一種基于故障及欠驅(qū)動情況的反作用輪配置優(yōu)化方法

馮佳佳, 謝 軍, 黎 飛

1. 北京控制工程研究所，北京100094 2. 空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094

0 引 言

自主控制是航天器控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)追求的一個(gè)重要目標(biāo).在有限的配置資源下，如何最大程度增加航天器自主控制的能力，這是擺在我們面前首先需要解決的問題[1-2].

對于航天器控制系統(tǒng)中的執(zhí)行機(jī)構(gòu)來說，其在整個(gè)壽命階段一般經(jīng)歷正常工作、一重故障、二重故障等幾個(gè)階段，其在控制方式表現(xiàn)為全驅(qū)動控制和欠驅(qū)動控制兩種方式.而在故障及欠驅(qū)動情況下執(zhí)行機(jī)構(gòu)的控制能力問題是航天器自主控制的一個(gè)重要體現(xiàn)，一方面它可以有效增強(qiáng)航天器自主運(yùn)行能力，在故障模式下仍然能夠正常的運(yùn)行；另一方面它也可以有效減少控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)成本，在航天器設(shè)計(jì)的時(shí)候選擇欠驅(qū)動控制模式[3].因此，從這個(gè)角度出發(fā)，對航天器控制系統(tǒng)中的執(zhí)行機(jī)構(gòu)從故障及欠驅(qū)動情況進(jìn)行配置優(yōu)化研究具有重要的工程意義[4-5].目前，從故障及欠驅(qū)動情況對執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)行配置優(yōu)化的研究相對欠缺，其主要集中在故障及欠驅(qū)動情況下的控制算法上[6-10].事實(shí)上，對執(zhí)行機(jī)構(gòu)從故障及欠驅(qū)動情況進(jìn)行配置優(yōu)化，一方面需要保證所配置的執(zhí)行機(jī)構(gòu)在整個(gè)壽命階段都能夠保證航天器控制能力的最優(yōu)，另一方面也要保證所配置優(yōu)化的執(zhí)行機(jī)構(gòu)簡潔、可靠，這樣的配置優(yōu)化目標(biāo)也是符合目前航天器工程發(fā)展的需求.

由于反作用輪是航天器控制系統(tǒng)中較常用的一種執(zhí)行機(jī)構(gòu)[11]，因此，本文將主要針對經(jīng)典、簡潔的4輪裝反作用輪進(jìn)行配置優(yōu)化研究.首先，根據(jù)反作用輪配置的目的進(jìn)行4輪裝反作用輪配置優(yōu)化問題的描述；其次，根據(jù)其在整個(gè)壽命階段可能發(fā)生故障的情況，對它在故障階段的控制性能進(jìn)行具體分析；然后，根據(jù)4輪裝反作用輪在每個(gè)階段的控制能力建立反作用輪配置優(yōu)化模型，從而尋找出在全壽命階段下的最優(yōu)配置；最后，以一工程實(shí)例進(jìn)行配置解析，并針對可能發(fā)生的3種工作階段進(jìn)行仿真驗(yàn)證，以驗(yàn)證其自主運(yùn)行能力.

1 問題描述

設(shè)某航天器配置4個(gè)同一類型反作用輪作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，其由航天器星體和反作用輪組成的動力學(xué)方程為

(1)

其中，J=diag{I1,I2,I3}為航天器系統(tǒng)(包括反作用輪)的轉(zhuǎn)動慣量矩陣，ω=[ω1ω2ω3]T為航天器相對慣性系的角速度在本體系下的分量，ω×為反對稱矩陣，h為反作用輪相對星體的角動量，C為反作用輪的配置安裝矩陣，其可以描述為

(2)

式中，αi,βi,i=1,2,3,4為反作用輪的安裝夾角，αi∈(αi,min,αi,max),βi∈(βi,min,βi,max).由于反作用輪在進(jìn)行配置安裝時(shí)，一般出于某種原因或者考慮，對反作用輪的安裝夾角有一定的約束范圍，其可描述為

f(αi,βi)<0

(3)

如何確定αi,βi,i=1,2,3,4的具體安裝夾角，使反作用輪在整個(gè)壽命階段均能保證航天器控制能力最優(yōu)，包括全驅(qū)動控制階段和欠驅(qū)動控制階段，這是本文研究的重點(diǎn).

