基于動力松弛法的含鉸柔性鉆柱接觸力學(xué)分析

徐亭亭 卜祥東 田慶全 王 晶

（1.東北石油大學(xué)a.機械科學(xué)與工程學(xué)院；b.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院；2.中國石油大慶石化公司）

超短半徑水平井是指曲率半徑比常規(guī)的短曲率水平井更短的一種水平井，該技術(shù)能夠在一個儲層平面鉆出多個超短半徑水平井眼，是提高低滲透油藏經(jīng)濟開采的重要手段，目前已在全球范圍廣泛應(yīng)用［1～4］。

對于超短半徑水平井井下工具力學(xué)分析研究較早的學(xué)者是帥?。?］、蘇義腦［6］等，他們均將鉸看作平面鉸，建立鉸接式鉆具的二維模型，并對鉸鏈處的受力情況進行了分析。 張彬奇等對超短半徑水平井完井工具進行研究，設(shè)計了浮式柔性引鞋、柔性盲管及柔性篩管等配套柔性完井工具［7］。一些學(xué)者對水力噴射鉆進超短半徑水平井技術(shù)中的轉(zhuǎn)向器及其轉(zhuǎn)向機理開展了研究［8～11］。 王智鋒等針對水力噴射鉆進超短半徑水平井技術(shù)中鉆孔直徑與鉆孔深度間的矛盾問題，開展了超短半徑水平井鉆頭噴嘴多相流規(guī)律分析［12］。 LI J B等給出了超短半徑水平井旋轉(zhuǎn)多孔射流鉆頭自進力的計算模型［13］。 馬東軍等提出高壓軟管段壓耗計算公式，建立了較為完整的超短半徑水平井循環(huán)系統(tǒng)壓耗計算模型［14］。 楊洪波等采用理論分析和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法對超短半徑水平井柔性鉆具力學(xué)和安全性進行分析，并構(gòu)建了受力和變形的平衡方程式［15］。

綜上所述，學(xué)者們對于超短半徑水平井機械式含鉸柔性鉆井工具的力學(xué)分析研究較少，而柔性鉆井工具多段鉸接，其力學(xué)分析既涉及鉸引起的機構(gòu)和結(jié)構(gòu)之間的相互轉(zhuǎn)化，又涉及柔性鉆柱與外管之間的隨機多向接觸。 為此，筆者開展了外管內(nèi)含鉸柔性鉆柱接觸非線性問題研究。

1 力學(xué)模型

含鉸柔性鉆井工具如圖1所示。 單節(jié)柔性鉆柱結(jié)構(gòu)如圖2所示，由圖2可知，球頭柱鍵位于上球桿凹槽內(nèi)，構(gòu)成萬向鉸接結(jié)構(gòu)，凹槽和球頭柱鍵的尺寸決定了柔性鉆柱兩節(jié)之間的相對轉(zhuǎn)角。

圖1 含鉸柔性鉆井工具

圖2 單節(jié)柔性鉆柱結(jié)構(gòu)示意圖

假設(shè)條件：

a. 將柔性鉆柱各部件簡化為相應(yīng)截面的梁；

b. 將上球座、球頭柱鍵和下球桿的連接簡化為萬向節(jié)連接（相對轉(zhuǎn)動度數(shù)可控）；

c. 不考慮鉸連接的接觸摩擦和鉸間隙，將其視為理想鉸。

簡化后的結(jié)構(gòu)如圖3所示，鉸位于截面S2和截面S3之間。

圖3 簡化后的單節(jié)柔性鉆柱結(jié)構(gòu)示意圖

為研究超短半徑水平井水平鉆進過程中含鉸柔性鉆柱的受力變形狀態(tài)和載荷傳遞情況，取豎直段長度為5 m、造斜段曲率半徑3.2 m、水平段長度5 m、 模型總長15 m的柔性鉆柱及其外管為研究對象，柔性鉆柱和外管的彈性模量為210 GPa、泊松比0.3、密度7 850 kg/m3，外管的外徑110 mm、內(nèi)徑95 mm，柔性鉆柱與外管的摩擦系數(shù)取0.1，邊界條件為：外管全約束，柔性鉆柱上端約束橫向線位移，柔性鉆柱下端約束線位移和扭轉(zhuǎn)方向的角位移，柔性鉆柱與外管之間為接觸摩擦邊界，柔性鉆柱承受自重、2 000 N·m的扭矩T和40 kN的軸向力F， 外管內(nèi)柔性鉆柱力學(xué)模型如圖4所示。

