楊 靖 張小儉 吳 毅 葉松濤 嚴思杰， 陸家麟

1.華中科技大學(xué)機械科學(xué)與工程學(xué)院，武漢，4300742.華中科技大學(xué)無錫研究院，無錫，2141743.固瑞特模具(太倉)有限公司，蘇州，215488

0 引言

飛機機翼蒙皮、發(fā)電機及船用螺旋槳槳葉等大型復(fù)雜曲面類零件在國家高端裝備領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。這類零件尺寸大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、加工可達性差，傳統(tǒng)數(shù)控機床由于加工行程的制約，往往無法適應(yīng)其制造和裝配需求。相對而言，工業(yè)機器人操作空間大、靈活性強，因此機器人加工在航空、航天以及船舶等領(lǐng)域備受青睞。但工業(yè)機器人結(jié)構(gòu)剛度較低，銑削加工過程中容易發(fā)生顫振，難以保證銑削穩(wěn)定性。

TOBIAS等[1]和TLUSTY等[2]最早指出，再生效應(yīng)和模態(tài)耦合效應(yīng)是引起加工顫振的主要機制。由于模態(tài)耦合顫振很少發(fā)生在剛度較大的數(shù)控機床上，故對傳統(tǒng)加工顫振的研究主要聚 焦于鏜桿、銑刀等刀具的再生顫振。與傳統(tǒng)機床不同，串聯(lián)結(jié)構(gòu)導(dǎo)致工業(yè)機器人剛度較低，使用機器人加工必須考慮模態(tài)耦合顫振的影響。近年來，學(xué)者們對加工過程中的顫振問題開展了廣泛的研究，但與模態(tài)耦合顫振相關(guān)的報道較少。GASPARETTO[3]通過建立刀具-工件系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，從理論上解釋了模態(tài)耦合顫振機理。PAN等[4-5]在機器人銑削實驗中觀察到嚴重的低頻顫振現(xiàn)象，基于動力學(xué)模型分析發(fā)現(xiàn)切削力方向與工業(yè)機器人主剛度方向之間的夾角是影響加工過程穩(wěn)定性的主要因素，并建立了模態(tài)耦合顫振的預(yù)測準(zhǔn)則?；谇叭说墓ぷ?，CEN等[6]將保守同余變換(conservative congruence transformation，CCT)應(yīng)用到機器人銑削顫振分析中，提出優(yōu)化機器人進給速度可以避免銑削過程中的模態(tài)耦合顫振。雖然以往研究[4-6]表明，改變切削力方向與工業(yè)機器人主剛度方向之間的夾角可以抑制顫振，但如何得到工業(yè)機器人的主剛度方向報道較少。HE等[7]首次提出了一種將模態(tài)振型和工業(yè)機器人運動學(xué)相結(jié)合的剛度定向方法，但需要應(yīng)用有限元軟件輔助分析。同時，工業(yè)機器人的功能冗余特性一直是研究的熱點。學(xué)者們定義了不同的冗余優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)，如剛度性能指標(biāo)最大化[8]、穩(wěn)定性邊界最優(yōu)化[9-10]等，但利用工業(yè)機器人功能冗余改變姿態(tài)、避免模態(tài)耦合顫振的研究未見報道。

本文提出了一種剛度定向方法，利用剛度橢球計算機器人加工系統(tǒng)在切削平面內(nèi)的主剛度方向，操作過程簡單；針對模態(tài)耦合顫振抑制，研究如何利用功能冗余優(yōu)化工業(yè)機器人姿態(tài)。

1 機器人銑削模態(tài)耦合顫振機理

1.1 機器人銑削動力學(xué)建模

為了研究工業(yè)機器人銑削過程中的模態(tài)耦合顫振，首先建立切削坐標(biāo)系{c}和主剛度坐標(biāo)系{k}，如圖1所示。同時，作以下假設(shè)[4]來簡化分析：①阻尼效應(yīng)總是提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，為了降低復(fù)雜度，僅考慮無阻尼系統(tǒng)；②銑削力大小與其他參數(shù)無關(guān)，只與徑向切削深度成正比。

基于上述假設(shè)，在切削坐標(biāo)系中建立無阻尼二自由度銑削動力學(xué)模型：

(1)

x=[xcyc]T

(2)