2 反作用輪全壽命階段控制能力分析

一般為了保證控制系統(tǒng)中所配置的4輪裝反作用輪可用性最高，一般要求任意3個(gè)反作用輪均不共面.同時(shí)，在這里假設(shè)所配置的單個(gè)反作用輪的可靠性為p0.

(1) 正常階段

(4)

從式(4)可以看出，T作為動力學(xué)方程中的唯一輸入，其控制能力的大小主要體現(xiàn)在其具體數(shù)值上.因此，很顯然，為了提高控制系統(tǒng)的控制性能，一般需要最大化安裝矩陣C所圍成的角動量包絡(luò)體積V1.角動量包絡(luò)V1越大，則代表著作用于航天器的反作用輪輸出范圍越大，控制能力越強(qiáng).

其中，在冗余控制模式中，對于確定的輸入T一般采取偽逆分配法[12]，將所需要的角動量分配到每個(gè)具體的反作用輪上.

(2) 一重故障階段

(3) 二重故障階段

根據(jù)KRISHNAN等[13]研究指出，如果控制系統(tǒng)的角動量為零，則僅配有不平行的兩個(gè)反作用輪的航天器系統(tǒng)是可控的，其中，航天器控制系統(tǒng)的角動量可以通過磁力矩器或者推力器等非零角動量裝置進(jìn)行卸載，并最終滿足系統(tǒng)角動量為零這一條件.

當(dāng)系統(tǒng)角動量為零，則式(4)變?yōu)?/p>

(5)

假設(shè)發(fā)生二重故障后剩余工作的兩個(gè)反作用輪的安裝方向單位矢量為n1,n2，則式(5)變?yōu)?/p>

(6)

令

(7)

(4) 三重故障階段

這里三重故障階段主要指的是控制系統(tǒng)有3個(gè)反作用輪發(fā)生故障，其中，在該階段的概率為4p0(1-p0)3，由于在該階段的概率基本為零，所以該階段反作用輪的控制能力不做討論.

3 反作用輪配置優(yōu)化

由于反作用輪配置矩陣所圍成的角動量包絡(luò)面和角動量包絡(luò)體是反作用輪配置優(yōu)化的重要指標(biāo)，因此需要首先建立角動量包絡(luò)面和角動量包絡(luò)體的計(jì)算方法.

(1) 角動量包絡(luò)面和角動量包絡(luò)體計(jì)算方法

設(shè)有m個(gè)反作用輪，其配置安裝矩陣為

A=[A1A2…Am]

(8)

其中，Ai為第i個(gè)反作用輪安裝方向的單位矢量，i=1,2,…m.

各個(gè)反作用輪輸出的正、負(fù)方向的角動量記為hi,max和hi,min，且有

hi,min≤hi≤hi,maxi=1,2,…,m

(9)

其中，hi.max為第i個(gè)反作用輪的正向最大控制輸出，hi,min為第i個(gè)反作用輪的負(fù)向最大控制輸出.

在這里假設(shè)各反作用輪角動量組成的列向量為hw=[h1h2…h(huán)w]T，則反作用輪組合控制輸出為

h=[h1h2…h(huán)m]T=

[A1h1A2h2…Amhm]T=Ahw

(10)

當(dāng)A中任意3×3列向量線性無關(guān)時(shí)，其角動量可達(dá)集邊界由一系列平行四邊形組成的封閉包絡(luò)面，并且原點(diǎn)將包絡(luò)于可達(dá)集內(nèi)部[14].可達(dá)集的體積可以拆分為原點(diǎn)和各四邊形組成的四棱錐體積之和[15]

(11)

(12)

(13)

四棱錐底面面積為

Si,j=(hi,max-hi,min)(hj,max-hj,min)sin(〈hi,hj〉)=

liljsin(〈hi,hj〉)=liljsin(〈Ai,Aj〉)

(14)

其中，li=hi,max-hi,min,lj=hj,max-hj,min，〈hi,hj〉表示hi,hj間的夾角，也即Ai,Aj間的夾角，且有

(15)

其中，式(14)也可作為角動量包絡(luò)面的計(jì)算公式.