圖4 外管內(nèi)柔性鉆柱力學(xué)模型

2 有限元模型

根據(jù)柔性鉆柱的結(jié)構(gòu)特點，采用有限單元法將桿柱離散為鐵摩辛柯梁單元，將鉸離散為萬向節(jié)連接單元， 萬向節(jié)連接單元有兩個重合的節(jié)點，且有兩個相對轉(zhuǎn)動自由度，可實現(xiàn)“萬向轉(zhuǎn)動”連接。 圖5給出了單元幾何和節(jié)點位置，節(jié)點I和節(jié)點J的位置重合，兩節(jié)點處均需要定義局部直角坐標(biāo)系，局部坐標(biāo)系方向滿足右手法則，局部坐標(biāo)軸y方向與萬向節(jié)主軸一致。

圖5 萬向節(jié)連接單元坐標(biāo)表示圖

圖6 梁梁內(nèi)接觸示意圖

3 動力松弛法

在求解非線性方程組式（5）時，由于鉸接處在兩個方向上，只能轉(zhuǎn)動一定的角度，當(dāng)未到達(dá)轉(zhuǎn)動極限時，鉸接處不能傳遞彎矩，其運動為機構(gòu)運動，當(dāng)?shù)竭_(dá)轉(zhuǎn)動限度時，其運動由機構(gòu)問題過渡為結(jié)構(gòu)問題，由于鉸接運動的隨機性、鉸接連接狀態(tài)不穩(wěn)定，使梁產(chǎn)生剛體位移，易導(dǎo)致收斂困難。 此外，在同一迭代步內(nèi)，不僅要完成對萬向節(jié)單元轉(zhuǎn)動度數(shù)的判別和對運動約束的修改，還要完成對接觸狀態(tài)的判別和修改，直到這些條件全部滿足，才可以使解出的梁單元廣義位移和內(nèi)力收斂于精確解。

為解決外管內(nèi)含鉸柔性鉆柱變形過程的收斂困難和算法不穩(wěn)定問題，提出動力松弛法。 通過在動力松弛法中施加虛擬阻尼的方法，使動力問題的振蕩盡快消失， 得到滿足靜力方程的解。將式（5）的靜態(tài)接觸系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為虛擬動態(tài)求解：

在有限單元法中， 大多假定阻尼矩陣C正比于質(zhì)量矩陣M或剛度矩陣K，有時也將它看作是M和K的線性組合，由于剛度矩陣K在計算過程中是不斷變化的，因此，筆者將瑞利阻尼中的質(zhì)量阻尼系數(shù)α設(shè)置為較大的值， 以減弱系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，則阻尼矩陣C=αM，阻尼力Cu·=αMu·，桿的運動速度越快，阻尼力越大，就可以有效控制接觸狀態(tài)的突然變化，有助于提高計算效率和穩(wěn)定性。

在非線性動力學(xué)方程式（6）中，內(nèi)部載荷不再與節(jié)點位移成正比，鉆柱的剛度矩陣取決于當(dāng)前位移。 因此，采用Newmark法［17］對其進行求解。方程（6）可改寫為：

4 計算結(jié)果分析

采用動力松弛法對外管內(nèi)含鉸柔性鉆柱進行接觸非線性力學(xué)分析，柔性鉆柱扭矩T（t）和軸向力F（t）隨時間的函數(shù)表達(dá)式為：

圖7 柔性鉆柱底端內(nèi)力隨時間變化曲線

通過分析得到t=2.0 s時， 柔性鉆柱鉸接處的轉(zhuǎn)角如圖8所示， 柔性鉆柱的變形如圖9所示，柔性鉆柱與外管之間的接觸力如圖10所示，柔性鉆柱的軸向力、扭矩和彎矩分別如圖11～13所示。