式中，x為刀尖點在xc和yc方向上的位移；M、K分別為2×2質(zhì)量和剛度矩陣；Kp為過程剛度矩陣；kp為切削剛度；β為切削力F與xc軸夾角。

本文重點在于研究剛度方向?qū)δB(tài)耦合顫振的影響，不失一般性，假設(shè)質(zhì)量矩陣M為對角陣，且對角元素相等。根據(jù)ALTINTAS[11]提出的平均銑削力模型，作用在銑刀上進給方向(xc方向)、法向(yc方向)的切削力分量分別為

(3)

(4)

式中，N為銑刀齒數(shù)；a為軸向切削深度；c為進給率；φ為刀齒的瞬時齒位角；Ktc、Krc分別為切向和徑向切削力的剪切力系數(shù)；Kte、Kre分別為刃口力系數(shù)；φst、φex分別為刀具的切入角和切出角。

根據(jù)式(3)和式(4)給出的切削力分量，可以計算出切削力F與xc軸夾角β，β=arctan(Fy/Fx)。

圖1 銑削加工模型Fig.1 Mechanical model of milling

1.2 銑削過程穩(wěn)定性分析

為了解耦式(1)，需要將其由切削坐標(biāo)系{c}轉(zhuǎn)換至主剛度坐標(biāo)系{k}中。由圖1可知兩個坐標(biāo)系之間滿足：

(5)

其中，α為xc軸和xk軸之間的夾角。設(shè)定：

(6)

將式(5)代入式(1)并對式(1)進行解耦：

(7)

對式(7)進一步計算可得

(8)

其中，mq為模態(tài)質(zhì)量；kx、ky分別為xk和yk方向的模態(tài)剛度；γ為切削力F與xk軸夾角，γ=β-α。整理式(8)可得

(9)

記k′x=kx-kpsinαcosγ，k′y=ky-kp·cosαsinγ[5]，則式(9)的特征方程為

(10)

進一步計算可得

(11)

若λ2均為負實數(shù)，則加工過程穩(wěn)定；而當(dāng)λ2存在虛數(shù)時，則產(chǎn)生模態(tài)耦合顫振[12]。機器人加工系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)剛度kx、ky一般遠大于切削剛度kp，因此，式(11)中的-(k′x+k′y)一定為負數(shù)。此時只需要分析式(11)中根號內(nèi)的部分，即可判定系統(tǒng)穩(wěn)定性。

2 機器人加工系統(tǒng)剛度定向方法

2.1 機器人加工系統(tǒng)運動學(xué)模型

本文的理論分析及實驗均基于ABB公司的IRB 6660-130/3.1型號工業(yè)機器人。進行剛度定向之前，需要對機器人加工系統(tǒng)進行運動學(xué)分析。采用修正的D-H方法建立了ABB IRB6660工業(yè)機器人的運動學(xué)模型，為每個連桿建立坐標(biāo)系{i}，如圖2所示，其中，坐標(biāo)系{t}為工具坐標(biāo)系。基于該運動學(xué)模型，可以分析任意連桿之間的位姿關(guān)系，獲得工業(yè)機器人從基座到末端的齊次變換矩陣T0t，同時計算機器人加工系統(tǒng)的雅可比矩陣。相應(yīng)坐標(biāo)系下機器人的D-H參數(shù)見表1。

表1 IRB 6660-130/3.1機器人D-H參數(shù)

圖2 IRB 6660-130/3.1機器人D-H模型Fig.2 D-H model of the IRB 6660-130/3.1 robot

2.2 剛度定向方法

在銑削加工中，完整的機器人銑削系統(tǒng)包括工業(yè)機器人本體、安裝在末端法蘭的電主軸及銑刀。由上文穩(wěn)定性分析可知：角度α和γ是決定加工過程是否穩(wěn)定的重要因素。確定這兩個角度需要獲得機器人在加工平面內(nèi)的主剛度方向，但機器人加工系統(tǒng)的非對稱結(jié)構(gòu)導(dǎo)致其主剛度方向不易確定，因此，本文提出一種基于工業(yè)機器人剛度橢球的主剛度定向方法。機器人末端剛度橢球作為評價機器人在整個笛卡兒空間內(nèi)的綜合剛度性能指標(biāo)，其各個方向上的軸長直接反映了機器人末端在對應(yīng)方向上的剛度，因此通過計算剛度橢球在切削平面內(nèi)的長軸和短軸方向，即可確定工業(yè)機器人主剛度方向。具體步驟如下：

