2022年全國甲卷導(dǎo)數(shù)題的多解、變式與溯源

張 君 李武學(xué)

(四川省溫江中學(xué) 611130)

1 試題呈現(xiàn)

(1)若f(x)≥0，求a的取值范圍；

(2)若f(x)有兩個零點(diǎn)x1,x2，求證：x1x2<1.

2 試題分析

這道題綜合考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，再利用單調(diào)性與極值求給定條件下參數(shù)的取值范圍，在此基礎(chǔ)上研究兩個零點(diǎn)之間的關(guān)系，是典型的極值點(diǎn)偏移問題.試題起點(diǎn)較低，絕大多數(shù)學(xué)生都可以拿分，但落點(diǎn)很高，第二問難度大，需要考生熟練掌握函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及研究有關(guān)性質(zhì)的基本方法和工具，并達(dá)到靈活運(yùn)用的程度.對數(shù)學(xué)思想方法的考查也占很大成份，特別是對分類計論思想和轉(zhuǎn)化思想的要求很高，只會死記硬背、按套路做題不會變通的考生是做不下去的.

極值點(diǎn)偏移問題的解題大方向主要有兩個：構(gòu)造對稱函數(shù)和減少變量轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題.

3 解法探究

故a的取值范圍為(-∞,e+1].

(2)由(1)知f(x)有兩個零點(diǎn)的條件是a>e+1，且在(0,1)和(1,+∞)內(nèi)各有一個零點(diǎn),不妨設(shè)0

所以h(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.

則h(x)

所以g′(x)<0.

則g(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.

所以x1x2<1.

下面證明：當(dāng)x>1時，ex>ex.

設(shè)s(x)=ex-ex,x>1,則s′(x)=ex-e>0.

所以s(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

故s(x)>s(1)=0，ex>ex得證.

所以g′(x)<0.

則g(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.

以下同解法1.

方法3(利用同構(gòu)化簡,再構(gòu)造函數(shù))

設(shè)k(x)=x-lnx，則k(x1)=k(x2).

所以m(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.

故m(x)

所以x1x2<1.

方法4(減元法)由方法3,得

x1-lnx1=x2-lnx2.

所以g(t)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.

則g(t)

所以x1x2<1.

方法5(利用同構(gòu)化簡,再利用對數(shù)平均不等式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題)f(x)有兩個零點(diǎn)x1,x2，則e+1-a<0，得a>e+1.不妨設(shè)0

即ex1-lnx1+x1-lnx1=ex2-lnx2+x2-lnx2.

由于函數(shù)y=et+t在[1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以x1-lnx1=x2-lnx2.

即x2-x1=lnx2-lnx1.

下面證明：(對數(shù)平均不等式)

所以f(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

故f(t)

所以x1x2<1.

4 變式

問題等價于證明：

所以h(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以h(t)>h(1)=0，問題得證.

5 考題溯源

溯源1(2021年新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

分析(1)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞).

由blna-alnb=a-b，得

則問題等價于證明：2

通過構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(2-x)-f(x)(0

本題屬于典型的極值點(diǎn)偏移問題，構(gòu)造函數(shù)即可證明.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

不妨設(shè)x1x1-x2.