圖8 柔性鉆柱鉸接處轉(zhuǎn)角

圖9 柔性鉆柱變形

由圖8、9可知，2.0 s時柔性鉆柱各鉸接處的轉(zhuǎn)角絕大多數(shù)達(dá)到轉(zhuǎn)動極限，豎直段和水平段相鄰鉸的轉(zhuǎn)角符號相反， 造斜段各鉸轉(zhuǎn)角符號相同，因此，豎直段和水平段柔性鉆柱的鋸齒狀變形相對于造斜段較明顯。

由圖10可知，造斜段柔性鉆柱與外管之間的最大接觸力和接觸區(qū)域均大于豎直段和水平段，最大接觸力位于豎直段和造斜段交界處，其值為2 413.9 N。

圖10 柔性鉆柱與外管之間的接觸力

由圖11可知，豎直段柔性鉆柱的軸向力隨井深的增加逐漸增大，這是由于柔性鉆柱的自重隨井深的增加逐漸增大。 造斜段柔性鉆柱的軸向力隨著井深增加，其值呈逐漸減小的趨勢，這是由于造斜段柔性鉆柱與外管之間的摩阻力大于柔性鉆柱自重產(chǎn)生的軸向力。 水平段柔性鉆柱的軸向力變化不大，傳遞到柔性鉆柱底端的軸向力為37.7 kN。

圖11 柔性鉆柱軸向力分布

由圖12可知，豎直段柔性鉆柱的扭矩變化不大。 造斜段柔性鉆柱的扭矩隨著井深增加，其值呈逐漸減小的趨勢，造斜段柔性鉆柱不同位置處的扭矩由兩部分構(gòu)成：一部分為柔性鉆柱頂端施加的扭矩值乘以當(dāng)前位置扭矩矢量和頂端扭矩矢量夾角的余弦值；另一部分為柔性鉆柱與外管之間的橫向摩阻力矩。 水平段柔性鉆具扭矩值在1 875 N·m左右波動且變化不大。

圖12 柔性鉆柱扭矩分布

由圖13可以看出，豎直段和水平段相鄰兩節(jié)柔性鉆柱的彎矩值符號相反，造斜段柔性鉆柱彎矩符號大多數(shù)相同。 這種現(xiàn)象的原因是由柔性鉆柱的鉸連接引起，在造斜段與豎直段和水平段的交界處彎矩值較大，柔性鉆柱彎矩最大值為315.8 N·m。

圖13 柔性鉆柱彎矩分布

5 結(jié)論

5.1 考慮含鉸柔性鉆柱的機構(gòu)與結(jié)構(gòu)過渡問題及接觸非線性特性，將空間梁單元、萬向節(jié)連接單元和接觸單元相結(jié)合，建立外管內(nèi)柔性鉆柱接觸非線性有限元模型。 提出梁梁接觸非線性分析的動力松弛法，通過增大質(zhì)量阻尼系數(shù)耗散系統(tǒng)產(chǎn)生的動能，加速系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

5.2 通過對外管內(nèi)含鉸柔性鉆柱進行接觸非線性力學(xué)分析，得到造斜段柔性鉆柱與外管之間最大接觸力和接觸區(qū)域大于豎直段和水平段，隨著井深的增加， 豎直段柔性鉆柱的扭矩變化不大，軸向力逐漸增大，造斜段柔性鉆柱的扭矩和軸向力逐漸減小，水平段柔性鉆柱的扭矩和軸向力變化不大。

5.3 柔性鉆柱各鉸接處的轉(zhuǎn)角絕大多數(shù)達(dá)到轉(zhuǎn)動極限，可傳遞彎矩，彎矩值在造斜段與豎直段和水平段的交界處較大；豎直段和水平段柔性鉆柱的鋸齒狀變形相對于造斜段較明顯。