剝奪他人生命的形式有很多種，法律對具體的行為方式不做限制。既可以暴力手段，也可以是非暴力手段；既可以是作為方式，也可以是不作為方式。[4]10-11因艾滋病的病情的特殊性，故意傳播艾滋病符合故意殺人罪的客體特征。

(1)進行工業(yè)機器人關(guān)節(jié)剛度辨識實驗[13]，求出其關(guān)節(jié)空間剛度矩陣Kθ，并通過矩陣Kθ與末端笛卡兒空間剛度矩陣K之間的映射關(guān)系，獲得機器人笛卡兒剛度矩陣K。

(2)利用剛度矩陣K中的力-線位移子矩陣Kft(3×3)計算出機器人加工系統(tǒng)末端的剛度橢球，并將其在切削坐標(biāo)系中表示。

(3)剛度橢球與切削平面相交面為橢圓面，通過求取該橢圓長軸及短軸方向，即可獲得機器人加工系統(tǒng)在特定位姿下，切削平面內(nèi)的最大剛度方向和最小剛度方向。

通過實驗得到的工業(yè)機器人各關(guān)節(jié)剛度值見表2。在關(guān)節(jié)空間中，每個關(guān)節(jié)的剛度是相互獨立的。

表2 IRB6660機器人關(guān)節(jié)剛度

通過雅可比矩陣將關(guān)節(jié)剛度矩陣轉(zhuǎn)化至笛卡兒空間[14]：

K=J-TKθJ-1

(12)

其中，J為相對切削坐標(biāo)系{c}表示的雅可比矩陣；Kθ為關(guān)節(jié)空間剛度矩陣，Kθ=diag(Kθ1，Kθ2，…，Kθ6)；K為6×6笛卡兒空間剛度矩陣，可以將其劃分成4個3×3子矩陣：

(13)

式中，Kft、Kfr、Kmt、Kmr分別為力-線位移子矩陣、力-角位移子矩陣、力矩-線位移子矩陣和力矩-角位移子矩陣。

圖3 機器人加工系統(tǒng)末端剛度橢球Fig.3 The stiffness ellipsoid of the end of roboticmachining system

該笛卡兒剛度橢球在自身坐標(biāo)系{e}中的方程可表示為

(14)

橢球坐標(biāo)系{e}相對于切削坐標(biāo)系{c}的齊次變換矩陣Tce用剛度橢球的特征向量可表示為

(15)

式中，Rce為兩坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣。

因此，橢球面上的任意一點q在橢球坐標(biāo)系中的坐標(biāo)qe=(xe,ye,ze)與在切削坐標(biāo)系中的坐標(biāo)qc=(xc,yc,zc)滿足：

(16)

式中，μij(i,j= 1, 2, 3)為特征向量μi各分量。

將式(16)代入式(14)，可得剛度橢球在切削坐標(biāo)系中的方程：

(17)

則剛度橢球與切削平面的橢圓交面方程為

(18)

此時，橢圓的主軸方向即為機器人加工系統(tǒng)在切削平面內(nèi)的主剛度方向，如圖4所示，橢圓主軸方向可根據(jù)橢圓方程進一步求出。

圖4 機器人加工系統(tǒng)主剛度方向Fig.4 The principle stiffness directions of robotic machining system

3 工業(yè)機器人銑削姿態(tài)優(yōu)化算法

3.1 機器人功能冗余特性

六自由度工業(yè)機器人在銑削應(yīng)用中，只需要五個自由度即可確定刀具位姿，其中三個自由度用于定位刀具中心點，另外兩個自由度用于確定刀具軸線的方向，從而產(chǎn)生一個冗余自由度。這種特性被稱為功能冗余，增加了工業(yè)機器人在執(zhí)行任務(wù)時可達空間的體積和末端執(zhí)行器的靈活性。如圖5所示，改變機器人姿態(tài)，使得刀具坐標(biāo)系{t}繞zt軸旋轉(zhuǎn)角度θr，此時兩個不同機器人姿態(tài)下的刀尖點位置和刀具軸向相同。這意味著對于同一加工軌跡，可以用工業(yè)機器人的不同位形進行加工，從而為優(yōu)化姿態(tài)抑制模態(tài)耦合顫振提供了可能。本文用旋轉(zhuǎn)角度θr表示冗余自由度，對于特定的刀具位姿，θr可以指定為在機器人可達范圍內(nèi)的任何值。

