鐘建新
(浙江省春暉中學(xué) 312300)
導(dǎo)數(shù)在高考中既是熱點,又是難點,導(dǎo)數(shù)壓軸是近幾年浙江高考命題的一個特點,此類試題常涉及對考生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知a,b∈R,曲線y=f(x)上不同的三點(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),(x3,f(x3))處的切線都經(jīng)過點(a,b).證明:
(注:e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))
當(dāng)g′(x)>0時,e 當(dāng)g′(x)<0時,0 所以g(x)在(e,a)上單調(diào)遞增,在(0,e),(a,+∞)上單調(diào)遞減. 因為g(x)有3個不同的零點, 所以需有g(shù)(e)<0且g(a)>0. ① ② 一方面結(jié)合②式可得b-f(a)>0; 所以u(a)在(e,+∞)上單調(diào)遞減. 綜合以上兩方面,故有 (2)當(dāng)0 因為g(x)有3個不同的零點x1,x2,x3, 故g(a)<0,g(e)>0. 又x1 這兩式相減并整理,得 所以當(dāng)x>1時,φ′(x)>0恒成立. 所以φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增. 又k>1,所以φ(k)>φ(1); 同理可證φ(x)在(0,1)上也單調(diào)遞增. 又m∈(0,1),所以φ(1)>φ(m). 所以φ(k)>φ(m). 所以ω(m)在(0,1)單調(diào)遞增. 故ω(m)<ω(1)=0. 綜上,原不等式得證. 證法2 (1)因為過(a,b)有三條不同的切線,設(shè)切點為(xi,f(xi)),i=1,2,3,所以過該切點的切線方程f(x)-b=f′(x)(x-a)有3個不同的根. 因為g(t)有三個零點,故需滿足 所以u′(m)>0.所以u(m) ③ 由③式即證 所以v(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增. 所以當(dāng)x>1時,v(x)>v(1)=0. 所以h′(x)>0恒成立. 所以h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增. 所以t1>t2>t3>0. 再結(jié)合g(t)在(0,1),(m,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,m)上單調(diào)遞減,且g(t)有三個零點可得0 所以當(dāng)x>1時,h′(x)>0恒成立. 所以h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增. 所以h(m)>h(1)=0. 綜上,原不等式得證. 點評(2)題的①構(gòu)造切線方程,根據(jù)此方程有3個不同的根去證明不等式成立;(2)的題②用構(gòu)造函數(shù)、分析法和導(dǎo)數(shù)去求證不等式成立,且上述兩證法都用到了比值代換轉(zhuǎn)化法. 代換法是解答高中數(shù)學(xué)習(xí)題的重要方法之一,在解題中有著廣泛應(yīng)用,通過對相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行巧妙代換,能更好地揭示出相關(guān)參數(shù)之間的規(guī)律,再積極聯(lián)系所學(xué)知識從而能實現(xiàn)順利求解.