故式(12)化簡為

(16)

同理有

(17)

其中

(18)

(2) 反作用輪配置優(yōu)化模型的建立

由上面的分析可以看出，反作用輪在每一個(gè)工作階段的控制能力.因此，綜合以上的分析，為了尋求反作用輪的配置在整個(gè)壽命階段均為最優(yōu)，反作用輪的配置優(yōu)化模型可以建立為

(19)

(20)

引入客觀設(shè)計(jì)概率權(quán)重后，式(19)修正為

(21)

式(21)即為反作用輪在考慮整個(gè)壽命工作階段所建立的配置優(yōu)化模型，其主要考慮了正常階段、一重故障階段和二重故障階段3個(gè)階段.

4 優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法(PSO)是一種典型群智算法,其最大的優(yōu)點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)簡單，全局搜索能力強(qiáng)，應(yīng)用廣泛,可以廣泛的應(yīng)用于非線性、不可微、多極值、高維函數(shù)的優(yōu)化問題[16].

因此，針對PSO優(yōu)化算法的優(yōu)點(diǎn)，在對所建立的反作用輪配置優(yōu)化模型上，選擇PSO算法進(jìn)行優(yōu)化.

PSO算法表達(dá)式為

(22)

5 實(shí)例解析

為了驗(yàn)證本文所提出的反作用輪配置優(yōu)化方法的有效性，現(xiàn)進(jìn)行工程實(shí)例解析：

設(shè)某一控制系統(tǒng)需要進(jìn)行反作用輪配置，航天器轉(zhuǎn)動慣量為：J=diag{3 200,2 400,1 500}(kg·m2)，符號diag{·}表示對角陣.所配置4個(gè)反作用輪的力矩和角動量分別為0.1 N·m、50 N·m·s.設(shè)航天器控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)對反作用輪安裝角的限制約束范圍為

設(shè)單個(gè)反作用輪的可靠性為p0=0.99(16年壽命要求)，則歸一化后的客觀概率設(shè)計(jì)權(quán)重為

γ1=0.989 9,γ2=0.01,γ3=0.000 1

利用PSO算法對式(21)進(jìn)行優(yōu)化，得到的配置優(yōu)化矩陣為

此時(shí)對應(yīng)的反作用輪安裝角度(單位rad)為

β1=1.570 8,β2=2.681 9,β3=3.905 9,β4=5.189 2,α1=0.717 5,α2=0,α3=0.258 0,α4=1.161 9.

為了驗(yàn)證所優(yōu)化配置矩陣的控制效果，下面將針對反作用輪工作的3種情況進(jìn)行仿真.

仿真情況1.主要針對正常情況.仿真時(shí)間為2 000 s，仿真步長為0.1 s,分配矩陣采取偽逆分配方法，其仿真具體控制任務(wù)為：航天器的3個(gè)軸從[0 0 0]T進(jìn)行[π/3 π/4 π/6]T的角度機(jī)動，航天器姿態(tài)機(jī)動沒有進(jìn)行路徑規(guī)劃.

由于PID控制算法目前廣泛應(yīng)用于實(shí)際航天器的控制中，為了真實(shí)驗(yàn)證本文配置優(yōu)化的效果，控制算法在這里選取為PID.其中，控PID制參數(shù)選取為

Kp=diag{5,2,1}，

Kd=diag{8 000,3 000,3 000}

仿真結(jié)果如圖1所示.

圖1 正常情況Fig.1 Normal working condition

從圖1可以看出，在正常情況下，即反作用輪無故障發(fā)生時(shí)，配置優(yōu)化的矩陣可以很好的完成姿態(tài)機(jī)動任務(wù)，而且控制性能較好.

仿真情況2.主要針對反作用輪發(fā)生一重故障的情況，其具體仿真參數(shù)如情況1，仿真結(jié)果如圖2～5所示.