角度θr給定后，根據(jù)第2.1節(jié)確定的機器人D-H參數(shù)可以計算出任意加工位置處刀具坐標(biāo)系相對于基坐標(biāo)系的齊次變換矩陣T0t：

(19)

其中，Pi(i=x，y，z)表示刀具坐標(biāo)系原點在機器人基坐標(biāo)系中的位置分量。通過逆運動學(xué)求解即可推導(dǎo)出機器人各關(guān)節(jié)角度，從而確定各冗余角θr對應(yīng)的機器人銑削姿態(tài)。

3.2 姿態(tài)優(yōu)化算法

基于工業(yè)機器人功能冗余特性及所提的剛度定向方法，機器人銑削姿態(tài)優(yōu)化算法如圖6所示。首先，給定初始冗余角θr=0°，變化范圍為0°～360°，并設(shè)定角度增量dθ。給定θr后，即可獲得齊次變換矩陣T0t，通過逆運動學(xué)求解計算出機器人各關(guān)節(jié)角度；然后求取該機器人姿態(tài)下的笛卡兒空間剛度矩陣K，并推導(dǎo)出相應(yīng)的剛度橢球，其與切削平面的交面為橢圓。通過計算該橢圓長軸及短軸方向，得到加工平面內(nèi)的主剛度方向，從而確定角度α和角度γ。最后，基于模態(tài)耦合顫振穩(wěn)定性判據(jù)，判斷加工過程是否穩(wěn)定?；静襟E總結(jié)如下：①確定初始冗余角θr，設(shè)定角增量dθ，并計算機器人各關(guān)節(jié)角度；②執(zhí)行2.2節(jié)提出的剛度定向過程，得到切削平面內(nèi)的主剛度方向；③根據(jù)1.2節(jié)建立的模態(tài)耦合顫振準(zhǔn)則，判斷機器人銑削的穩(wěn)定性；④重復(fù)上述步驟，遍歷所有θr，并檢測邊界，確定銑削過程穩(wěn)定的機器人姿態(tài)。

圖6 機器人銑削姿態(tài)優(yōu)化算法流程圖Fig.6 Flowchart of posture optimization algorithm for robotic milling

4 案例分析

4.1 機器人銑削實驗

實驗裝置如圖7所示，通過將電機主軸連接到六軸工業(yè)機器人(IRB6660)的末端，搭建了機器人銑削實驗平臺。采用直徑12 mm、螺旋角30°、刃長30 mm的硬質(zhì)合金四刃立銑刀，在Q235結(jié)構(gòu)鋼工件(50×100 mm)上進行了平面銑削實驗。通過單軸加速度傳感器(3711F11100G，PCB)采集銑削過程中機器人的振動加速度信號。

為了驗證利用冗余自由度優(yōu)化機器人姿態(tài)避免模態(tài)耦合顫振的可行性，在兩個位置分別進行半槽銑削實驗和全槽銑削實驗，刀尖點在兩個位置處的坐標(biāo)分別為(1050，-1500，875)mm、(1350，-1500，875)mm(相對于機器人基坐標(biāo)系)。每組銑削實驗分別在機器人12個不同位形下進行。所有實驗的切削參數(shù)均為：軸向切深ap=0.3 mm，進給速度f=16 mm/s，主軸轉(zhuǎn)速n=2400 r/min，銑削方式為順銑。

圖7 銑削實驗裝置Fig.7 Milling test equipment

4.2 結(jié)果和討論

利用2.2節(jié)提出的剛度定向方法，計算出機器人銑削系統(tǒng)在位置1和位置2處不同位形下的主剛度方向。部分冗余角θr對應(yīng)的機器人關(guān)節(jié)角θ1～θ6與角度α見表3。

表3 機器人關(guān)節(jié)角及主剛度方向角

根據(jù)1.2節(jié)建立的模態(tài)耦合顫振模型，位置1和位置2處的潛在顫振區(qū)域如圖8中的陰影部分所示，當(dāng)平均銑削力位于圖8中的陰影部分時，可能發(fā)生模態(tài)耦合顫振。由式(3)和式(4)計算出半槽銑削和全槽銑削時，平均銑削力F與xc軸夾角β分別為94°和127°。將角增量dθ設(shè)定為10°，通過3.2節(jié)提出的姿態(tài)優(yōu)化算法，可以判斷采用不同冗余角θr對應(yīng)的機器人姿態(tài)進行銑削時是否發(fā)生模態(tài)耦合顫振，預(yù)測結(jié)果如圖9所示。由圖9可知，機器人在位置1和位置2處進行半槽銑削時，所有位形下均不會發(fā)生模態(tài)耦合顫振；對于全槽銑削，在位置1處，冗余角θr為70°～170°時，銑削過程穩(wěn)定；而在位置2處，穩(wěn)定的冗余角范圍擴大至0°～170°。

