、綜合地考查了學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，有較強(qiáng)的區(qū)分度.在平常的學(xué)習(xí)中，要特別注意對于背景結(jié)論的挖掘與反思，不能只停留在表面階段.從幾何到代數(shù)，再到算理，橫向縱向多維比較才能真正做到通一類、會一類，研究透徹一類數(shù)學(xué)問題.今后的教學(xué)應(yīng)以數(shù)學(xué)問題為導(dǎo)向，深入挖掘，多面剖析，才能達(dá)到真正理解數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)能力的目的.