從圖2～5可以看出，當(dāng)發(fā)生一重故障時(shí)，即有一個(gè)反作用輪發(fā)生故障時(shí)，在相同的控制參數(shù)下，優(yōu)化配置矩陣仍然可以有效的完成控制任務(wù)，從而證明配置優(yōu)化方法有效.

圖2 反作用輪1發(fā)生故障Fig.2 Failure of Reaction Wheel 1

仿真情況3.主要針對發(fā)生二重故障的情況，此時(shí)進(jìn)入欠驅(qū)動控制模式，此時(shí)假設(shè)控制系統(tǒng)角動量為零.由于在欠驅(qū)動控制模式下，普通的控制方法將無效，在這里選取基于勢函數(shù)的欠驅(qū)動控制方法[17]，其中其關(guān)鍵參數(shù)取值為λ=1 000，g=50，λ代表調(diào)節(jié)姿態(tài)誤差和角速度誤差間的比率，g為姿態(tài)角速度的比率.其具體控制任務(wù)和情況1一致，仿真結(jié)果如圖6～11所示.

圖3 反作用輪2發(fā)生故障Fig.3 Failure of Reaction Wheel 2

圖4 反作用輪3發(fā)生故障Fig.4 Failure of Reaction Wheel 3

圖5 反作用輪4發(fā)生故障Fig.5 Failure of Reaction Wheel 4

圖6 反作用輪3、4發(fā)生故障Fig.6 Failures of Reaction Wheel 3 and 4

圖7 反作用輪2、4發(fā)生故障Fig.7 Failures of Reaction Wheel 2 and 4

圖8 反作用輪2、3發(fā)生故障Fig.8 Failures of Reaction Wheel 2 and 3

圖9 反作用輪1、4發(fā)生故障Fig.9 Failures of Reaction Wheel 1 and 4

圖10 反作用輪1、3發(fā)生故障Fig.10 Failures of Reaction Wheel 1 and 3

圖11 反作用輪1、2發(fā)生故障Fig.11 Failures of Reaction Wheel 1 and 2

從圖6～11可以看出，在二重故障下，即有兩個(gè)反作用輪同時(shí)發(fā)生故障時(shí)，所配置優(yōu)化的矩陣仍然能夠有效的完成航天器機(jī)動控制任務(wù)，從而證明配置優(yōu)化的矩陣可行.

從整個(gè)仿真結(jié)果上可以看出，本文所提出的反作用配置優(yōu)化方法針對正常情況、一重故障情況和二重故障3種情況均能夠有效的完成航天器姿態(tài)機(jī)動控制任務(wù)，從而證明本文所提出的配置優(yōu)化方法的可行性和有效性，可以有效的提升航天器自主運(yùn)行的控制能力.

6 結(jié) 論

對航天器控制系統(tǒng)中的執(zhí)行機(jī)構(gòu)從全壽命階段，即考慮全驅(qū)動控制模式和欠驅(qū)動控制模式下進(jìn)行配置優(yōu)化研究具有重要的工程應(yīng)用意義.本文突破了目前只從控制算法上去提升航天器自主運(yùn)行控制能力的局限，提出了一種考慮故障及欠驅(qū)動情況下的反作用輪配置優(yōu)化方法，從執(zhí)行機(jī)構(gòu)的本質(zhì)控制屬性去考慮，并利用該方法對一工程實(shí)例進(jìn)行配置解析，并針對可能發(fā)生的三種工作階段進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明本文所提出的配置優(yōu)化方法能夠有效提升航天器的自主運(yùn)行，從而證明本文所提出的方法可行和有效，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值.

然而，在進(jìn)行反作用輪配置優(yōu)化上，本文主要從執(zhí)行機(jī)構(gòu)的控制能力，即反作用輪的輸出能力上去研究，然而還有很多方面沒有進(jìn)行考慮，如驅(qū)動控制和耦合控制的關(guān)系、具體的控制性能和控制任務(wù)、具體的欠驅(qū)動控制算法等，這都將作為下一步研究的重點(diǎn)及方向.