(a)位置1 (b)位置2圖8 潛在顫振區(qū)域示意圖Fig.8 Diagram of potential chatter area

圖9 不同冗余角θr的穩(wěn)定性預(yù)測結(jié)果Fig.9 Stability prediction respect to functional redundancy θr

為減少實驗工作量，實驗時設(shè)定角增量dθ=20°，采用機器人12個不同的典型位形在位置1和位置2處分別進行半槽銑削和全槽銑削實驗，實驗采用的冗余角如圖9所示，并通過低頻加速度計采集機器人振動信號。為了進一步分析實驗結(jié)果，對銑削過程中的加速度信號進行快速傅里葉變換(fast fourier transform，F(xiàn)FT)。圖10～圖12所示為部分典型實驗結(jié)果。

在位置1處進行全槽銑削時，為了尋找過渡冗余角邊界，增加θr=70°的實驗。如圖10a～圖10c所示，機器人在冗余角θr=0°、40°對應(yīng)的位形下銑削時出現(xiàn)了明顯的低頻顫振頻率(～7 Hz)，通過模態(tài)錘擊實驗，確定該頻率接近機械臂的低階固有頻率(～7.74 Hz)，且在13個不同位形下，機械臂固有頻率變化很小(7～8 Hz)；當(dāng)冗余角達到70°時，7 Hz左右對應(yīng)的幅值明顯降低；而在冗余角θr=80°、120°、140°時，如圖10d～圖10f所示，7 Hz左右的顫振頻率消失，說明銑削過程中沒有發(fā)生模態(tài)耦合顫振，與預(yù)測結(jié)果一致。

(a)θr=0° (b)θr=40°

(c)θr=70° (d)θr=80°

(e)θr=120° (f)θr=140°圖10 位置1處全槽銑削加速度信號頻譜Fig.10 Acceleration signal spectrum of full-slot milling at position 1

在位置1處進行半槽銑削實驗，實驗結(jié)果顯示所有冗余角下銑削過程均穩(wěn)定，符合預(yù)測結(jié)果，加速度信號快速傅里葉變換的典型結(jié)果如圖11所示，機器人在冗余角θr=0°、40°對應(yīng)的姿態(tài)下銑削時并沒有出現(xiàn)7 Hz左右的峰值，與全槽銑削結(jié)果對比明顯，這是因為半槽銑削時，平均銑削力更加靠近y軸，從而遠離了顫振區(qū)域；在位置2處進行的半槽銑削實驗同樣符合預(yù)測結(jié)果，在所有冗余角下均穩(wěn)定。

(a)θr=0° (b)θr=40°圖11 位置1處半槽銑削加速度信號頻譜Fig.11 Acceleration signal spectrum of half-slot milling at position 1

位置2與位置1相比，x坐標(biāo)變化0.3 m。通過模態(tài)錘擊實驗，12個不同位形下的機器人低階固有頻率均為8.5 Hz左右。由預(yù)測結(jié)果可知，位置2處全槽銑削時穩(wěn)定的冗余角范圍相比位置1擴大至0°～170°。對比表3中兩個位置處的α角，位置2處各冗余角θr對應(yīng)的α角的絕對值相對位置1均有所增大，這意味著位置2處的不穩(wěn)定區(qū)域相比位置1逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖8所示；而兩個位置處平均銑削力的方向角β相同，所以位置1處不穩(wěn)定的冗余角范圍0°～70°在位置2處變得穩(wěn)定，θr=0°、40°的實驗結(jié)果如圖12所示。

(a)θr=0°

(b)θr=40°圖12 位置2處全槽銑削加速度信號頻譜Fig.12 Acceleration signal spectrum of full-slot milling at position 2

5 結(jié)語

實驗結(jié)果表明，當(dāng)使用優(yōu)化后的機器人姿態(tài)進行銑削時，低頻模態(tài)耦合顫振被顯著抑制。與以往方法不同，本文方法不需要改變刀具進給方向、工件方向或切削參數(shù)，從而保留了機器人銑削的靈活性，使得機器人加工的工業(yè)應(yīng)用范圍更廣泛。